IB Análisis y Enfoques NS · Variable aleatoria continua y distribución normal · Cierre del tema

Ejercicios IB del tema 16

109 ejercicios con solución · Por Álvaro López

Ejercicios de exámenes del IB agrupados por tipo y, dentro de cada tipo, de menos a más difícil. Intenta cada uno antes de abrir la solución.

Nivel

Prueba

Soluciones

Función de densidad: constantes y probabilidades

Ejercicio 1 BásicoIB · P1 Noviembre 1998

La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria viene dada por

$f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x}{3} x^{2} - 1 0 1 \leq x \leq k en el resto de los casos$

Calcule el valor de $k$ .

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Resultado: $k = 2$

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La integral total debe valer 1. Con la sustitución $u = x^{2} - 1$ , $d u = 2 x d x$ : $\int_{1}^{k} \frac{x}{3} x^{2} - 1 d x = \frac{1}{3} [\frac{( x ^{2} - 1 ) ^{3/2}}{3}]_{1}^{k} = \frac{( k ^{2} - 1 ) ^{3/2}}{3 3} = 1.$ Luego $(k^{2} - 1)^{3/2} = 33 = 3^{3/2}$ , es decir, $k^{2} - 1 = 3$ y, con $k > 1$ , $k = 2$ .

Resultado: $k = 2$

Ejercicio 2 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2005

La función de densidad de probabilidad $f (x)$ de una variable aleatoria continua $X$ se define en el intervalo $[0, a]$ como:

$f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x}{8} \frac{27}{8 x ^{2}} para 0 \leq x \leq 3 para 3 < x \leq a$

Calcule el valor de $a$ .

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Resultado: $a = \frac{54}{11}$

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El área total bajo la densidad vale $1$ . El primer tramo aporta $\int_{0}^{3} \frac{x}{8} d x = [\frac{x ^{2}}{16}]_{0}^{3} = \frac{9}{16} .$ Por tanto el segundo tramo debe aportar $1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$ : $\int_{3}^{a} \frac{27}{8 x ^{2}} d x = \frac{27}{8} [- \frac{1}{x}]_{3}^{a} = \frac{27}{8} (\frac{1}{3} - \frac{1}{a}) = \frac{7}{16} .$ Entonces $\frac{1}{3} - \frac{1}{a} = \frac{7}{54}$ , luego $\frac{1}{a} = \frac{11}{54}$ y $a = \frac{54}{11} \approx 4, 91$ .

Resultado: $a = \frac{54}{11}$

Ejercicio 3 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2009

Una variable aleatoria tiene una función de densidad de probabilidad que viene dada por

$f (x) = {k x (2 - x) 0 para 0 \leq x \leq 2 para todos los dem a ˊ s valores$

a) Calcule $k$ .

b) Halle $E (X)$ .

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Resultado: a) $k = \frac{3}{4}$ ; b) $E (X) = 1$

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a) El área total debe ser $1$ : $\int_{0}^{2} k x (2 - x) d x = k [x^{2} - \frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{2} = k (4 - \frac{8}{3}) = \frac{4 k}{3} = 1 \Rightarrow k = \frac{3}{4} .$

b) $E (X) = \int_{0}^{2} x \cdot \frac{3}{4} x (2 - x) d x = \frac{3}{4} \int_{0}^{2} (2 x^{2} - x^{3}) d x = \frac{3}{4} [\frac{2 x ^{3}}{3} - \frac{x ^{4}}{4}]_{0}^{2} = \frac{3}{4} (\frac{16}{3} - 4) = 1.$ (Es lo esperable: la densidad es simétrica respecto de $x = 1$ .)

Resultado: a) $k = \frac{3}{4}$ ; b) $E (X) = 1$

Ejercicio 4 MedioIB · P2 TZ2 Mayo 2008

Una variable aleatoria continua $X$ tiene la siguiente función de densidad de probabilidad

$f (x) = {12 x^{2} (1 - x) 0 para 0 \leq x \leq 1 en los dem a ˊ s casos$

Halle la probabilidad de que $X$ se encuentre entre la media y la moda.

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Resultado: $P (\frac{3}{5} < X < \frac{2}{3}) = \frac{1981}{16875} \approx 0, 117$

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Media. $μ = \int_{0}^{1} x \cdot 12 x^{2} (1 - x) d x = 12 \int_{0}^{1} (x^{3} - x^{4}) d x = 12 (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) = \frac{3}{5} .$

Moda. Se deriva $f (x) = 12 x^{2} - 12 x^{3}$ : $f^{'} (x) = 24 x - 36 x^{2} = 12 x (2 - 3 x) = 0$ , así $x = \frac{2}{3}$ (máximo, pues $f$ crece antes y decrece después). Moda $= \frac{2}{3}$ .

Probabilidad. $P (\frac{3}{5} < X < \frac{2}{3}) = \int_{3/5}^{2/3} (12 x^{2} - 12 x^{3}) d x = [4 x^{3} - 3 x^{4}]_{3/5}^{2/3} = \frac{16}{27} - \frac{297}{625} = \frac{1981}{16875} \approx 0, 117.$

Resultado: $P (\frac{3}{5} < X < \frac{2}{3}) = \frac{1981}{16875} \approx 0, 117$

Ejercicio 5 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2010

Una variable aleatoria continua $X$ tiene la siguiente función de densidad de probabilidad:

$f (x) = {c (x - x^{2}) 0 0 \leq x \leq 1 dem a ˊ s valores$

a) Determine $c$ .

b) Halle $E (X)$ .

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Resultado: a) $c = 6$ ; b) $E (X) = \frac{1}{2}$

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a) Área total igual a $1$ : $c \int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x = c (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) = \frac{c}{6} = 1 \Rightarrow c = 6.$

b) $E (X) = 6 \int_{0}^{1} (x^{2} - x^{3}) d x = 6 (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{2} .$ (La densidad es simétrica respecto de $x = \frac{1}{2}$ .)

Resultado: a) $c = 6$ ; b) $E (X) = \frac{1}{2}$

Ejercicio 6 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2011

La variable aleatoria $X$ tiene la siguiente función de densidad de probabilidad $f$ :

$f (x) = {k x (x + 1) (2 - x) 0 0 \leq x \leq 2 resto de valores$

a) Dibuje aproximadamente la gráfica de la función. No es necesario que halle las coordenadas del máximo.

b) Halle el valor de $k$ .

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Resultado: b) $k = \frac{3}{8}$

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a) Gráfica de la densidad f(x) = 3/8 · x(x+1)(2−x) para 0 ≤ x ≤ 2 y f(x) = 0 fuera de ese intervalo: parte del origen, sube hasta un único máximo en x ≈ 1,22 con f ≈ 0,79 y baja hasta cortar el eje horizontal en (2, 0). Ejes con marcas en 0, 1 y 2 en x, y en 0 y 0,5 en f(x)

La curva es un arco que corta al eje en $x = 0$ y $x = 2$ (raíces del polinomio) y es positiva entre ambos, con un único máximo hacia $x \approx 1, 2$ .

b) El área total debe ser $1$ : $k \int_{0}^{2} x (x + 1) (2 - x) d x = k \int_{0}^{2} (- x^{3} + x^{2} + 2 x) d x = k [- \frac{x ^{4}}{4} + \frac{x ^{3}}{3} + x^{2}]_{0}^{2} = k (- 4 + \frac{8}{3} + 4) = \frac{8 k}{3} = 1.$ Luego $k = \frac{3}{8}$ .

Resultado: b) $k = \frac{3}{8}$

Ejercicio 7 MedioIB · P2 TZ2 Mayo 2013

La longitud, $X$ metros, de los peces de una especie dada tiene la siguiente función de densidad de probabilidad:

$f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ a x^{2} 0, 5 a (1 - x) 0 para 0 \leq x \leq 0, 5 para 0, 5 \leq x \leq 1 resto de casos$

a) Compruebe que $a = 9, 6$ .

b) Dibuje aproximadamente la gráfica de la distribución.

c) Halle $P (X < 0, 6)$ .

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Resultado: a) $a = 9, 6$ (comprobado); c) $P (X < 0, 6) = 0, 616$

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a) El área total debe ser $1$ . Primer tramo: $\int_{0}^{0, 5} a x^{2} d x = a \frac{0 , 5 ^{3}}{3} = \frac{a}{24}$ . Segundo tramo (un triángulo de base $0, 5$ y altura $0, 5 a \cdot 0, 5 = \frac{a}{4}$ ): $\int_{0, 5}^{1} 0, 5 a (1 - x) d x = 0, 5 a \cdot \frac{0 , 5 ^{2}}{2} = \frac{a}{16}$ . Así $\frac{a}{24} + \frac{a}{16} = \frac{5 a}{48} = 1 \Rightarrow a = \frac{48}{5} = 9, 6.$

b) Con $a = 9, 6$ : $f (x) = 9, 6 x^{2}$ en $[0; 0, 5]$ y $f (x) = 4, 8 (1 - x)$ en $[0, 5; 1]$ . En $x = 0, 5$ ambas valen $2, 4$ . Gráfica de la densidad f(x) para 0 ≤ x ≤ 1 y f(x) = 0 fuera de ese intervalo: parte del origen con forma de parábola creciente f = 9,6x² hasta el máximo en x = 0,5, donde f = 2,4; desde ahí baja en línea recta f = 4,8(1 − x) hasta (1, 0). Eje x en metros con marcas en 0, 0,5 y 1; eje f(x) con marcas en 0, 1 y 2

c) $P (X < 0, 6) = 1 - P (X > 0, 6) = 1 - \int_{0, 6}^{1} 4, 8 (1 - x) d x = 1 - 4, 8 \cdot \frac{0 , 4 ^{2}}{2} = 1 - 0, 384 = 0, 616.$

Resultado: a) $a = 9, 6$ (comprobado); c) $P (X < 0, 6) = 0, 616$

Ejercicio 8 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2014

La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua $T$ viene dada por

$f (t) = {∣2 - t ∣ 0 1 \leq t \leq 3 resto de valores$

a) Dibuje aproximadamente el gráfico de $y = f (t)$ .

b) Halle el rango intercuartil de $T$ .

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Resultado: b) RIC $= 2 \approx 1, 41$

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a) La función es $f (t) = 2 - t$ para $1 \leq t \leq 2$ y $f (t) = t - 2$ para $2 \leq t \leq 3$ : dos tramos rectos que forman una V con vértice en $(2, 0)$ . Gráfica de y = f(t): una V invertida de dos tramos rectos que parte del punto (1, 1), baja en línea recta hasta el vértice (2, 0) y sube de nuevo en línea recta hasta (3, 1); fuera del intervalo (1, 3) la gráfica es nula, sobre el eje horizontal. Ejes con marcas en 1, 2 y 3 en t, y en 0 y 1 en y

b) El área total es $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ (dos triángulos). La densidad es simétrica respecto de $t = 2$ , así que la mediana es $2$ y los cuartiles son simétricos. El primer cuartil $q_{1}$ cumple $\int_{1}^{q_{1}} (2 - t) d t = \frac{1}{4}$ : $2 q_{1} - \frac{q _{1}^{2}}{2} - \frac{3}{2} = \frac{1}{4} \Rightarrow q_{1}^{2} - 4 q_{1} + \frac{7}{2} = 0 \Rightarrow q_{1} = 2 - \frac{2}{2} \approx 1, 293$ (se descarta la raíz mayor que $2$ ). Por simetría, $q_{3} = 2 + \frac{2}{2} \approx 2, 707$ . Entonces $RIC = q_{3} - q_{1} = 2 \approx 1, 41.$

Resultado: b) RIC $= 2 \approx 1, 41$

Ejercicio 9 MedioIB · P1 Mayo 1996

Sea $X$ una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad

$f (x) = {\frac{x}{8} + c 0 0 \leq x \leq 4 en caso contrario$

Calcule el valor de $c$ y el valor esperado de $X$ .

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Resultado: $c = 0$ ; $E (X) = \frac{8}{3}$

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Área total igual a $1$ : $\int_{0}^{4} (\frac{x}{8} + c) d x = [\frac{x ^{2}}{16} + c x]_{0}^{4} = 1 + 4 c = 1 \Rightarrow c = 0.$ Entonces $f (x) = \frac{x}{8}$ en $[0, 4]$ y $E (X) = \int_{0}^{4} x \cdot \frac{x}{8} d x = [\frac{x ^{3}}{24}]_{0}^{4} = \frac{64}{24} = \frac{8}{3} .$

Resultado: $c = 0$ ; $E (X) = \frac{8}{3}$

Ejercicio 10 MedioIB · P1 Noviembre 1996

A continuación se describe una función de densidad de probabilidad

$f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0 4 - 8 x 0 x < 0 0 \leq x \leq k x > k$

Calcule

a) el valor de $k$ ;

b) la media de la distribución.

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Resultado: a) $k = \frac{1}{2}$ ; b) $E (X) = \frac{1}{6}$

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a) Hay que ver que $f \geq 0$ y que el área sea $1$ : $\int_{0}^{k} (4 - 8 x) d x = [4 x - 4 x^{2}]_{0}^{k} = 4 k - 4 k^{2} = 1 \Rightarrow 4 k^{2} - 4 k + 1 = 0 \Rightarrow (2 k - 1)^{2} = 0 \Rightarrow k = \frac{1}{2} .$

b) $E (X) = \int_{0}^{1/2} x (4 - 8 x) d x = [2 x^{2} - \frac{8 x ^{3}}{3}]_{0}^{1/2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} .$

Resultado: a) $k = \frac{1}{2}$ ; b) $E (X) = \frac{1}{6}$

Ejercicio 11 MedioIB · P1 Mayo 1998

La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria $X$ viene dada por

$f (x) = {6 x (1 + x) 0 0 < x < k en el resto$

a) Calcule $k$ .

b) Calcule el valor exacto de la media de $X$ .

