IB Análisis y Enfoques NS · Variable aleatoria continua y distribución normal · Apartado 1 de 4

Variable aleatoria continua y función de densidad

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Una variable aleatoria continua puede tomar cualquier valor de un intervalo (un tiempo, una masa, una longitud). Sus probabilidades no se leen en una tabla: son áreas bajo una curva, la función de densidad. En NS hay que calcular esas áreas con integrales, hallar constantes que hagan que el área total sea 1 y obtener la media, la varianza, la mediana y la moda.

De las barras a una curva

Un diagrama de barras sirve para una variable discreta, donde cada valor tiene su probabilidad. Con un tiempo de espera medido en minutos es distinto: entre 3 y 4 hay infinitos valores posibles, y ninguno concreto tiene una probabilidad apreciable.

Imagina que mides el tiempo de espera de muchos clientes y agrupas los datos en intervalos cada vez más estrechos. El histograma de frecuencias relativas se va alisando hasta parecerse a una curva. Esa curva, $y = f (x)$ , es la función de densidad de la variable.

La razón de que $P (X = c) = 0$ es que un único punto no encierra área. Esto marca una diferencia con la variable discreta: aquí $<$ y $\leq$ dan el mismo resultado.

Si la densidad cambia de expresión según el tramo, se integra por tramos y se suman los resultados.

Media, varianza, mediana y moda

Estos parámetros resumen la distribución. Las sumas del caso discreto se convierten en integrales.

Para hallar la moda se busca el máximo de $f$ : con derivada igual a cero si es un punto interior, o mirando los extremos del intervalo si la densidad es creciente o decreciente. Para la mediana se plantea una ecuación en el límite superior $m$ de la integral.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Una densidad lineal

La variable aleatoria continua $X$ tiene función de densidad $f (x) = {k x 0 0 \leq x \leq 4 en otro caso$

a) Halla el valor de $k$ .

b) Halla $P (1 < X < 3)$ .

c) Halla $P (X = 2)$ .

Solución

a) El área total debe ser 1: $\int_{0}^{4} k x d x = k [\frac{x ^{2}}{2}]_{0}^{4} = 8 k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{8}$

b) $P (1 < X < 3) = \int_{1}^{3} \frac{x}{8} d x = [\frac{x ^{2}}{16}]_{1}^{3} = \frac{9}{16} - \frac{1}{16} = \frac{1}{2}$

c) $X$ es continua, así que $P (X = 2) = 0$ : un punto no encierra área.

Resultado: a) $k = \frac{1}{8}$ ; b) $\frac{1}{2}$ ; c) $0$ .

Ejemplo 2 Medio

Una parábola en [0, 4]

El tiempo $X$ (en minutos) que un cliente espera en una ventanilla tiene función de densidad $f (x) = {k x (4 - x) 0 0 \leq x \leq 4 en otro caso$

a) Demuestra que $k = \frac{3}{32}$ .

b) Halla la probabilidad de esperar más de 3 minutos.

c) Halla $E (X)$ y $Var (X)$ .

Solución

a) $\int_{0}^{4} k (4 x - x^{2}) d x = k [2 x^{2} - \frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{4} = k (32 - \frac{64}{3}) = \frac{32 k}{3} = 1 \Rightarrow k = \frac{3}{32}$

b) $P (X > 3) = \int_{3}^{4} \frac{3}{32} (4 x - x^{2}) d x = \frac{3}{32} [2 x^{2} - \frac{x ^{3}}{3}]_{3}^{4} = \frac{3}{32} (\frac{32}{3} - 9) = \frac{3}{32} \cdot \frac{5}{3} = \frac{5}{32}$

c) $E (X) = \int_{0}^{4} x \cdot \frac{3}{32} (4 x - x^{2}) d x = \frac{3}{32} [\frac{4 x ^{3}}{3} - \frac{x ^{4}}{4}]_{0}^{4} = \frac{3}{32} \cdot \frac{64}{3} = 2$ $E (X^{2}) = \frac{3}{32} \int_{0}^{4} (4 x^{3} - x^{4}) d x = \frac{3}{32} [x^{4} - \frac{x ^{5}}{5}]_{0}^{4} = \frac{3}{32} \cdot \frac{256}{5} = \frac{24}{5}$ $Var (X) = \frac{24}{5} - 2^{2} = \frac{4}{5}$

Resultado: b) $\frac{5}{32}$ ; c) $E (X) = 2$ , $Var (X) = \frac{4}{5}$ .

