Tipificación y cómo hallar μ y σ

Aquí $\mu =60$ y $\sigma =8$.

a) $z=\frac{72-60}{8}=1,5$: la puntuación está a una desviación típica y media por encima de la media.

b) $P(X<72)=P(Z<1,5)=0,933$ (distribución normal acumulada, con cualquiera de las dos escalas).

c) $x=\mu +z\sigma =60+(-0,5)\cdot 8=56$.

Resultado: a) $z=1,5$; b) $0,933$; c) $56$.

a) $$z_{\text{Ana}}=\frac{78-65}{10}=1,3z_{\text{Beto}}=\frac{71-60}{8}=1,375$$

b) $1,375>1,3$: aunque Ana tiene mejor nota bruta, Beto está más lejos de la media de su grupo, medido en desviaciones típicas. Destaca más Beto.

c) $P(\text{Fıˊsica}>71)=P(Z>1,375)=0,0846$, es decir, un 8,46 % de los alumnos.

Resultado: a) $z_{\text{Ana}}=1,3$, $z_{\text{Beto}}=\frac{11}{8}$; b) Beto; c) $0,0846$.

a) Se tiene $P(Y<20)=0,1$. Con la normal inversa estándar, el área $0,1$ corresponde a $z=-1,2816$. Así, $$\frac{20-25}{\sigma }=-1,2816\Rightarrow \sigma =\frac{5}{1,2816}=3,90$$

b) Se tiene $P(X<40)=0,2$ y $P(X>58)=0,1$, es decir, $P(X<58)=0,9$. Los valores $z$ de esas áreas son $$z_1=-0,8416(\text{aˊrea }0,2)z_2=1,2816(\text{aˊrea }0,9)$$ Se plantean las dos ecuaciones: $$\{\begin{array}{rl}\frac{40-\mu }{\sigma }& =-0,8416\\ \frac{58-\mu }{\sigma }& =1,2816\end{array}⟹\{\begin{array}{rl}40-\mu & =-0,8416\sigma \\ 58-\mu & =1,2816\sigma \end{array}$$ Restando la primera de la segunda: $18=2,1232\sigma$, luego $\sigma =8,48$. Sustituyendo, $\mu =40+0,8416\cdot 8,478=47,1$.

c) Con $X\sim N(47,14;8,478^2)$: $P(X>50)=0,368$.

Resultado: a) $\sigma =3,90$; b) $\mu =47,1$ y $\sigma =8,48$; c) $0,368$.

En el examen: escribe cada $P(X<x)=p$ y el $z$ que le corresponde antes de plantear el sistema. No redondees $\mu$ ni $\sigma$ antes de usarlos en el apartado c): guarda sus valores completos en la calculadora.