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Resultado: a) $k = \frac{1}{2}$ ; b) $E (X) = \frac{11}{32}$

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a) La integral total vale 1: $\int_{0}^{k} 6 x (1 + x) d x = [3 x^{2} + 2 x^{3}]_{0}^{k} = 3 k^{2} + 2 k^{3} = 1.$ Probando $k = \frac{1}{2}$ : $\frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$ . Como $3 k^{2} + 2 k^{3}$ es creciente para $k > 0$ , esa es la única solución: $k = \frac{1}{2}$ .

b) $E (X) = \int_{0}^{1/2} x \cdot 6 x (1 + x) d x = \int_{0}^{1/2} (6 x^{2} + 6 x^{3}) d x = [2 x^{3} + \frac{3}{2} x^{4}]_{0}^{1/2} = \frac{1}{4} + \frac{3}{32} = \frac{11}{32} .$

Resultado: a) $k = \frac{1}{2}$ ; b) $E (X) = \frac{11}{32}$

Ejercicio 12 MedioIB · P1 Noviembre 2001

Una variable aleatoria continua $X$ tiene la siguiente función de densidad de probabilidad

$f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{4}{π ( 1 + x ^{2} )} 0 para 0 \leq x \leq 1 en los dem a ˊ s casos$

Calcule $E (X)$ .

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Resultado: $E (X) = \frac{2 ln 2}{π} \approx 0, 441$

Ver proceso y resultado

$E (X) = \int_{0}^{1} x \cdot \frac{4}{π ( 1 + x ^{2} )} d x = \frac{4}{π} \int_{0}^{1} \frac{x}{1 + x ^{2}} d x = \frac{4}{π} [\frac{1}{2} ln (1 + x^{2})]_{0}^{1} = \frac{2 ln 2}{π} .$

Resultado: $E (X) = \frac{2 ln 2}{π} \approx 0, 441$

Ejercicio 13 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2004

Una variable aleatoria $X$ tiene una función densidad de probabilidad dada por

$f (x) = {k (2 x - x^{2}), 0, para 0 \leq x \leq 2 para el resto$

a) Halle el valor de $k$ .

b) Halle $P (0, 25 \leq X \leq 0, 5)$ .

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Resultado: a) $k = \frac{3}{4}$ ; b) $\frac{29}{256} \approx 0, 113$

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a) $\int_{0}^{2} k (2 x - x^{2}) d x = k [x^{2} - \frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{2} = k \cdot \frac{4}{3} = 1 \Rightarrow k = \frac{3}{4}$ .

b) $P (0, 25 \leq X \leq 0, 5) = \frac{3}{4} [x^{2} - \frac{x ^{3}}{3}]_{0, 25}^{0, 5} = \frac{3}{4} (\frac{5}{24} - \frac{11}{192}) = \frac{3}{4} \cdot \frac{29}{192} = \frac{29}{256} \approx 0, 113.$

Resultado: a) $k = \frac{3}{4}$ ; b) $\frac{29}{256} \approx 0, 113$

Ejercicio 14 MedioIB · P2 TZ0 Noviembre 2006

La variable aleatoria continua $X$ tiene la función densidad de probabilidad

$f (x) = {\frac{x}{1 + x ^{2}}, 0, para 0 \leq x \leq k en los dem a ˊ s casos$

a) Halle el valor exacto de $k$ .

b) Halle la moda de $X$ .

c) Calcule $P (1 \leq X \leq 2)$ .

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Resultado: a) $k = e^{2} - 1$ ; b) moda $= 1$ ; c) $\frac{1}{2} ln \frac{5}{2} \approx 0, 458$

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a) Debe cumplirse $\int_{0}^{k} \frac{x}{1 + x ^{2}} d x = 1$ : $[\frac{1}{2} ln (1 + x^{2})]_{0}^{k} = \frac{1}{2} ln (1 + k^{2}) = 1 \Rightarrow 1 + k^{2} = e^{2} \Rightarrow k = e^{2} - 1 \approx 2, 53.$

b) La moda es el máximo de $f$ . Derivando: $f^{'} (x) = \frac{( 1 + x ^{2} ) - 2 x ^{2}}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}} = \frac{1 - x ^{2}}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}} = 0 \Rightarrow x = 1.$ La derivada es positiva antes de $1$ y negativa después, así que es un máximo: $f (1) = 0, 5$ (y en el extremo $f (k) \approx 0, 34 < 0, 5$ ).

c) $P (1 \leq X \leq 2) = \int_{1}^{2} \frac{x}{1 + x ^{2}} d x = \frac{1}{2} [ln (1 + x^{2})]_{1}^{2} = \frac{1}{2} (ln 5 - ln 2) = \frac{1}{2} ln \frac{5}{2} \approx 0, 458.$

Resultado: a) $k = e^{2} - 1$ ; b) moda $= 1$ ; c) $\frac{1}{2} ln \frac{5}{2} \approx 0, 458$

Ejercicio 15 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2010

Una variable aleatoria continua $X$ tiene función de densidad de probabilidad

$f (x) = {0, a e^{- a x}, x < 0 x \geq 0$

Se sabe que $P (X < 1) = 1 - \frac{1}{2}$ .

a) Muestre que $a = \frac{1}{2} ln 2$ .

b) Encuentre la mediana de $X$ .

c) Calcule la probabilidad de que $X < 3$ sabiendo que $X > 1$ .

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Resultado: a) demostrado: $a = \frac{1}{2} ln 2$ ; b) mediana $= 2$ ; c) $\frac{1}{2}$

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a) Como $P (X < 1) = \int_{0}^{1} a e^{- a x} d x = [- e^{- a x}]_{0}^{1} = 1 - e^{- a}$ , igualamos: $1 - e^{- a} = 1 - \frac{1}{2} \Rightarrow e^{- a} = 2^{- 1/2} \Rightarrow - a = - \frac{1}{2} ln 2 \Rightarrow a = \frac{1}{2} ln 2.$

b) La mediana $m$ cumple $P (X < m) = \frac{1}{2}$ , es decir, $1 - e^{- am} = \frac{1}{2}$ : $e^{- am} = \frac{1}{2} \Rightarrow am = ln 2 \Rightarrow m = \frac{ln 2}{\frac{1}{2} ln 2} = 2.$

c) $P (X < 3 ∣ X > 1) = \frac{P ( 1 < X < 3 )}{P ( X > 1 )} = \frac{e ^{- a} - e ^{- 3 a}}{e ^{- a}} = 1 - e^{- 2 a} = 1 - e^{- l n 2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} .$

Resultado: a) demostrado: $a = \frac{1}{2} ln 2$ ; b) mediana $= 2$ ; c) $\frac{1}{2}$

Ejercicio 16 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2022

La variable aleatoria continua $X$ tiene función de densidad de probabilidad

$f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{k}{4 - 3 x ^{2}}, 0, 0 \leq x \leq 1 en el resto$

a) Calcule el valor de $k$ .

b) Calcule $E (X)$ .

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Resultado: a) $k = \frac{3 3}{π}$ ; b) $E (X) = \frac{3}{π} \approx 0, 551$

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a) Como $\int \frac{d x}{4 - 3 x ^{2}} = \frac{1}{3} arcsen \frac{3 x}{2}$ : $\int_{0}^{1} \frac{k d x}{4 - 3 x ^{2}} = \frac{k}{3} arcsen \frac{3}{2} = \frac{k}{3} \cdot \frac{π}{3} = 1 \Rightarrow k = \frac{3 3}{π} .$

b) $E (X) = k \int_{0}^{1} \frac{x}{4 - 3 x ^{2}} d x = k [- \frac{1}{3} 4 - 3 x^{2}]_{0}^{1} = k (- \frac{1}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{k}{3} = \frac{3}{π} \approx 0, 551.$

Resultado: a) $k = \frac{3 3}{π}$ ; b) $E (X) = \frac{3}{π} \approx 0, 551$

Ejercicio 17 DifícilIB · P2 TZ0 Noviembre 2015

La variable aleatoria continua $X$ tiene la función de distribución de probabilidad

$f (x) = A sin (ln (x)), 1 \leq x \leq 5.$

a) Halle el valor de $A$ con una aproximación de tres cifras decimales.

b) Halle la moda de $X$ .

c) Halle el valor $P (X \leq 3 ∣ X \geq 2)$ .

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Resultado: a) $A \approx 0, 323$ ; b) moda $= e^{π /2} \approx 4, 81$ ; c) $0, 288$

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a) La integral de la densidad debe valer $1$ : $A \int_{1}^{5} sin (ln x) d x = 1.$ Con la CPG, $\int_{1}^{5} sin (ln x) d x \approx 3, 0947$ , luego $A = \frac{1}{3 , 0947} \approx 0, 323$ .

b) La moda es el valor de $x$ donde $f$ es máxima. Como $A > 0$ , hay que maximizar $sin (ln x)$ , y vale $1$ cuando $ln x = \frac{π}{2}$ : $x = e^{π /2} \approx 4, 81 \in [1, 5] .$

c) $P (X \leq 3 ∣ X \geq 2) = \frac{P ( 2 \leq X \leq 3 )}{P ( X \geq 2 )} = \frac{A \int _{2}^{3} sin ( ln x ) d x}{A \int _{2}^{5} sin ( ln x ) d x} = \frac{0 , 2533}{0 , 8805} \approx 0, 288.$

Resultado: a) $A \approx 0, 323$ ; b) moda $= e^{π /2} \approx 4, 81$ ; c) $0, 288$

Ejercicio 18 DifícilIB · P2 TZ2 Mayo 2012

La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua $X$ viene dada por

$f (x) = \frac{1}{1 + x ^{4}}, 0 \leq x \leq a .$

a) Halle el valor de $a$ .

b) Halle la media de $X$ .

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Resultado: a) $a \approx 1, 40$ (1,3956); b) $E (X) \approx 0, 548$

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a) Debe cumplirse $\int_{0}^{a} \frac{1}{1 + x ^{4}} d x = 1$ . La primitiva no es elemental; con la CPG (resolver la ecuación con la integral numérica) se obtiene $a \approx 1, 3956.$

b) $E (X) = \int_{0}^{a} \frac{x}{1 + x ^{4}} d x = [\frac{1}{2} arctan (x^{2})]_{0}^{a} = \frac{1}{2} arctan (a^{2}) = \frac{1}{2} arctan (1, 9478) \approx 0, 548.$ (Se obtiene el mismo valor integrando numéricamente con la CPG.)

Resultado: a) $a \approx 1, 40$ (1,3956); b) $E (X) \approx 0, 548$

Ejercicio 19 DifícilIB · P1 TZ2 Mayo 2019

La variable aleatoria $X$ tiene una función de densidad de probabilidad $f$ , que viene dada por

$f (x) = {k (π - arcsen x) 0 0 \leq x \leq 1 resto de valores$

donde $k$ es una constante positiva.

a) Indique la moda de $X$ .

b) (i) Halle $\int arcsen x d x$ .

(ii) A partir de lo anterior, muestre que $k = \frac{2}{2 + π}$ .

c) Sabiendo que $y = (\frac{x ^{2}}{2}) arcsen x - (\frac{1}{4}) arcsen x + (\frac{x}{4}) 1 - x^{2}$ , muestre que

(i) $\frac{d y}{d x} = x arcsen x$

(ii) $E (X) = \frac{3 π}{4 ( π + 2 )}$ .

Ver resultado

Resultado: a) moda $= 0$ ; b) $k = \frac{2}{π + 2}$ ; c) $E (X) = \frac{3 π}{4 ( π + 2 )}$

Ver proceso y resultado

a) En $[0, 1]$ , $arcsin x$ crece, de modo que $f (x) = k (π - arcsin x)$ decrece, y su máximo está en $x = 0$ . Moda $= 0$ .

b) i) Por partes ( $u = arcsin x$ , $d v = d x$ ): $\int arcsin x d x = x arcsin x - \int \frac{x}{1 - x ^{2}} d x = x arcsin x + 1 - x^{2} + C .$

(ii) $\int_{0}^{1} arcsin x d x = [x arcsin x + 1 - x^{2}]_{0}^{1} = \frac{π}{2} - 1$ . Como el área total es $1$ : $k (π - \frac{π}{2} + 1) = k \frac{π + 2}{2} = 1 \Rightarrow k = \frac{2}{π + 2} .$

c) i) Derivando $y = \frac{x ^{2}}{2} arcsin x - \frac{1}{4} arcsin x + \frac{x}{4} 1 - x^{2}$ : $\frac{d y}{d x} = x arcsin x + \frac{x ^{2}}{2 1 - x ^{2}} - \frac{1}{4 1 - x ^{2}} + \frac{1}{4} 1 - x^{2} - \frac{x ^{2}}{4 1 - x ^{2}} .$ Los tres últimos sumandos, con denominador común $4 1 - x^{2}$ , dan $\frac{2 x ^{2} - 1 + ( 1 - x ^{2} ) - x ^{2}}{4 1 - x ^{2}} = 0$ , así que $\frac{d y}{d x} = x arcsin x$ .

(ii) Por el apartado anterior, $\int_{0}^{1} x arcsin x d x = y (1) - y (0) = \frac{π}{4} - \frac{π}{8} - 0 = \frac{π}{8}$ . Entonces $E (X) = k \int_{0}^{1} x (π - arcsin x) d x = k (\frac{π}{2} - \frac{π}{8}) = \frac{3 π k}{8} = \frac{3 π}{8} \cdot \frac{2}{π + 2} = \frac{3 π}{4 ( π + 2 )} .$

Resultado: a) moda $= 0$ ; b) $k = \frac{2}{π + 2}$ ; c) $E (X) = \frac{3 π}{4 ( π + 2 )}$

Ejercicio 20 DifícilIB · P2 TZ1 Mayo 2018

La variable aleatoria continua $X$ tiene una función de densidad de probabilidad $f$ dada por

$f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 3 a x, a (2 - x), 0, 0 \leq x < 0, 5 0, 5 \leq x < 2 en el resto$

a) Demuestre que $a = \frac{2}{3}$ .

b) Calcule $P (X < 1)$ .

c) Sabiendo que $P (s < X < 0, 8) = 2 \times P (2 s < X < 0, 8)$ , y que $0, 25 < s < 0, 4$ , encuentre el valor de $s$ .