Ejemplo 3 Difícil

Densidad por tramos: moda, mediana y media

El tiempo $X$ (en horas) que tarda un servicio técnico en resolver una avería tiene función de densidad $f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x}{6} \frac{6 - x}{12} 0 0 \leq x \leq 2 2 < x \leq 6 en otro caso$

a) Comprueba que $f$ es una función de densidad y escribe la moda de $X$ .

b) Halla $P (X \geq 3)$ .

c) Halla la mediana de $X$ .

d) Halla $E (X)$ .

Solución

a) La función es no negativa en $[0, 6]$ . Área total, por tramos: $\int_{0}^{2} \frac{x}{6} d x + \int_{2}^{6} \frac{6 - x}{12} d x$ El primer tramo vale $[\frac{x ^{2}}{12}]_{0}^{2} = \frac{1}{3}$ . En el segundo, $\int_{2}^{6} (6 - x) d x = [6 x - \frac{x ^{2}}{2}]_{2}^{6} = 18 - 10 = 8$ , y dividido entre 12 da $\frac{2}{3}$ . Total $\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1$ . Es una densidad.

La gráfica sube de forma lineal hasta $x = 2$ (donde vale $\frac{1}{3}$ ) y luego baja linealmente hasta $0$ en $x = 6$ . El máximo está en $x = 2$ : moda $= 2$ .

b) $x \geq 3$ cae en el segundo tramo: $P (X \geq 3) = \frac{1}{12} \int_{3}^{6} (6 - x) d x = \frac{1}{12} [6 x - \frac{x ^{2}}{2}]_{3}^{6} = \frac{1}{12} (18 - \frac{27}{2}) = \frac{1}{12} \cdot \frac{9}{2} = \frac{3}{8}$

c) Hasta $x = 2$ hay un área de $\frac{1}{3} < \frac{1}{2}$ , así que la mediana $m$ está en el segundo tramo: $\frac{1}{3} + \frac{1}{12} \int_{2}^{m} (6 - x) d x = \frac{1}{2} \Rightarrow \int_{2}^{m} (6 - x) d x = 2 \Rightarrow 6 m - \frac{m ^{2}}{2} - 10 = 2$ $m^{2} - 12 m + 24 = 0 \Rightarrow m = 6 \pm 23$ Como $2 < m < 6$ , la solución es $m = 6 - 23 \approx 2, 54$ .

d) $E (X) = \int_{0}^{2} \frac{x ^{2}}{6} d x + \int_{2}^{6} \frac{x ( 6 - x )}{12} d x = \frac{8}{18} + \frac{1}{12} [3 x^{2} - \frac{x ^{3}}{3}]_{2}^{6} = \frac{4}{9} + \frac{1}{12} (36 - \frac{28}{3}) = \frac{4}{9} + \frac{20}{9} = \frac{8}{3}$

Resultado: a) moda $= 2$ ; b) $\frac{3}{8}$ ; c) $m = 6 - 23 \approx 2, 54$ ; d) $E (X) = \frac{8}{3}$ .

En el examen: en una densidad por tramos, indica en qué tramo cae cada límite de integración. En la mediana, comprueba cuál de las dos soluciones de la cuadrática está dentro del intervalo; si no la descartas, pierdes el último punto.

Errores típicos

Resumen

Una variable continua toma valores de un intervalo; su distribución viene dada por la función de densidad $f$ , con $f \geq 0$ y área total $\int f d x = 1$ .
$P (c < X < d) = \int_{c}^{d} f (x) d x$ ; $P (X = c) = 0$ , así que $<$ y $\leq$ equivalen.
Una constante desconocida se halla imponiendo que el área total es 1.
$E (X) = \int x f (x) d x$ y $Var (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}$ con $E (X^{2}) = \int x^{2} f (x) d x$ .
Moda: máximo de $f$ . Mediana $m$ : $\int_{a}^{m} f (x) d x = \frac{1}{2}$ .
Si la densidad es por tramos, integra por tramos y comprueba en cuál cae cada valor.

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