Cilindros, conos y esferas

Los tres sólidos y sus medidas

Los tres se describen con muy pocas medidas. El radio $r$ es la distancia del centro de la base (o de la esfera) a su borde, y la altura $h$ se mide en perpendicular a la base. En el examen se dispone de un cuadernillo de fórmulas, pero conviene entender de dónde sale cada una para no confundirlas.

El cilindro.

Un cilindro es un «prisma redondo»: dos círculos iguales y paralelos unidos por una pared curva. Su volumen se calcula como el de cualquier prisma, área de la base por altura. Si desenrollas la pared lateral obtienes un rectángulo cuya base es la longitud de la circunferencia, $2\pi r$, y cuya altura es $h$.

El cono.

El cono es la versión redonda de la pirámide, y por eso su volumen es la tercera parte del cilindro con la misma base y altura. Además de la altura $h$ tiene la generatriz $L$: es la longitud de un segmento que va del vértice a un punto del borde de la base, medida sobre la pared inclinada. Altura, radio y generatriz forman un triángulo rectángulo, con $L$ como hipotenusa.

La esfera.

Una esfera es el conjunto de puntos del espacio que están a la misma distancia $r$ de un punto central. No tiene altura ni base: solo el radio.

Cuidado con las unidades: los volúmenes se miden en unidades cúbicas (${\text{cm}}^3$, ${\text{m}}^3$) y las áreas en unidades cuadradas. Para pasar a litros, $1\text{L}=1000{\text{cm}}^3$ y $1{\text{m}}^3=1000\text{L}$. Si el enunciado no pide otra cosa, redondea el resultado final a 3 cifras significativas.

Sólidos compuestos

Muchos objetos son la unión de dos piezas: un cilindro con una semiesfera encima (un silo, una cápsula), un cono sobre un cilindro (una tienda, un embudo) o un cono con una semiesfera (un cucurucho de helado). El volumen total es la suma de los volúmenes. Con el área hay que pensar qué parte es superficie exterior: la cara donde se pegan las dos piezas queda dentro y no se cuenta.

Cambios de volumen y de radio

Muchas preguntas parten de un volumen conocido y piden una medida. Se plantea la ecuación de la fórmula con el dato y se despeja la incógnita, o se resuelve directamente en la calculadora de pantalla gráfica (CPG), que está permitida en las dos pruebas. Por ejemplo, para una esfera de volumen $V$: $$\frac{4}{3}\pi r^3=V\Rightarrow r=\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi }}$$

Para un cambio porcentual, trabaja con el factor multiplicador: un aumento del 20 % es multiplicar por $1,2$. Si el volumen de una esfera pasa a ser $1,2V$, el radio no aumenta un 20 %, porque está elevado al cubo: el radio nuevo es $r\sqrt[3]{1,2}$.

Semejanza: factores $k$, $k^2$ y $k^3$

Dos sólidos de la misma forma son semejantes si todas sus longitudes se multiplican por el mismo número $k$, el factor de escala. Esto ocurre con una maqueta y su edificio, o con dos latas del mismo diseño pero de distinto tamaño.

La razón es la misma que en las fórmulas: las áreas llevan dos longitudes multiplicadas ($r^2$, $rh$) y los volúmenes, tres ($r^3$, $r^{2}h$). Así, una maqueta a escala $1:10$ tiene la décima parte de la altura, la centésima parte de la superficie y la milésima parte del volumen. Esta regla sirve cuando no te dan todas las medidas: basta saber $k$.