Ver resultado

Resultado: a) $a = \frac{2}{3}$ ; b) $P (X < 1) = \frac{2}{3}$ ; c) $s \approx 0, 274$

Ver proceso y resultado

a) La integral de $f$ en todo su dominio vale 1: $\int_{0}^{0, 5} 3 a x d x + \int_{0, 5}^{2} a (2 - x) d x = \frac{3 a}{8} + a [2 x - \frac{x ^{2}}{2}]_{0, 5}^{2} = \frac{3 a}{8} + \frac{9 a}{8} = \frac{3 a}{2} = 1.$ Luego $a = \frac{2}{3}$ .

b) Con $a = \frac{2}{3}$ la densidad es $2 x$ en $[0; 0, 5)$ y $\frac{2}{3} (2 - x)$ en $[0, 5; 2)$ : $P (X < 1) = \int_{0}^{0, 5} 2 x d x + \int_{0, 5}^{1} \frac{2}{3} (2 - x) d x = \frac{1}{4} + \frac{2}{3} (\frac{3}{2} - \frac{7}{8}) = \frac{1}{4} + \frac{5}{12} = \frac{2}{3} .$

c) Como $s < 0, 4$ y $0, 25 < s$ , se tiene $0, 25 < s < 0, 4$ , luego $2 s \in (0, 5; 0, 8)$ . Sea $F (u) = P (X < u)$ . Para $u < 0, 5$ es $F (u) = u^{2}$ , y para $0, 5 \leq u < 2$ es $F (u) = \frac{1}{4} + \frac{2}{3} (2 u - \frac{u ^{2}}{2} - \frac{7}{8})$ , de modo que $F (0, 8) = 0, 52$ .

La condición $F (0, 8) - F (s) = 2 [F (0, 8) - F (2 s)]$ da $0, 52 - s^{2} = 2 [0, 52 - \frac{1}{4} - \frac{2}{3} (4 s - 2 s^{2} - \frac{7}{8})] \Rightarrow 11 s^{2} - 16 s + 3, 56 = 0.$ Las soluciones son $s = \frac{16 \pm 99 , 36}{22}$ , es decir, $s \approx 0, 274$ o $s \approx 1, 18$ . Solo $0, 274$ está en $(0, 25; 0, 4)$ .

Resultado: a) $a = \frac{2}{3}$ ; b) $P (X < 1) = \frac{2}{3}$ ; c) $s \approx 0, 274$

Ejercicio 21 DifícilIB · P1 TZ1 Mayo 2017

La variable aleatoria continua $X$ tiene una función de densidad de probabilidad

$f (x) = {k sen (\frac{π x}{6}) 0 0 \leq x \leq 6 en otros casos$

a) Calcule el valor de $k$ .

b) Considerando el gráfico de $f$ escriba:

(i) la media de $X$ .

(ii) la mediana de $X$ .

(iii) la moda de $X$ .

c) (i) Muestre que $P (0 \leq X \leq 2) = \frac{1}{4}$ .

(ii) Usando lo anterior, indique el rango intercuartílico de $X$ .

d) Calcule $P (X \leq 4 ∣ X \geq 3)$ .

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Resultado: a) $k = \frac{π}{12}$ ; b) media $= 3$ , mediana $= 3$ , moda $= 3$ ; c) ii) rango intercuartílico $= 2$ ; d) $\frac{1}{2}$

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a) La integral total vale 1: $k \int_{0}^{6} sen \frac{π x}{6} d x = k [- \frac{6}{π} cos \frac{π x}{6}]_{0}^{6} = k \cdot \frac{12}{π} = 1 \Rightarrow k = \frac{π}{12} .$

Gráfica de f(x) = (π/12) · sen(πx/6) para 0 ≤ x ≤ 6: un único arco de seno sobre el eje horizontal, simétrico respecto de la recta x = 3, que se anula en x = 0 y en x = 6; su altura máxima π/12 ≈ 0,26 se alcanza en x = 3. Eje x con marcas en 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6

b) La gráfica es simétrica respecto de $x = 3$ y alcanza su máximo ahí, por lo que:

(i) media $= 3$ ; ii) mediana $= 3$ ; iii) moda $= 3$ .

c) i) $P (0 \leq X \leq 2) = \frac{π}{12} [- \frac{6}{π} cos \frac{π x}{6}]_{0}^{2} = \frac{1}{2} (1 - cos \frac{π}{3}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} .$

(ii) Como $P (X \leq 2) = \frac{1}{4}$ , el primer cuartil es $Q_{1} = 2$ . Por simetría, $Q_{3} = 6 - 2 = 4$ . Entonces el rango intercuartílico es $Q_{3} - Q_{1} = 4 - 2 = 2$ .

d) Por simetría, $P (3 \leq X \leq 4) = P (2 \leq X \leq 3) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$ , y $P (X \geq 3) = \frac{1}{2}$ . Entonces $P (X \leq 4 ∣ X \geq 3) = \frac{P ( 3 \leq X \leq 4 )}{P ( X \geq 3 )} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2} .$

Resultado: a) $k = \frac{π}{12}$ ; b) media $= 3$ , mediana $= 3$ , moda $= 3$ ; c) ii) rango intercuartílico $= 2$ ; d) $\frac{1}{2}$

Ejercicio 22 DifícilIB · P2 Noviembre 1999

La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria $X$ viene dada por

$f (x) = {e - k e^{k x} 0 0 \leq x \leq 1 en los dem a ˊ s casos$

a) Muestre que $k = 1$ .

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la variable aleatoria $X$ tenga un valor que esté entre $\frac{1}{4}$ y $\frac{1}{2}$ ? Dé su respuesta en función de $e$ .

c) Calcule la media y la varianza de la distribución. Dé su respuesta exacta en función de $e$ .

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Resultado: a) $k = 1$ ; b) $\frac{e}{4} - e^{1/2} + e^{1/4} \approx 0, 315$ ; c) $E (X) = \frac{e}{2} - 1 \approx 0, 359$ , $Var (X) = 1 + \frac{e}{3} - \frac{e ^{2}}{4} \approx 0, 0588$

Ver proceso y resultado

a) La integral total debe valer 1: $\int_{0}^{1} (e - k e^{k x}) d x = [e x - e^{k x}]_{0}^{1} = e - e^{k} + 1 = 1 \Rightarrow e^{k} = e \Rightarrow k = 1.$

b) Con $k = 1$ , $f (x) = e - e^{x}$ y una primitiva es $e x - e^{x}$ : $P (\frac{1}{4} \leq X \leq \frac{1}{2}) = (\frac{e}{2} - e^{1/2}) - (\frac{e}{4} - e^{1/4}) = \frac{e}{4} - e^{1/2} + e^{1/4} \approx 0, 315.$

c) Integrando por partes, $E (X) = \int_{0}^{1} x (e - e^{x}) d x = \frac{e}{2} - [x e^{x} - e^{x}]_{0}^{1} = \frac{e}{2} - 1 \approx 0, 359.$ $E (X^{2}) = \int_{0}^{1} x^{2} (e - e^{x}) d x = \frac{e}{3} - [x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}]_{0}^{1} = \frac{e}{3} - (e - 2) = 2 - \frac{2 e}{3} .$ $Var (X) = 2 - \frac{2 e}{3} - (\frac{e}{2} - 1)^{2} = 1 + \frac{e}{3} - \frac{e ^{2}}{4} \approx 0, 0588.$

Resultado: a) $k = 1$ ; b) $\frac{e}{4} - e^{1/2} + e^{1/4} \approx 0, 315$ ; c) $E (X) = \frac{e}{2} - 1 \approx 0, 359$ , $Var (X) = 1 + \frac{e}{3} - \frac{e ^{2}}{4} \approx 0, 0588$

Ejercicio 23 DifícilIB · P2 TZ1 Mayo 2015

La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua $X$ está dada por

$f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, \frac{sen x}{4}, a (x - π), 0, x < 0 0 \leq x \leq π π < x \leq 2 π 2 π < x$

a) Dibuje la gráfica de $y = f (x)$ .

b) Encuentre $P (X \leq π)$ .

c) Demuestre que $a = \frac{1}{π ^{2}}$ .

d) Escriba la mediana de $X$ .

e) Calcule la media de $X$ .

f) Calcule la varianza de $X$ .

g) Calcule $P (\frac{π}{2} \leq X \leq \frac{3 π}{2})$ .

h) Sabiendo que $\frac{π}{2} \leq X \leq \frac{3 π}{2}$ , calcule la probabilidad de que $π \leq X \leq 2 π$ .

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Resultado: b) $\frac{1}{2}$ ; c) demostrado: $a = \frac{1}{π ^{2}}$ ; d) mediana $= π$ ; e) $\frac{13 π}{12} \approx 3, 40$ ; f) $\frac{71 π ^{2}}{144} - 1 \approx 3, 87$ ; g) $0, 375$ ; h) $\frac{1}{3}$

Ver proceso y resultado

a) Por tramos: $0$ si $x < 0$ ; arco de $\frac{sen x}{4}$ en $[0, π]$ (máximo $0, 25$ en $x = π /2$ ); recta de pendiente $a$ en $[π, 2 π]$ , desde $(π, 0)$ hasta $(2 π, aπ)$ ; y $0$ si $x > 2 π$ (con $a = 1/ π^{2}$ se llega a $\frac{1}{π} \approx 0, 32$ ).

Gráfica de la densidad f(x) por tramos: 0 para x < 0; un arco de sen x / 4 en (0, π) que sube desde el origen hasta su máximo 0,25 en x = π/2 y vuelve a 0 en x = π; un segmento creciente desde (π, 0) hasta (2π, 1/π ≈ 0,32) en (π, 2π); y 0 para x > 2π. Eje x con marcas en π y 2π; eje f(x) con marcas en 0,25 y 1/π ≈ 0,32

b) $P (X \leq π) = \int_{0}^{π} \frac{sen x}{4} d x = \frac{1}{4} [- cos x]_{0}^{π} = \frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{1}{2}$ .

c) El área del segundo tramo debe ser $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ : $\int_{π}^{2 π} a (x - π) d x = a [\frac{( x - π ) ^{2}}{2}]_{π}^{2 π} = \frac{a π ^{2}}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow a = \frac{1}{π ^{2}} .$

d) Hasta $π$ se acumula exactamente $\frac{1}{2}$ , luego la mediana es $x = π$ .

e) $E (X) = \int_{0}^{π} \frac{x sen x}{4} d x + \int_{π}^{2 π} \frac{x ( x - π )}{π ^{2}} d x = \frac{π}{4} + \frac{5 π}{6} = \frac{13 π}{12} \approx 3, 40.$

f) $E (X^{2}) = \int_{0}^{π} \frac{x ^{2} sen x}{4} d x + \int_{π}^{2 π} \frac{x ^{2} ( x - π )}{π ^{2}} d x = (\frac{π ^{2}}{4} - 1) + \frac{17 π ^{2}}{12} = \frac{5 π ^{2}}{3} - 1.$ $Var (X) = \frac{5 π ^{2}}{3} - 1 - (\frac{13 π}{12})^{2} = \frac{71 π ^{2}}{144} - 1 \approx 3, 87.$

g) $P (\frac{π}{2} \leq X \leq \frac{3 π}{2}) = \int_{π /2}^{π} \frac{sen x}{4} d x + \int_{π}^{3 π /2} \frac{x - π}{π ^{2}} d x = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8} = 0, 375.$

h) Probabilidad condicionada: la intersección es $π \leq X \leq \frac{3 π}{2}$ , de probabilidad $\frac{1}{8}$ : $\frac{P ( π \leq X \leq \frac{3 π}{2} )}{P ( \frac{π}{2} \leq X \leq \frac{3 π}{2} )} = \frac{1/8}{3/8} = \frac{1}{3} .$

Ejercicio 24 DifícilIB · P2 TZ1 Mayo 2021

La variable aleatoria continua $X$ tiene una función de densidad de probabilidad dada por

$f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x}{( x ^{2} + k ) ^{3}}, 0, 0 \leq x \leq 4 en el resto donde k \in R^{+} .$

a) Muestre que $16 + k - k = k 16 + k$ .

b) Calcule el valor de $k$ .

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Resultado: a) demostrado; b) $k = 0, 645$

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a) Una primitiva es $\int \frac{x}{( x ^{2} + k ) ^{3/2}} d x = - \frac{1}{x ^{2} + k}$ (se comprueba derivando). La condición de densidad es: $\int_{0}^{4} f (x) d x = [- \frac{1}{x ^{2} + k}]_{0}^{4} = \frac{1}{k} - \frac{1}{16 + k} = 1.$ Multiplicando por $k 16 + k$ : $16 + k - k = k 16 + k .$

b) Con la CPG se resuelve la ecuación $\frac{1}{k} - \frac{1}{16 + k} = 1$ para $k > 0$ : $k = 0, 645$ .

Resultado: a) demostrado; b) $k = 0, 645$

Ejercicio 25 DifícilIB · P2 TZ0 Noviembre 2022

La variable aleatoria continua $X$ tiene la siguiente función de densidad de probabilidad:

$f (x) = {a x e^{x}, 0, 0 \leq x \leq b resto de valores$

a) Halle una expresión que dé $a$ en función de $b$ .

b) En el caso en el que $a = b = 1$ , halle la mediana de $X$ .

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Resultado: a) $a = \frac{1}{b e ^{b} - e ^{b} + 1}$ ; b) mediana $= 0, 768$

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a) Por partes, $\int x e^{x} d x = x e^{x} - e^{x}$ , luego $\int_{0}^{b} a x e^{x} d x = a [x e^{x} - e^{x}]_{0}^{b} = a (b e^{b} - e^{b} + 1) = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{b e ^{b} - e ^{b} + 1} .$

b) Con $a = b = 1$ : $a = \frac{1}{e - e + 1} = 1$ , y $f (x) = x e^{x}$ en $[0, 1]$ . La mediana $m$ cumple: $\int_{0}^{m} x e^{x} d x = m e^{m} - e^{m} + 1 = \frac{1}{2} .$ Con la CPG (resolver la ecuación): $m = 0, 768$ .

Resultado: a) $a = \frac{1}{b e ^{b} - e ^{b} + 1}$ ; b) mediana $= 0, 768$

Esperanza, varianza, mediana y moda de una densidad

Ejercicio 26 BásicoIB · P1 TZ1 Mayo 2008

La variable aleatoria $T$ tiene la función de densidad de probabilidad $f (t) = \frac{π}{4} cos (\frac{π t}{2})$ , $- 1 \leq t \leq 1$ .

Calcular

a) $P (T = 0)$ ;

b) el rango intercuartílico.

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Resultado: a) $P (T = 0) = 0$ ; b) rango intercuartílico $= \frac{2}{3}$

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a) En una variable aleatoria continua la probabilidad de un valor concreto es nula (el área bajo un punto es $0$ ): $P (T = 0) = 0$ .

b) La función de distribución es, para $- 1 \leq t \leq 1$ : $F (t) = \int_{- 1}^{t} \frac{π}{4} cos \frac{π s}{2} d s = \frac{1}{2} [sin \frac{π s}{2}]_{- 1}^{t} = \frac{1}{2} sin \frac{π t}{2} + \frac{1}{2} .$

Primer cuartil: $F (Q_{1}) = \frac{1}{4} \Rightarrow sin \frac{π Q _{1}}{2} = - \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{π Q _{1}}{2} = - \frac{π}{6} \Rightarrow Q_{1} = - \frac{1}{3}$ .
Tercer cuartil: $F (Q_{3}) = \frac{3}{4} \Rightarrow sin \frac{π Q _{3}}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow Q_{3} = \frac{1}{3}$ .

El rango intercuartílico es $Q_{3} - Q_{1} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ .

Resultado: a) $P (T = 0) = 0$ ; b) rango intercuartílico $= \frac{2}{3}$

Ejercicio 27 MedioIB · P2 TZ0 Noviembre 2008

Una variable aleatoria continua $X$ tiene una función de densidad de probabilidad dada por

$f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{( x + 1 ) ^{3}}{60} 0 para 1 \leq x \leq 3 para los dem a ˊ s casos$

Halle:

a) $P (1, 5 \leq X \leq 2, 5)$

b) $E (X)$

c) La mediana de $X$ .

Ver resultado

Resultado: a) $\frac{37}{80} \approx 0, 463$ ; b) $E (X) = \frac{173}{75} \approx 2, 31$ ; c) mediana $\approx 2, 41$

Ver proceso y resultado

a) $P (1, 5 \leq X \leq 2, 5) = \int_{1, 5}^{2, 5} \frac{( x + 1 ) ^{3}}{60} d x = [\frac{( x + 1 ) ^{4}}{240}]_{1, 5}^{2, 5} = \frac{3 , 5 ^{4} - 2 , 5 ^{4}}{240} = \frac{111}{240} = \frac{37}{80} \approx 0, 463.$

b) Con $u = x + 1$ (y $x = u - 1$ ): $E (X) = \int_{1}^{3} \frac{x ( x + 1 ) ^{3}}{60} d x = \frac{1}{60} \int_{2}^{4} (u^{4} - u^{3}) d u = \frac{1}{60} [\frac{u ^{5}}{5} - \frac{u ^{4}}{4}]_{2}^{4} = \frac{173}{75} \approx 2, 31.$

c) La función de distribución es $F (m) = \frac{( m + 1 ) ^{4} - 16}{240}$ . Con $F (m) = \frac{1}{2}$ : $(m + 1)^{4} = 136 \Rightarrow m = 4136 - 1 \approx 2, 41.$

Resultado: a) $\frac{37}{80} \approx 0, 463$ ; b) $E (X) = \frac{173}{75} \approx 2, 31$ ; c) mediana $\approx 2, 41$

Ejercicio 28 MedioIB · P2 TZ0 Noviembre 2009

Las pérdidas anuales, relacionadas con factores climáticos, de una empresa de seguros se modelizan mediante una variable aleatoria $X$ , cuya función densidad de probabilidad es:

$f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{2 , 5 ( 200 ) ^{2, 5}}{x ^{3, 5}} 0 x \geq 200 resto de valores$

Halle la mediana.

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Resultado: mediana $\approx 263, 9$

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La función de distribución, para $m \geq 200$ , es $F (m) = \int_{200}^{m} 2, 5 \cdot 20 0^{2, 5} x^{- 3, 5} d x = [- 20 0^{2, 5} x^{- 2, 5}]_{200}^{m} = 1 - (\frac{200}{m})^{2, 5} .$ La mediana cumple $F (m) = \frac{1}{2}$ : $(\frac{200}{m})^{2, 5} = \frac{1}{2} \Rightarrow m = 200 \cdot 2^{1/2, 5} = 200 \cdot 2^{0, 4} \approx 263, 9.$

Resultado: mediana $\approx 263, 9$

Ejercicio 29 MedioIB · P1 Noviembre 1997

La variable aleatoria $X$ tiene función de densidad de probabilidad $f (x)$ , dada por

$f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{4} x \frac{1}{4} \frac{1}{12} (6 - x) 0 0 \leq x < 1 1 \leq x < 3 3 \leq x \leq 6 en el resto$

Calcule la mediana de $X$ .

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Resultado: mediana $= \frac{5}{2}$

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Áreas acumuladas:

En $[0; 1)$ : $\int_{0}^{1} \frac{x}{4} d x = \frac{1}{8}$ .
En $[1; 3)$ : la densidad es $\frac{1}{4}$ , y el área hasta $3$ es $\frac{1}{8} + \frac{2}{4} = \frac{5}{8} > \frac{1}{2}$ .

La mediana $m$ está, pues, en $[1; 3)$ : $\frac{1}{8} + \frac{1}{4} (m - 1) = \frac{1}{2} \Rightarrow m - 1 = \frac{3}{2} \Rightarrow m = \frac{5}{2} .$

Resultado: mediana $= \frac{5}{2}$

Ejercicio 30 MedioIB · P1 Noviembre 2002

La función de densidad de probabilidad $f (x)$ de una variable aleatoria continua $X$ está definida por

$f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{4} x (4 - x^{2}), 0, 0 \leq x \leq 2 para otros valores$

Calcule el valor de la mediana.

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Resultado: mediana $= 4 - 22 \approx 1, 08$

Ver proceso y resultado

La mediana $m$ cumple $\int_{0}^{m} f (x) d x = \frac{1}{2}$ : $\int_{0}^{m} \frac{1}{4} (4 x - x^{3}) d x = \frac{1}{4} [2 x^{2} - \frac{x ^{4}}{4}]_{0}^{m} = \frac{m ^{2}}{2} - \frac{m ^{4}}{16} = \frac{1}{2} .$ Multiplicando por 16: $m^{4} - 8 m^{2} + 8 = 0$ , luego $m^{2} = 4 \pm 22$ . Como $0 \leq m \leq 2$ , se toma $m^{2} = 4 - 22$ : $m = 4 - 22 \approx 1, 08.$

Resultado: mediana $= 4 - 22 \approx 1, 08$

Ejercicio 31 MedioIB · P1 Noviembre 2003

Una variable aleatoria continua, $X$ , tiene una función de densidad de probabilidad

$f (x) = sen x, 0 \leq x \leq \frac{π}{2}$

Halle la mediana de $X$ .

Ver resultado

Resultado: mediana $= \frac{π}{3}$

Ver proceso y resultado

La mediana $m$ cumple $\int_{0}^{m} sen x d x = \frac{1}{2}$ : $[- cos x]_{0}^{m} = 1 - cos m = \frac{1}{2} \Rightarrow cos m = \frac{1}{2} .$ En $[0; \frac{π}{2}]$ esto da $m = \frac{π}{3}$ .

Resultado: mediana $= \frac{π}{3}$

Ejercicio 32 MedioIB · P2 TZ0 Mayo 2006

El tiempo, $T$ minutos, requerido a los alumnos para responder una pregunta en un examen de matemáticas tiene una función densidad de probabilidad

$f (t) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{72} (12 t - t^{2} - 20), 0, para 4 \leq t \leq 10 en los dem a ˊ s casos$

a) Halle

(i) $μ$ , el valor esperado de $T$ .

(ii) $σ^{2}$ , la varianza de $T$ .

b) Se elige un alumno al azar. Halle la probabilidad de que el tiempo que tarde este alumno para responder la pregunta se encuentre en el intervalo $[μ - σ, μ]$ .

Ver resultado

Resultado: a) $μ = 6, 5$ ; $σ^{2} = 2, 15$ ; b) $0, 321$

Ver proceso y resultado

a) i) $μ = \frac{1}{72} \int_{4}^{10} t (12 t - t^{2} - 20) d t = \frac{1}{72} [4 t^{3} - \frac{t ^{4}}{4} - 10 t^{2}]_{4}^{10} = \frac{13}{2} = 6, 5.$

(ii) $E (T^{2}) = \frac{1}{72} \int_{4}^{10} t^{2} (12 t - t^{2} - 20) d t = \frac{1}{72} [3 t^{4} - \frac{t ^{5}}{5} - \frac{20 t ^{3}}{3}]_{4}^{10} = \frac{222}{5} = 44, 4.$ $σ^{2} = E (T^{2}) - μ^{2} = \frac{43}{20} = 2, 15.$

b) $σ = 2, 15 \approx 1, 466$ , luego el intervalo es $[5, 03; 6, 5]$ y $P (μ - σ \leq T \leq μ) = \int_{5, 03}^{6, 5} f (t) d t \approx 0, 321.$

Resultado: a) $μ = 6, 5$ ; $σ^{2} = 2, 15$ ; b) $0, 321$

Ejercicio 33 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2007

Una variable aleatoria continua $X$ tiene la función de densidad de probabilidad $f$ definida por

$f (x) = {e^{x}, 0, 0 \leq x \leq ln 2 en los dem a ˊ s casos$

Calcule el valor exacto de $E (X)$ .

Ver resultado

Resultado: $E (X) = 2 ln 2 - 1$

Ver proceso y resultado

$E (X) = \int_{0}^{l n 2} x e^{x} d x .$ Por partes ( $u = x$ , $d v = e^{x} d x$ ): $\int x e^{x} d x = x e^{x} - e^{x} .$ Evaluando entre $0$ y $ln 2$ : $E (X) = [x e^{x} - e^{x}]_{0}^{l n 2} = (2 ln 2 - 2) - (0 - 1) = 2 ln 2 - 1 \approx 0, 386.$

Resultado: $E (X) = 2 ln 2 - 1$

Ejercicio 34 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2007

La función de densidad de probabilidad $f$ de una variable aleatoria continua $X$ viene dada por

$f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{8}{π ( x ^{2} + 4 )}, 0, 0 \leq x \leq 2 en los dem a ˊ s casos$

a) Indique la moda de $X$ .

b) Halle el valor exacto de $E (X)$ .

Ver resultado

Resultado: a) moda $x = 0$ ; b) $E (X) = \frac{4}{π} ln 2$

Ver proceso y resultado

a) La función $\frac{8}{π ( x ^{2} + 4 )}$ es decreciente en $[0, 2]$ , así que su máximo está en el extremo izquierdo: la moda es $x = 0$ .

b) $E (X) = \int_{0}^{2} x \cdot \frac{8}{π ( x ^{2} + 4 )} d x = \frac{8}{π} \cdot \frac{1}{2} [ln (x^{2} + 4)]_{0}^{2} = \frac{4}{π} (ln 8 - ln 4) = \frac{4}{π} ln 2 \approx 0, 883.$

Resultado: a) moda $x = 0$ ; b) $E (X) = \frac{4}{π} ln 2$

Ejercicio 35 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2011

Una variable aleatoria continua $X$ tiene la siguiente función de densidad de probabilidad:

$f (x) = {k sen x, 0, 0 \leq x \leq \frac{π}{2} resto de valores$

a) Halle el valor de $k$ .

b) Halle $E (X)$ .

c) Halle la mediana de $X$ .

Ver resultado

Resultado: a) $k = 1$ ; b) $E (X) = 1$ ; c) mediana $= \frac{π}{3}$

Ver proceso y resultado

a) $\int_{0}^{π /2} k sen x d x = k [- cos x]_{0}^{π /2} = k = 1$ , luego $k = 1$ .

b) Por partes ( $u = x$ , $d v = sen x d x$ ): $E (X) = \int_{0}^{π /2} x sen x d x = [- x cos x + sen x]_{0}^{π /2} = 1.$

c) La mediana $m$ cumple $\int_{0}^{m} sen x d x = 1 - cos m = \frac{1}{2}$ , es decir, $cos m = \frac{1}{2}$ . En $[0, π /2]$ resulta $m = \frac{π}{3}$ .

Resultado: a) $k = 1$ ; b) $E (X) = 1$ ; c) mediana $= \frac{π}{3}$

Ejercicio 36 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2012

La variable aleatoria continua $X$ tiene función de densidad de probabilidad dada por

$f (x) = {a e^{- x}, 0, 0 \leq x \leq 1 en los dem a ˊ s casos$

a) Indique la moda de $X$ .

b) Determine el valor de $a$ .

c) Calcule $E (X)$ .

Ver resultado

Resultado: a) moda $x = 0$ ; b) $a = \frac{e}{e - 1}$ ; c) $E (X) = \frac{e - 2}{e - 1} \approx 0, 418$

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a) $f (x) = a e^{- x}$ es decreciente, así que el máximo está en $x = 0$ : la moda es $x = 0$ .

b) $\int_{0}^{1} a e^{- x} d x = a (1 - e^{- 1}) = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{1 - e ^{- 1}} = \frac{e}{e - 1}$ .

c) Por partes: $E (X) = a \int_{0}^{1} x e^{- x} d x = a [- x e^{- x} - e^{- x}]_{0}^{1} = a (1 - 2 e^{- 1}) = \frac{e}{e - 1} \cdot \frac{e - 2}{e} = \frac{e - 2}{e - 1} \approx 0, 418.$

Resultado: a) moda $x = 0$ ; b) $a = \frac{e}{e - 1}$ ; c) $E (X) = \frac{e - 2}{e - 1} \approx 0, 418$

Ejercicio 37 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2013

La función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria $X$ se define como

$f (x) = {sen x, 0, 0 \leq x \leq \frac{π}{2} en los dem a ˊ s casos$

Halle $E (X)$ .

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Resultado: $E (X) = 1$

Ver proceso y resultado

Por partes ( $u = x$ , $d v = sen x d x$ ): $E (X) = \int_{0}^{π /2} x sen x d x = [- x cos x + sen x]_{0}^{π /2} = (0 + 1) - (0 + 0) = 1.$

Resultado: $E (X) = 1$

Ejercicio 38 DifícilIB · P2 TZ1 Mayo 2004

(ii) Sea $f (x)$ la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria $X$ , donde

$f (x) = {k x^{2} 0 para 0 \leq x \leq 2 en caso contrario$

a) Muestre que $k = \frac{3}{8}$ .

b) Calcule:

(i) $E (X)$ .

(ii) La mediana de $X$ .

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Resultado: a) $k = \frac{3}{8}$ ; b) i) $E (X) = \frac{3}{2}$ ; ii) mediana $= 34 \approx 1, 59$

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a) El área total debe valer $1$ : $\int_{0}^{2} k x^{2} d x = k \frac{2 ^{3}}{3} = \frac{8 k}{3} = 1 \Rightarrow k = \frac{3}{8} .$

b) i) $E (X) = \int_{0}^{2} x \cdot \frac{3}{8} x^{2} d x = \frac{3}{8} [\frac{x ^{4}}{4}]_{0}^{2} = \frac{3}{8} \cdot 4 = \frac{3}{2} .$

(ii) La mediana $m$ cumple $P (X \leq m) = \frac{1}{2}$ : $\int_{0}^{m} \frac{3}{8} x^{2} d x = \frac{m ^{3}}{8} = \frac{1}{2} \Rightarrow m^{3} = 4 \Rightarrow m = 34 \approx 1, 587.$

Resultado: a) $k = \frac{3}{8}$ ; b) i) $E (X) = \frac{3}{2}$ ; ii) mediana $= 34 \approx 1, 59$

Ejercicio 39 DifícilIB · P2 TZ1 Mayo 2014

Una variable aleatoria $X$ tiene función de densidad de probabilidad

$f (x) = {a x + b 0 2 \leq x \leq 3 en otro caso$

con $a, b \in R$ .

a) Demuestre que $5 a + 2 b = 2$ .

Sea $E (X) = μ$ .

b) (i) Demuestre que $a = 12 μ - 30$ .

(ii) Encuentre una expresión similar para $b$ en función de $μ$ .

Sea $2, 3$ la mediana de la distribución.

c) (i) Halle el valor de $μ$ .

(ii) Halle el valor de la desviación típica de $X$ .

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Resultado: b) ii) $b = 76 - 30 μ$ ; c) i) $μ \approx 2, 34$ ; ii) $σ \approx 0, 241$

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a) Área total igual a $1$ : $\int_{2}^{3} (a x + b) d x = [\frac{a x ^{2}}{2} + b x]_{2}^{3} = \frac{5 a}{2} + b = 1 \Rightarrow 5 a + 2 b = 2.$

b) i) $μ = \int_{2}^{3} x (a x + b) d x = [\frac{a x ^{3}}{3} + \frac{b x ^{2}}{2}]_{2}^{3} = \frac{19 a}{3} + \frac{5 b}{2} .$ De a), $b = 1 - \frac{5 a}{2}$ . Sustituyendo: $μ = \frac{19 a}{3} + \frac{5}{2} - \frac{25 a}{4} = \frac{a}{12} + \frac{5}{2}$ , de donde $a = 12 μ - 30$ .

(ii) $b = 1 - \frac{5 a}{2} = 1 - \frac{5}{2} (12 μ - 30) = 76 - 30 μ$ .

c) i) Con mediana $2, 3$ : $\int_{2}^{2, 3} (a x + b) d x = \frac{a ( 2 , 3 ^{2} - 2 ^{2} )}{2} + 0, 3 b = 0, 645 a + 0, 3 b = \frac{1}{2}$ . Sustituyendo $a = 12 μ - 30$ y $b = 76 - 30 μ$ : $0, 645 (12 μ - 30) + 0, 3 (76 - 30 μ) = 0, 5 \Rightarrow - 1, 26 μ + 3, 45 = 0, 5 \Rightarrow μ = \frac{295}{126} \approx 2, 34.$

(ii) Entonces $a = 12 μ - 30 = - \frac{40}{21}$ y $b = 76 - 30 μ = \frac{121}{21}$ . Con la CPG (integral numérica): $E (X^{2}) - μ^{2} = \int_{2}^{3} x^{2} (a x + b) d x - μ^{2} \approx 0, 0581, σ = 0, 0581 \approx 0, 241.$

Resultado: b) ii) $b = 76 - 30 μ$ ; c) i) $μ \approx 2, 34$ ; ii) $σ \approx 0, 241$

Ejercicio 40 DifícilIB · P2 TZ2 Mayo 2014

La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria $X$ viene dada por:

$f (x) = {a x cos x 0 0 \leq x \leq \frac{π}{2} resto de valores donde a \in R$

a) Muestre que $a = \frac{2}{π - 2}$ .

b) Halle $P (X < \frac{π}{4})$ .

c) Halle:

(i) la moda de $X$ .

(ii) la mediana de $X$ .

d) Halle $P (X < \frac{π}{8} ∣ X < \frac{π}{4})$ .

Ver resultado

Resultado: a) comprobado; b) $0, 460$ ; c) i) moda $\approx 0, 860$ ; ii) mediana $\approx 0, 826$ ; d) $0, 283$

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a) Debe cumplirse $a \int_{0}^{π /2} x cos x d x = 1$ . Por partes, $\int x cos x d x = x sin x + cos x$ : $\int_{0}^{π /2} x cos x d x = [x sin x + cos x]_{0}^{π /2} = \frac{π}{2} - 1 = \frac{π - 2}{2} .$ Luego $a \cdot \frac{π - 2}{2} = 1$ y $a = \frac{2}{π - 2}$ .

b) La función de distribución es $F (t) = a (t sin t + cos t - 1)$ . Entonces $P (X < \frac{π}{4}) = \frac{2}{π - 2} (\frac{π}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{2}{2} - 1) \approx 0, 460.$

c) i) La moda es el máximo de $f$ : $f^{'} (x) = a (cos x - x sin x) = 0 \Rightarrow x tan x = 1$ . Con la CPG: $x \approx 0, 860$ .

(ii) La mediana $m$ cumple $F (m) = \frac{1}{2}$ : $a (m sin m + cos m - 1) = \frac{1}{2}$ . Con la CPG: $m \approx 0, 826$ .

d) $P (X < \frac{π}{8} ∣ X < \frac{π}{4}) = \frac{F ( π /8 )}{F ( π /4 )} = \frac{0 , 1299}{0 , 4598} \approx 0, 283.$

Resultado: a) comprobado; b) $0, 460$ ; c) i) moda $\approx 0, 860$ ; ii) mediana $\approx 0, 826$ ; d) $0, 283$

Ejercicio 41 DifícilIB · P2 TZ2 Mayo 2017

Una variable aleatoria continua $X$ tiene la función densidad de probabilidad $f$

$f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x ^{2}}{a} + b 0 0 \leq x \leq 4 resto de valores$

donde $a$ y $b$ son constantes positivas. Se sabe que $P (X \geq 2) = 0, 75$ .

a) Muestre que $a = 32$ y $b = \frac{1}{12}$ .

b) Halle $E (X)$ .

c) Halle $Var (X)$ .

d) Halle la mediana de $X$ .

Se realizan ocho observaciones independientes de $X$ y la variable aleatoria $Y$ es el número de observaciones tales que $X \geq 2$ .

e) Halle $E (Y)$ .

f) Halle $P (Y \geq 3)$ .

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Resultado: b) $\frac{8}{3}$ ; c) $\frac{16}{15}$ ; d) $2, 91$ ; e) $6$ ; f) $0, 996$

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a) La integral total vale 1 y $P (X \geq 2) = 0, 75$ : $\int_{0}^{4} (\frac{x ^{2}}{a} + b) d x = \frac{64}{3 a} + 4 b = 1, \int_{2}^{4} (\frac{x ^{2}}{a} + b) d x = \frac{56}{3 a} + 2 b = 0, 75.$ Multiplicando la segunda por 2: $\frac{112}{3 a} + 4 b = 1, 5$ . Restando la primera: $\frac{48}{3 a} = \frac{16}{a} = 0, 5$ , luego $a = 32$ . Entonces $\frac{64}{96} + 4 b = 1$ , de donde $b = \frac{1}{12}$ .

b) $E (X) = \int_{0}^{4} x (\frac{x ^{2}}{32} + \frac{1}{12}) d x = [\frac{x ^{4}}{128} + \frac{x ^{2}}{24}]_{0}^{4} = 2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{3} .$

c) $E (X^{2}) = \int_{0}^{4} x^{2} (\frac{x ^{2}}{32} + \frac{1}{12}) d x = [\frac{x ^{5}}{160} + \frac{x ^{3}}{36}]_{0}^{4} = \frac{32}{5} + \frac{16}{9} = \frac{368}{45}$ . $Var (X) = \frac{368}{45} - (\frac{8}{3})^{2} = \frac{368}{45} - \frac{320}{45} = \frac{48}{45} = \frac{16}{15} .$

d) La mediana $m$ cumple $\int_{0}^{m} f = \frac{m ^{3}}{96} + \frac{m}{12} = \frac{1}{2}$ , es decir, $m^{3} + 8 m - 48 = 0$ . Con la CPG: $m \approx 2, 91$ .

e) $Y \sim B (8; 0, 75)$ , pues $P (X \geq 2) = 0, 75$ . Entonces $E (Y) = 8 \cdot 0, 75 = 6$ .

f) Con la CPG (binomial acumulada): $P (Y \geq 3) = 1 - P (Y \leq 2) \approx 0, 996$ .

Resultado: b) $\frac{8}{3}$ ; c) $\frac{16}{15}$ ; d) $2, 91$ ; e) $6$ ; f) $0, 996$

Ejercicio 42 DifícilIB · P2 TZ2 Mayo 2016

Una variable aleatoria continua $T$ tiene la siguiente función de densidad de probabilidad $f$

$f (t) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{t ∣ sen 2 t ∣}{π} 0 si 0 \leq t \leq π resto de valores$

a) Dibuje aproximadamente el gráfico de $y = f (t)$ .

b) Utilice este gráfico aproximado para hallar la moda de $T$ .

c) Halle la media de $T$ .

d) Halle la varianza de $T$ .

e) Halle la probabilidad de que el valor de $T$ esté comprendido entre la media y la moda.

f) (i) Halle $\int_{0}^{T} f (t) d t$ donde $0 \leq T \leq \frac{π}{2}$ .

(ii) A partir de lo anterior, verifique que el primer cuartil de $T$ es $\frac{π}{2}$ .

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Resultado: b) moda $\approx 2, 46$ ; c) $E (T) \approx 2, 04$ ; d) $Var (T) \approx 0, 516$ ; e) $\approx 0, 285$ ; f) i) $- \frac{T cos 2 T}{2 π} + \frac{sen 2 T}{4 π}$ ; ii) $Q_{1} = \frac{π}{2}$

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a) Gráfica de y = f(t) = t·|sen 2t|/π en 0 ≤ t ≤ π: la curva empieza en el origen, forma dos jorobas separadas por un cero en t = π/2 (una pequeña, de altura aproximada 0,29 hacia t ≈ 1,01, y otra mayor, de altura 0,77 en t ≈ 2,46) y vuelve a cero en t = π, donde se marca el punto (2,46; 0,77). Ejes con marcas en 0,5, 1, π/2, 2, 2,5 y π en t, y en 0,5 y 1 en y

La función vale $f (t) = \frac{t ∣ sen 2 t ∣}{π}$ : se anula en $t = 0$ , $\frac{π}{2}$ y $π$ , y la parte negativa del seno se refleja hacia arriba por el valor absoluto.

b) La moda es la abscisa del máximo más alto del gráfico, en la segunda joroba: $t \approx 2, 46$ .

c) Con la CPG (integral numérica): $E (T) = \int_{0}^{π} t \cdot \frac{t ∣ sen 2 t ∣}{π} d t \approx 2, 04.$

d) $E (T^{2}) = \int_{0}^{π} t^{2} f (t) d t \approx 4, 67$ , luego $Var (T) = E (T^{2}) - [E (T)]^{2} \approx 4, 67 - 2, 0 4^{2} \approx 0, 516$ .

e) $P (2, 04 < T < 2, 46) = \int_{2, 04}^{2, 46} f (t) d t \approx 0, 285$ (calculada con los valores sin redondear).

f) i) En $[0; \frac{π}{2}]$ , $∣ sen 2 t ∣ = sen 2 t$ . Integrando por partes: $\int_{0}^{T} \frac{t sen 2 t}{π} d t = \frac{1}{π} [- \frac{t cos 2 t}{2} + \frac{sen 2 t}{4}]_{0}^{T} = - \frac{T cos 2 T}{2 π} + \frac{sen 2 T}{4 π} .$

(ii) Para $T = \frac{π}{2}$ : $cos π = - 1$ y $sen π = 0$ , luego la integral vale $\frac{π /2}{2 π} = \frac{1}{4}$ . Como $P (T \leq \frac{π}{2}) = \frac{1}{4}$ , el primer cuartil es $\frac{π}{2}$ .

Ejercicio 43 DifícilIB · P2 Mayo 2003

Un empresario pasa $X$ horas por día hablando por teléfono. La función de densidad de $X$ está dada por

$f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{12} (8 x - x^{3}), 0, para 0 \leq x \leq 2 en los dem a ˊ s casos$

a) i) Escriba una integral cuyo valor sea $E (X)$ .

(ii) A partir de ello calcule el valor de $E (X)$ .

b) i) Demuestre que la mediana, $m$ , de $X$ satisface la ecuación $m^{4} - 16 m^{2} + 24 = 0$ .

(ii) A partir de ello calcule el valor de $m$ .

c) Calcule la moda de $X$ .

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Resultado: a) $E (X) = \frac{56}{45} \approx 1, 24$ ; b) $m \approx 1, 29$ ; c) moda $\approx 1, 63$

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a) i) $E (X) = \int_{0}^{2} x \cdot \frac{1}{12} (8 x - x^{3}) d x$ .

(ii) $E (X) = \frac{1}{12} \int_{0}^{2} (8 x^{2} - x^{4}) d x = \frac{1}{12} [\frac{8 x ^{3}}{3} - \frac{x ^{5}}{5}]_{0}^{2} = \frac{1}{12} (\frac{64}{3} - \frac{32}{5}) = \frac{56}{45} \approx 1, 24.$

b) i) La mediana cumple $\int_{0}^{m} \frac{1}{12} (8 x - x^{3}) d x = \frac{1}{2}$ : $\frac{1}{12} [4 x^{2} - \frac{x ^{4}}{4}]_{0}^{m} = \frac{4 m ^{2}}{12} - \frac{m ^{4}}{48} = \frac{1}{2} .$ Multiplicando por 48: $16 m^{2} - m^{4} = 24$ , es decir, $m^{4} - 16 m^{2} + 24 = 0$ .

(ii) $m^{2} = 8 \pm 40$ ; como $m \leq 2$ , $m^{2} = 8 - 210$ , y $m \approx 1, 29$ .

c) La moda es el máximo de $f$ : $f^{'} (x) = \frac{1}{12} (8 - 3 x^{2}) = 0 \Rightarrow x = 8/3 = \frac{2 6}{3} \approx 1, 63$ . Es un máximo porque $f^{'}$ pasa de positiva a negativa.

Resultado: a) $E (X) = \frac{56}{45} \approx 1, 24$ ; b) $m \approx 1, 29$ ; c) moda $\approx 1, 63$

Ejercicio 44 DifícilIB · P2 TZ0 Noviembre 2007

La función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria continua $X$ viene dada por

$f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{c}{4 + x ^{2}}, 0, para - \frac{2}{3} \leq x \leq 23 resto de valores$

a) Halle el valor exacto de la constante $c$ en función de $π$ .

b) Dibuje aproximadamente la gráfica de $f (x)$ y, a partir de lo anterior, establezca la moda de la distribución.

c) Halle el valor exacto de $E (X)$ .

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Resultado: a) $c = \frac{4}{π}$ ; b) moda $= 0$ ; c) $E (X) = \frac{2}{π} ln 3$

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a) La integral de $f$ debe valer $1$ . Como $\int \frac{d x}{4 + x ^{2}} = \frac{1}{2} arctan \frac{x}{2}$ : $c \cdot \frac{1}{2} [arctan \frac{x}{2}]_{- 2/ 3}^{23} = \frac{c}{2} (arctan 3 - arctan (- \frac{1}{3})) = \frac{c}{2} (\frac{π}{3} + \frac{π}{6}) = \frac{c π}{4} = 1.$ Por tanto $c = \frac{4}{π}$ .

b) $f (x) = \frac{4}{π ( 4 + x ^{2} )}$ es una función par con máximo en $x = 0$ , donde $f (0) = \frac{1}{π} \approx 0, 32$ ; decrece a ambos lados. En los extremos: $f (- \frac{2}{3}) = \frac{3}{4 π} \approx 0, 24$ y $f (23) = \frac{1}{4 π} \approx 0, 08$ . La moda es $x = 0$ .

Gráfica de f(x) = 4/(π(4 + x²)) en el intervalo −2/√3 ≤ x ≤ 2√3 (de aproximadamente −1,15 a 3,46), fuera del cual la gráfica es cero: curva suave en forma de campana baja con máximo en x = 0, donde f(0) = 1/π ≈ 0,32; decrece a ambos lados, algo más lenta por la izquierda (f ≈ 0,24 en el extremo izquierdo y f ≈ 0,08 en el derecho)

c) $E (X) = \frac{4}{π} \int_{- 2/ 3}^{23} \frac{x}{4 + x ^{2}} d x = \frac{4}{π} \cdot \frac{1}{2} [ln (4 + x^{2})]_{- 2/ 3}^{23} = \frac{2}{π} (ln 16 - ln \frac{16}{3}) = \frac{2}{π} ln 3 \approx 0, 699.$

Resultado: a) $c = \frac{4}{π}$ ; b) moda $= 0$ ; c) $E (X) = \frac{2}{π} ln 3$

Ejercicio 45 DifícilIB · P2 TZ1 Mayo 2011

Una variable aleatoria continua $X$ tiene una función de densidad de probabilidad dada por la función $f (x)$ , donde

$f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ k (x + 2)^{2}, k, 0, - 2 \leq x < 0 0 \leq x \leq \frac{4}{3} en los dem a ˊ s casos$

a) Halle el valor de $k$ .

b) Usando lo anterior, encuentre

(i) la media de $X$ ;

(ii) la mediana de $X$ .

Ver resultado

Resultado: a) $k = \frac{1}{4}$ ; b) i) $E (X) = - \frac{1}{9}$ ; ii) mediana $= 36 - 2 \approx - 0, 183$

Ver proceso y resultado

a) La integral total debe valer $1$ : $\int_{- 2}^{0} k (x + 2)^{2} d x + \int_{0}^{4/3} k d x = k \cdot \frac{8}{3} + k \cdot \frac{4}{3} = 4 k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{4} .$

b) i) $E (X) = \int_{- 2}^{0} \frac{x ( x + 2 ) ^{2}}{4} d x + \int_{0}^{4/3} \frac{x}{4} d x = - \frac{1}{3} + \frac{2}{9} = - \frac{1}{9} .$

(ii) El área del primer tramo es $\int_{- 2}^{0} \frac{( x + 2 ) ^{2}}{4} d x = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} > \frac{1}{2}$ , así que la mediana $m$ está en $[- 2, 0]$ : $\int_{- 2}^{m} \frac{( x + 2 ) ^{2}}{4} d x = \frac{( m + 2 ) ^{3}}{12} = \frac{1}{2} \Rightarrow (m + 2)^{3} = 6 \Rightarrow m = 36 - 2 \approx - 0, 183.$

Resultado: a) $k = \frac{1}{4}$ ; b) i) $E (X) = - \frac{1}{9}$ ; ii) mediana $= 36 - 2 \approx - 0, 183$

Ejercicio 46 DifícilIB · P2 TZ1 Mayo 2012

La función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria continua $X$ está dada por

$f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{k 2 ^{x}}, 0, 1 \leq x \leq 2 en los dem a ˊ s casos$

donde $k$ es una constante. Halle el valor esperado de $X$ .

Ver resultado

Resultado: $E (X) = \frac{1}{ln 2} \approx 1, 44$

Ver proceso y resultado

Constante $k$ : como $\int_{1}^{2} 2^{- x} d x = [- \frac{2 ^{- x}}{ln 2}]_{1}^{2} = \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{4}}{ln 2} = \frac{1}{4 ln 2}$ , la condición $\frac{1}{k} \cdot \frac{1}{4 ln 2} = 1$ da $k = \frac{1}{4 ln 2}$ . Entonces $f (x) = 4 ln 2 \cdot 2^{- x}$ .
Valor esperado, por partes: $E (X) = 4 ln 2 \int_{1}^{2} x 2^{- x} d x = 4 ln 2 [- \frac{x 2 ^{- x}}{ln 2} - \frac{2 ^{- x}}{( ln 2 ) ^{2}}]_{1}^{2} .$ Evaluando: $[\cdot]_{1}^{2} = (- \frac{1}{2 ln 2} - \frac{1}{4 ( ln 2 ) ^{2}}) - (- \frac{1}{2 ln 2} - \frac{1}{2 ( ln 2 ) ^{2}}) = \frac{1}{4 ( ln 2 ) ^{2}}$ .
Por tanto $E (X) = 4 ln 2 \cdot \frac{1}{4 ( ln 2 ) ^{2}} = \frac{1}{ln 2} \approx 1, 44$ .

Resultado: $E (X) = \frac{1}{ln 2} \approx 1, 44$

Ejercicio 47 DifícilIB · P2 Mayo TZ2 2021Demostración

Sea $X$ una variable aleatoria continua y sea $f_{n}$ su función densidad de probabilidad, que viene dada por

$f_{n} (x) = {(n + 1) x^{n}, 0, 0 \leq x \leq 1 resto de valores donde n \in R, n \geq 0.$

a) Muestre que $E (X) = \frac{n + 1}{n + 2}$ .

b) Muestre que $Var (X) = \frac{n + 1}{( n + 2 ) ^{2} ( n + 3 )}$ .

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Resultado: queda demostrado que $E (X) = \frac{n + 1}{n + 2}$ y $Var (X) = \frac{n + 1}{( n + 2 ) ^{2} ( n + 3 )}$ .

Ver proceso y resultado

a) Calculamos la esperanza: $E (X) = \int_{0}^{1} x (n + 1) x^{n} d x = (n + 1) \int_{0}^{1} x^{n + 1} d x = (n + 1) [\frac{x ^{n + 2}}{n + 2}]_{0}^{1} = \frac{n + 1}{n + 2} .$

b) Primero $E (X^{2})$ : $E (X^{2}) = \int_{0}^{1} x^{2} (n + 1) x^{n} d x = (n + 1) [\frac{x ^{n + 3}}{n + 3}]_{0}^{1} = \frac{n + 1}{n + 3} .$ Entonces $Var (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2} = \frac{n + 1}{n + 3} - \frac{( n + 1 ) ^{2}}{( n + 2 ) ^{2}} = \frac{( n + 1 ) [ ( n + 2 ) ^{2} - ( n + 1 ) ( n + 3 ) ]}{( n + 2 ) ^{2} ( n + 3 )} .$ Como $(n + 2)^{2} - (n + 1) (n + 3) = n^{2} + 4 n + 4 - (n^{2} + 4 n + 3) = 1$ , queda $Var (X) = \frac{n + 1}{( n + 2 ) ^{2} ( n + 3 )} .$

Resultado: queda demostrado que $E (X) = \frac{n + 1}{n + 2}$ y $Var (X) = \frac{n + 1}{( n + 2 ) ^{2} ( n + 3 )}$ .

Ejercicio 48 DifícilIB · P2 TZ0 Noviembre 2021

La variable aleatoria continua $X$ tiene una función de densidad de probabilidad dada por

$f (x) = {arccos x, 0, 0 \leq x \leq 1 en el resto$

La mediana de esta distribución es $m$ .

a) Determine el valor de $m$ .

b) Sabiendo que $P (∣ X - m ∣ \leq a) = 0, 3$ , calcule el valor de $a$ .

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Resultado: a) $m = 0, 360$ ; b) $a = 0, 125$

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a) La función de distribución es, por partes, $F (x) = \int_{0}^{x} arccos t d t = x arccos x - 1 - x^{2} + 1$ . La mediana $m$ cumple $F (m) = \frac{1}{2}$ : $m arccos m - 1 - m^{2} + 1 = \frac{1}{2} .$ Con la CPG (resolver la ecuación): $m = 0, 360$ .

b) La condición $P (∣ X - m ∣ \leq a) = 0, 3$ equivale a $F (m + a) - F (m - a) = 0, 3$ . Con la CPG (resolver la ecuación, con $m = 0, 3600$ ): $a = 0, 125.$

Resultado: a) $m = 0, 360$ ; b) $a = 0, 125$

Ejercicio 49 DifícilIB · P1 TZ2 Mayo 2022

Una variable aleatoria continua $X$ tiene la siguiente función de densidad de probabilidad:

$f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{2}{( b - a ) ( c - a )} (x - a), \frac{2}{( b - a ) ( b - c )} (b - x), 0, a \leq x \leq c c < x \leq b resto de valores$

La siguiente figura muestra el gráfico de $y = f (x)$ para $a \leq x \leq b$ .

Gráfica de y = f(x) para a ≤ x ≤ b: un triángulo apoyado en el eje x entre a y b, con el vértice situado sobre un punto c a la derecha del punto medio (aproximadamente a cuatro quintos del recorrido de a a b); la recta sube desde (a, 0) hasta el vértice y baja hasta (b, 0). El vértice no lleva rótulo

Sabiendo que $c \geq \frac{a + b}{2}$ , halle una expresión para la mediana de $X$ en función de $a$ , $b$ y $c$ .

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Resultado: mediana $= a + \frac{( b - a ) ( c - a )}{2}$

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La figura muestra un triángulo con vértice en $x = c$ , a la derecha del punto medio de $[a, b]$ .

Área del tramo izquierdo (hasta $c$ ): $F (c) = \int_{a}^{c} \frac{2 ( x - a )}{( b - a ) ( c - a )} d x = \frac{( c - a ) ^{2}}{( b - a ) ( c - a )} = \frac{c - a}{b - a} .$
Como $c \geq \frac{a + b}{2}$ , se tiene $c - a \geq \frac{b - a}{2}$ , es decir $F (c) \geq \frac{1}{2}$ : la mediana $m$ está en el primer tramo, $a \leq m \leq c$ .
Imponemos $F (m) = \frac{1}{2}$ : $\frac{( m - a ) ^{2}}{( b - a ) ( c - a )} = \frac{1}{2} \Rightarrow (m - a)^{2} = \frac{( b - a ) ( c - a )}{2} \Rightarrow m = a + \frac{( b - a ) ( c - a )}{2} .$

Resultado: mediana $= a + \frac{( b - a ) ( c - a )}{2}$

Distribución normal: probabilidades

Ejercicio 50 BásicoIB · P1 Mayo 1998

La puntuación promedio de la prueba en una clase de matemáticas fue de 60 con una desviación típica 10. Suponiendo que las puntuaciones de las pruebas siguen una distribución normal, encuentre la proporción de alumnos que obtienen más de 80 en la prueba dada.

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Resultado: $P (X > 80) \approx 0, 0228$ (un $2, 28 %$ de los alumnos)

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Sea $X \sim N (60; 1 0^{2})$ . Tipificando, $z = \frac{80 - 60}{10} = 2$ , luego $P (X > 80) = P (Z > 2) = 1 - 0, 97725 \approx 0, 0228.$ Con la CPG (normal acumulada, límites 80 y un valor grande) se obtiene el mismo valor.

Resultado: $P (X > 80) \approx 0, 0228$ (un $2, 28 %$ de los alumnos)

Ejercicio 51 BásicoIB · P1 Noviembre 1999

La variable aleatoria $X$ tiene una distribución normal con media 30 y desviación típica 2. Calcule $P (27 \leq X \leq 34)$ .

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Resultado: $P (27 \leq X \leq 34) \approx 0, 910$

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Con la CPG (normal acumulada, $μ = 30$ , $σ = 2$ ): $P (27 \leq X \leq 34) = P (- 1, 5 \leq Z \leq 2) \approx 0, 910$ .

Resultado: $P (27 \leq X \leq 34) \approx 0, 910$

Ejercicio 52 BásicoIB · P1 Mayo 2002

Los pesos de cierta especie de pájaro tienen distribución normal, con una media de 0,8 kg y una desviación típica de 0,12 kg. Halle la probabilidad de que el peso de un pájaro de la especie, elegido en forma aleatoria, esté entre 0,74 kg y 0,95 kg.

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Resultado: $P (0, 74 \leq X \leq 0, 95) \approx 0, 586$

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Con la CPG (normal acumulada, $μ = 0, 8$ , $σ = 0, 12$ ): $P (0, 74 \leq X \leq 0, 95) = P (- 0, 5 \leq Z \leq 1, 25) \approx 0, 586$ .

Resultado: $P (0, 74 \leq X \leq 0, 95) \approx 0, 586$

Ejercicio 53 BásicoIB · P1 TZ2 Mayo 2004

La siguiente figura muestra la función densidad de probabilidad para la variable aleatoria $X$ , que está normalmente distribuida con media 250 y desviación típica 50.

Curva de campana de la distribución normal de media 250 y desviación típica 50, con eje horizontal x y eje vertical f(x) sin escala numérica; sobre el eje solo se marcan 180, 250 y 280, y la zona bajo la curva entre x = 180 y x = 280 está rayada con líneas diagonales

Halle la probabilidad representada por la región sombreada.

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Resultado: $P (180 \leq X \leq 280) \approx 0, 645$

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La región sombreada es $P (180 \leq X \leq 280)$ con $X \sim N (250; 5 0^{2})$ . Tipificando: $z = \frac{180 - 250}{50} = - 1, 4$ y $z = \frac{280 - 250}{50} = 0, 6$ . Con la CPG (normal acumulada): $P (180 \leq X \leq 280) = P (- 1, 4 \leq Z \leq 0, 6) \approx 0, 645.$

Resultado: $P (180 \leq X \leq 280) \approx 0, 645$

Ejercicio 54 MedioIB · P1 Noviembre 1996

Smith & Co. producen tarros de mermelada de tal manera que el peso neto de un tarro de mermelada se distribuye normalmente con una media de 450 g. y desviación típica 5 g.

¿Qué porcentaje de jarras tienen un peso neto de menos de 422 g?

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Resultado: $P (X < 422) \approx 1, 07 \cdot 1 0^{- 8}$ , o sea, un $1, 07 \cdot 1 0^{- 6} %$ de las jarras.

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Sea $X \sim N (450, 5^{2})$ . Se tipifica: $z = \frac{422 - 450}{5} = - 5, 6$ .

Con la CPG (normal acumulada): $P (X < 422) = P (Z < - 5, 6) \approx 1, 07 \cdot 1 0^{- 8} .$ En porcentaje: $1, 07 \cdot 1 0^{- 8} \cdot 100 = 1, 07 \cdot 1 0^{- 6} %$ , es decir, prácticamente ninguna jarra.

Resultado: $P (X < 422) \approx 1, 07 \cdot 1 0^{- 8}$ , o sea, un $1, 07 \cdot 1 0^{- 6} %$ de las jarras.

Ejercicio 55 MedioIB · P2 TZ2 Mayo 2013

Se cree que los tiempos de vida de los gatos de raza Manx siguen una distribución normal, de media 13,5 años y varianza $9, 5 a n ˜ os^{2}$ .

a) Para estos gatos Manx, calcule el rango de tiempos de vida situados a menos de una desviación típica de la media.

b) En una población de 10000 gatos Manx, estime cuántos tendrán un tiempo de vida inferior a 10 años. Dé la respuesta aproximada al número entero más cercano.

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Resultado: a) entre $10, 42$ y $16, 58$ años; b) $1281$ gatos

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La desviación típica es $σ = 9, 5 = 3, 082$ años.

a) Menos de una desviación típica de la media: $13, 5 \pm 3, 082$ , es decir, de $10, 42$ a $16, 58$ años.

b) Con la CPG (normal acumulada): $P (X < 10) = P (Z < \frac{10 - 13 , 5}{3 , 082}) = P (Z < - 1, 136) = 0, 1281$ . El número esperado es $10000 \cdot 0, 1281 = 1281$ .

Resultado: a) entre $10, 42$ y $16, 58$ años; b) $1281$ gatos

Ejercicio 56 MedioIB · P2 TZ0 Noviembre 2009

Tim va a un conocido restaurante donde no se puede reservar mesa. Se ha determinado que los tiempos de espera hasta que se consigue una mesa siguen una distribución normal, de media 18 minutos y desviación típica 4 minutos.

a) Tim dice que se marchará si 25 minutos después de haber llegado al restaurante todavía no ha conseguido mesa. Halle la probabilidad de que Tim se vaya del restaurante sin haber conseguido mesa.

b) Tim lleva esperando 15 minutos. Halle la probabilidad de que Tim consiga una mesa durante los próximos cinco minutos.

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Resultado: a) $0, 0401$ ; b) $0, 601$

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Sea $T \sim N (18, 4^{2})$ el tiempo de espera en minutos.

a) Con la CPG (normal acumulada): $P (T > 25) = P (Z > 1, 75) = 0, 0401$ .

b) Tim ya ha esperado 15 minutos, así que se pide $P (T < 20 ∣ T > 15)$ (consigue mesa entre los minutos 15 y 20): $P (15 < T < 20 ∣ T > 15) = \frac{P ( 15 < T < 20 )}{P ( T > 15 )} = \frac{0 , 6915 - 0 , 2266}{0 , 7734} = \frac{0 , 4649}{0 , 7734} \approx 0, 601.$

Resultado: a) $0, 0401$ ; b) $0, 601$

Ejercicio 57 MedioIB · P2 TZ0 Noviembre 2014

Las envergaduras de las aves de una determinada especie se pueden modelizar por una distribución normal, de media 60,2 cm y desviación típica 2,4 cm. Según este modelo, el 99% de las aves tienen una envergadura mayor que $x$ cm.

a) Halle el valor de $x$ .

En un experimento de campo, un equipo de investigación estudia una amplia muestra de estas aves. Miden la envergadura de cada ave, aproximada al múltiplo de 0,1 cm más próximo.

b) Halle la probabilidad de que un ave elegida al azar tenga una envergadura medida de 60,2 cm.

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Resultado: a) $x \approx 54, 6$ cm; b) $0, 0166$

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Sea $X \sim N (60, 2; 2, 4^{2})$ .

a) $P (X > x) = 0, 99$ equivale a $P (X < x) = 0, 01$ . Con la CPG (normal inversa): $x = 54, 6$ cm.

b) Una envergadura medida de $60, 2$ cm corresponde a una envergadura real entre $60, 15$ y $60, 25$ cm. Con la CPG (normal acumulada): $P (60, 15 < X < 60, 25) = 0, 0166.$

Resultado: a) $x \approx 54, 6$ cm; b) $0, 0166$

Ejercicio 58 MedioIB · P2 TZ1 Mayo 2018

La edad, $L$ , en años, de un lobo puede ser modelada por la distribución normal $L \sim N (8, 5)$ , es decir, de media 8 y varianza 5.

a) Encuentre la probabilidad de que un lobo seleccionado al azar tenga al menos 5 años.

Ocho lobos son seleccionados al azar y sus edades registradas.

b) Encuentre la probabilidad de que más de seis de estos lobos tengan al menos 5 años de edad.

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Resultado: a) $0, 910$ ; b) $0, 843$

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Aquí $L \sim N (8, 5)$ : la varianza es $5$ , luego $σ = 5$ .

a) Con la CPG (normal acumulada): $P (L \geq 5) = P (Z \geq \frac{5 - 8}{5}) = P (Z \geq - 1, 342) = 0, 910$ .

b) Sea $Y$ el número de lobos, de entre 8, con al menos 5 años: $Y \sim B (8; 0, 9101)$ . "Más de seis" significa $Y \geq 7$ . Con la CPG (binomial): $P (Y \geq 7) = P (Y = 7) + P (Y = 8) = 0, 843.$

Resultado: a) $0, 910$ ; b) $0, 843$

Ejercicio 59 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2019

Sea $X$ una variable aleatoria que sigue una distribución normal con media $μ$ . Sabiendo que $P (X < μ - 5) = 0, 2$ , calcule:

a) $P (X > μ + 5)$ ;

b) $P (X < μ + 5 ∣ X > μ - 5)$ .

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Resultado: a) $0, 2$ ; b) $\frac{3}{4}$

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a) La distribución normal es simétrica respecto de $μ$ , así que $P (X > μ + 5) = P (X < μ - 5) = 0, 2$ .

b) $P (X < μ + 5 ∣ X > μ - 5) = \frac{P ( μ - 5 < X < μ + 5 )}{P ( X > μ - 5 )} .$ Numerador: $1 - 0, 2 - 0, 2 = 0, 6$ . Denominador: $1 - 0, 2 = 0, 8$ . Por tanto $\frac{0 , 6}{0 , 8} = \frac{3}{4} .$

Resultado: a) $0, 2$ ; b) $\frac{3}{4}$

Ejercicio 60 MedioIB · P2 TZ2 Mayo 2018

La variable aleatoria $X$ sigue una distribución normal de media $μ = 50$ y varianza $σ^{2} = 16$ .

a) Dibuje aproximadamente la función densidad de probabilidad correspondiente a $X$ y sombree la región que representa $P (μ - 2 σ < X < μ + σ)$ .

b) Halle el valor de $P (μ - 2 σ < X < μ + σ)$ .

c) Halle el valor de $k$ para el cual $P (μ - k σ < X < μ + k σ) = 0, 5$ .

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Resultado: b) $0, 819$ ; c) $k \approx 0, 674$

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a) Curva de densidad normal de media 50 y desviación típica 4, con forma de campana simétrica respecto de x = 50; el eje x tiene marcas en 42 (μ−2σ), 50 (μ) y 54 (μ+σ), y el eje vertical f(x) no lleva escala numérica. La zona bajo la curva entre x = 42 y x = 54 está sombreada; el resto de la curva queda sin sombrear

Con $σ = 16 = 4$ : $μ - 2 σ = 42$ y $μ + σ = 54$ .

b) Con la CPG (normal acumulada, límites 42 y 54, $μ = 50$ , $σ = 4$ ): $P (42 < X < 54) = P (- 2 < Z < 1) \approx 0, 819.$

c) Tipificando, $P (- k < Z < k) = 0, 5$ , luego $P (Z < k) = 0, 75$ . Con la CPG (normal inversa, área $0, 75$ ): $k \approx 0, 674$ .

Resultado: b) $0, 819$ ; c) $k \approx 0, 674$

Ejercicio 61 MedioIB · P2 TZ2 Mayo 2016

Una variable aleatoria $X$ sigue una distribución normal de media 3 y varianza igual a $2^{2}$ .

a) Halle $P (0 \leq X \leq 2)$ .

b) Halle $P (∣ X ∣ > 1)$ .

c) Sabiendo que $P (X > c) = 0, 44$ , halle el valor de $c$ .

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Resultado: a) $0, 242$ ; b) $0, 864$ ; c) $c \approx 3, 30$

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Sea $X \sim N (3; 2^{2})$ .

a) Con la CPG (normal acumulada): $P (0 \leq X \leq 2) \approx 0, 242$ .

b) $P (∣ X ∣ > 1) = 1 - P (- 1 \leq X \leq 1)$ . Con la CPG, $P (- 1 \leq X \leq 1) \approx 0, 136$ y $P (∣ X ∣ > 1) \approx 1 - 0, 136 = 0, 864.$

c) $P (X > c) = 0, 44$ equivale a $P (X < c) = 0, 56$ . Con la CPG (normal inversa, área $0, 56$ , $μ = 3$ , $σ = 2$ ): $c \approx 3, 30$ .

Resultado: a) $0, 242$ ; b) $0, 864$ ; c) $c \approx 3, 30$

Ejercicio 62 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2005

Sea $X$ una variable aleatoria normal con media 25 y varianza 4. Halle $P (∣ X - 25∣ < 3)$ .

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Resultado: $P (∣ X - 25∣ < 3) \approx 0, 866$

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Sea $X \sim N (25; 4)$ , con $σ = 2$ . $P (∣ X - 25∣ < 3) = P (22 < X < 28) = P (- 1, 5 < Z < 1, 5)$ . Con la CPG (normal acumulada): $P \approx 0, 866.$

Resultado: $P (∣ X - 25∣ < 3) \approx 0, 866$

Ejercicio 63 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2006

El peso de un determinado tipo de vegetal sigue una distribución normal con media 450 gramos y desviación típica 50 gramos.

a) En una carga que contiene 2000 de estos vegetales, calcule el número esperado de vegetales que tienen un peso superior a 525 gramos.

b) Halle el valor del tercer cuartil de la distribución.

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Resultado: a) $134$ vegetales; b) $Q_{3} \approx 484$ g

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Sea $X$ el peso, $X \sim N (450, 5 0^{2})$ .

a) Con la CPG (normal acumulada): $P (X > 525) = 0, 0668$ . El número esperado entre 2000 vegetales es $2000 \cdot 0, 0668 = 133, 6 \approx 134.$

b) El tercer cuartil cumple $P (X < Q_{3}) = 0, 75$ . Con la CPG (normal inversa): $Q_{3} = 483, 7$ .

Resultado: a) $134$ vegetales; b) $Q_{3} \approx 484$ g

Ejercicio 64 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2007

La longitud de una especie particular de lagarto sigue una distribución normal, con una longitud media igual a 50 cm y una desviación típica de 4 cm. Se escoge un lagarto al azar.

a) Halle la probabilidad de que su longitud sea superior a 45 cm.

b) Sabiendo que su longitud es superior a 45 cm, halle la probabilidad de que su longitud sea superior a 55 cm.

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Resultado: a) $0, 894$ ; b) $0, 118$

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Sea $L$ la longitud, $L \sim N (50, 4^{2})$ .

a) Con la CPG (normal acumulada): $P (L > 45) = 0, 894$ .

b) Probabilidad condicionada. Como ${L > 55} \subset {L > 45}$ : $P (L > 55 ∣ L > 45) = \frac{P ( L > 55 )}{P ( L > 45 )} = \frac{0 , 1056}{0 , 8944} = 0, 118.$

Resultado: a) $0, 894$ ; b) $0, 118$

Ejercicio 65 DifícilIB · P2 TZ2 Mayo 2011

Los pesos de los peces que hay en un lago siguen una distribución normal de media 1,3 kg y desviación típica igual a 0,2 kg.

a) Determine la probabilidad de que un pez que acabamos de pescar en el lago pese menos de 1,4 kg.

b) Juan pesca 6 peces. Calcule la probabilidad de que al menos 4 de estos peces pesen más de 1,4 kg.

c) Determine la probabilidad de que un pez que acabamos de pescar en el lago pese menos de 1 kg, sabiendo que pesa menos de 1,4 kg.

Ver resultado

Resultado: a) $0, 691$ ; b) $0, 077$ ; c) $0, 097$

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Sea $X \sim N (1, 3; 0, 2^{2})$ .

a) Con la CPG (normal acumulada): $P (X < 1, 4) = 0, 6915 \approx 0, 691$ .

b) La probabilidad de que un pez pese más de $1, 4$ kg es $p = 1 - 0, 6915 = 0, 3085$ . Sea $Y$ el número de peces, de entre los 6, con más de $1, 4$ kg: $Y \sim B (6; 0, 3085)$ . Con la CPG: $P (Y \geq 4) = 1 - P (Y \leq 3) = 0, 0775 \approx 0, 077.$

c) $P (X < 1 ∣ X < 1, 4) = \frac{P ( X < 1 )}{P ( X < 1 , 4 )} = \frac{0 , 0668}{0 , 6915} \approx 0, 0966 \approx 0, 097.$

Resultado: a) $0, 691$ ; b) $0, 077$ ; c) $0, 097$

Ejercicio 66 DifícilIB · P2 TZ1 Mayo 2017

Los tiempos necesarios para que los corredores masculinos completen un maratón se pueden modelar en forma de distribución normal con una media de 196 minutos y una desviación típica de 24 minutos.

a) Encuentre la probabilidad de que un corredor seleccionado al azar complete el maratón en menos de 3 horas.

Se sabe que el 5% de los corredores masculinos completan el maratón en menos de $T_{1}$ minutos.

b) Calcule $T_{1}$ .

El tiempo que tardan las corredoras en completar el maratón puede modelarse en forma de distribución normal con una media de 210 minutos. Se encuentra que el 58% de las corredoras completan el maratón entre 185 y 235 minutos.

c) Encuentre la desviación típica de los tiempos de las corredoras.

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Resultado: a) $0, 252$ ; b) $T_{1} \approx 156$ min ( $156, 5$ ); c) $σ \approx 31, 0$ min

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Sea $X \sim N (196; 2 4^{2})$ (minutos).

a) 3 horas son 180 minutos. Con la CPG (normal acumulada): $P (X < 180) \approx 0, 252$ .

b) Se busca $T_{1}$ con $P (X < T_{1}) = 0, 05$ . Con la CPG (normal inversa, área $0, 05$ ): $T_{1} \approx 156$ minutos (más exactamente $156, 5$ ).

c) Sea $Y \sim N (210, σ^{2})$ . Los valores 185 y 235 están a $25$ de la media, por tanto $P (185 < Y < 235) = P (∣ Y - 210∣ < 25) = 0, 58$ . Entonces $P (Y < 235) = 0, 5 + 0, 29 = 0, 79$ , y $\frac{25}{σ} = z_{0, 79} \approx 0, 8064 \Rightarrow σ \approx 31, 0 minutos .$

Resultado: a) $0, 252$ ; b) $T_{1} \approx 156$ min ( $156, 5$ ); c) $σ \approx 31, 0$ min

Normal inversa y tipificación: hallar valores, μ y σ

Ejercicio 67 BásicoIB · P1 Mayo 2001

$Z$ es una variable aleatoria normal con media 0 y varianza 1. Calcule el valor de $a$ para el cual $P (∣ Z ∣ \leq a) = 0, 75$ .

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Resultado: $a \approx 1, 15$

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$P (∣ Z ∣ \leq a) = P (- a \leq Z \leq a) = 2Φ (a) - 1 = 0, 75$ , luego $Φ (a) = 0, 875$ . Con la CPG (normal inversa, área $0, 875$ ): $a \approx 1, 15$ .

Resultado: $a \approx 1, 15$

Ejercicio 68 BásicoIB · P1 TZ0 Mayo 2006

Los pesos en gramos de los panes que vende un supermercado están normalmente distribuidos con media 200 g. Los pesos del 88% de los panes son inferiores a 220 g. Halle la desviación típica.

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Resultado: $σ \approx 17, 0$ g

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Sea $X \sim N (200; σ^{2})$ . $P (X < 220) = 0, 88$ . Con la CPG (normal inversa, área $0, 88$ ): $z \approx 1, 175$ . Entonces $\frac{220 - 200}{σ} = 1, 175 \Rightarrow σ = \frac{20}{1 , 175} \approx 17, 0 g .$

Resultado: $σ \approx 17, 0$ g

Ejercicio 69 BásicoIB · P2 TZ1 Mayo 2010

En una fábrica de gafas, se sabe que el peso de las gafas tiene un promedio de 160 gramos. También se sabe que el rango intercuartil de los pesos de las gafas es de 28 gramos. Suponiendo que los pesos de las gafas se distribuyan normalmente, calcule la desviación típica de los pesos de las gafas.

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Resultado: $σ = 20, 8$ g

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El rango intercuartílico de una normal es $Q_{3} - Q_{1}$ . Con $P (Z < z) = 0, 75$ se tiene $z = 0, 6745$ , así que $Q_{3} = 160 + 0, 6745 σ, Q_{1} = 160 - 0, 6745 σ, Q_{3} - Q_{1} = 1, 349 σ = 28.$ Por tanto $σ = \frac{28}{1 , 349} = 20, 8$ g.

Resultado: $σ = 20, 8$ g

Ejercicio 70 MedioIB · P1 Mayo 1997

Un zoólogo sabe que las longitudes de un cierto tipo de serpiente tropical se distribuyen normalmente con una longitud media de $L$ metros y una desviación típica de 0,12 metros. Si el 20% de las serpientes son más largas que 0,70 metros, encuentre el valor de $L$ .

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Resultado: $L \approx 0, 599$ m

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Sea $X \sim N (L, 0, 1 2^{2})$ . Se sabe que $P (X > 0, 70) = 0, 20$ , es decir, $P (X < 0, 70) = 0, 80$ .

Con la CPG (normal inversa): $z = 0, 8416$ deja a su izquierda un $80 %$ . Entonces $\frac{0 , 70 - L}{0 , 12} = 0, 8416 \Rightarrow L = 0, 70 - 0, 12 \cdot 0, 8416 = 0, 599.$

Resultado: $L \approx 0, 599$ m

Ejercicio 71 MedioIB · P2 TZ2 Noviembre 2010

La pérdida de peso, en kilogramos, de las personas que siguen el régimen adelgazante DELGAMAS durante un periodo de tres meses está modelizada por una variable aleatoria $X$ . Los datos experimentales mostraron que el 67% de las personas que utilizaron DELGAMAS perdieron hasta 5 kilogramos, mientras que el 12,4% perdieron al menos siete kilogramos. Suponiendo que $X$ sigue una distribución normal, halle la pérdida de peso esperada para una persona que siga durante tres meses la dieta DELGAMAS.

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Resultado: pérdida de peso esperada $μ \approx 3, 77$ kg

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Sea $X \sim N (μ, σ^{2})$ . Datos: $P (X \leq 5) = 0, 67$ y $P (X \geq 7) = 0, 124$ , es decir, $P (X < 7) = 0, 876$ .

Con la CPG (normal inversa, $N (0, 1)$ ): $z_{0, 67} = 0, 4399$ y $z_{0, 876} = 1, 1552$ . Entonces $\frac{5 - μ}{σ} = 0, 4399, \frac{7 - μ}{σ} = 1, 1552.$ Restando: $\frac{2}{σ} = 0, 7153 \Rightarrow σ = 2, 796$ , y $μ = 5 - 0, 4399 \cdot 2, 796 = 3, 77$ .

Resultado: pérdida de peso esperada $μ \approx 3, 77$ kg

Ejercicio 72 MedioIB · P2 TZ0 Noviembre 2013

A lo largo de un año dado, la duración de los vuelos directos que iban de Londres a Singapur siguió una distribución normal, de media $μ$ y desviación típica $σ$ .

El 92% de los vuelos duraron menos de 13 horas, mientras que sólo el 12% de los vuelos duraron menos de 12 horas y 35 minutos.

Halle $μ$ y $σ$ , aproximando al número de minutos más próximo.

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Resultado: $μ \approx 766$ min (12 h 46 min); $σ \approx 10$ min

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Se pasa todo a minutos: $13$ h $= 780$ min y $12$ h $35$ min $= 755$ min. Datos: $P (X < 780) = 0, 92$ y $P (X < 755) = 0, 12$ .

Con la CPG (normal inversa, $N (0, 1)$ ): $z_{0, 92} = 1, 4051$ y $z_{0, 12} = - 1, 1750$ : $\frac{780 - μ}{σ} = 1, 4051, \frac{755 - μ}{σ} = - 1, 1750.$ Restando: $\frac{25}{σ} = 2, 5801 \Rightarrow σ = 9, 69 \approx 10$ min. Entonces $μ = 780 - 1, 4051 \cdot 9, 69 = 766, 4 \approx 766$ min.

Resultado: $μ \approx 766$ min (12 h 46 min); $σ \approx 10$ min

Ejercicio 73 MedioIB · P2 TZ2 Mayo 2010

El tiempo de supervivencia de las malas hierbas de un campo, después de haber sido rociadas con un herbicida, sigue una distribución normal cuya media es igual a 15 días.

a) Si la probabilidad de una supervivencia de más de 21 días es igual a 0,2, halle la desviación típica del tiempo de supervivencia. Cuando se rocía otro campo, el tiempo de supervivencia de las malas hierbas sigue una distribución normal cuya media es igual a 18 días.

b) Si la desviación típica del tiempo de supervivencia no cambia, halle la probabilidad de una supervivencia de más de 21 días.

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Resultado: a) $σ \approx 7, 13$ días; b) $0, 337$

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Sea $X \sim N (15, σ^{2})$ .

a) $P (X > 21) = 0, 2$ equivale a $P (X < 21) = 0, 8$ . Con la CPG (normal inversa): $z_{0, 8} = 0, 8416$ , luego $\frac{21 - 15}{σ} = 0, 8416 \Rightarrow σ = \frac{6}{0 , 8416} = 7, 13 d ı ˊ as .$

b) Ahora $X \sim N (18; 7, 1 3^{2})$ . Con la CPG (normal acumulada): $P (X > 21) = P (Z > \frac{3}{7 , 129}) = P (Z > 0, 4208) \approx 0, 337.$

Resultado: a) $σ \approx 7, 13$ días; b) $0, 337$

Ejercicio 74 MedioIB · P2 TZ1 Mayo 2015

Los tiempos de llegada en una carrera de maratón siguen una distribución normal con media de 210 minutos y desviación estándar 22 minutos.

a) Encuentre la probabilidad de que un corredor termine la carrera en menos de tres horas.

El 90% de los más rápidos que acaban reciben un certificado.

b) Encuentre el tiempo, por debajo del cual un competidor tiene que completar la carrera, para ganar un certificado.

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Resultado: a) $0, 0863$ ; b) $238, 2$ minutos

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Sea $T \sim N (210, 2 2^{2})$ en minutos. Tres horas son $180$ minutos.

a) Con la CPG (normal acumulada): $P (T < 180) = P (Z < - 1, 364) = 0, 0863$ .

b) Se busca $t$ con $P (T < t) = 0, 90$ . Con la CPG (normal inversa): $t = 238, 2$ minutos (unas 3 h 58 min).

Resultado: a) $0, 0863$ ; b) $238, 2$ minutos

Ejercicio 75 MedioIB · P2 TZ2 Mayo 2014

Los pesos, en kg, de los oseznos de un año siguen una distribución normal, de media $μ$ y desviación típica $σ$ .

a) Sabiendo que el peso correspondiente al tercer cuartil es 21,3 kg y que el peso correspondiente al primer cuartil es 17,1 kg, calcule el valor de $μ$ y el de $σ$ .

Se toma una muestra aleatoria compuesta por 100 oseznos.

b) Halle el número esperado de oseznos que pesan más de 22 kg.

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Resultado: a) $μ = 19, 2$ kg, $σ \approx 3, 11$ kg; b) $\approx 18$ oseznos ( $18, 4$ )

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a) El primer cuartil deja un $25 %$ a su izquierda y el tercero un $75 %$ . Con la CPG (normal inversa): $z_{0, 75} = 0, 6745$ y $z_{0, 25} = - 0, 6745$ : $\frac{21 , 3 - μ}{σ} = 0, 6745, \frac{17 , 1 - μ}{σ} = - 0, 6745.$ Restando: $\frac{4 , 2}{σ} = 1, 349 \Rightarrow σ = 3, 11$ . Sumando (o por simetría): $μ = \frac{21 , 3 + 17 , 1}{2} = 19, 2$ .

b) Con la CPG (normal acumulada): $P (X > 22) = P (Z > \frac{22 - 19 , 2}{3 , 1135}) = P (Z > 0, 8993) = 0, 1842$ . El número esperado es $100 \cdot 0, 1842 = 18, 4 \approx 18$ oseznos.

Resultado: a) $μ = 19, 2$ kg, $σ \approx 3, 11$ kg; b) $\approx 18$ oseznos ( $18, 4$ )

Ejercicio 76 MedioIB · P2 TZ0 Noviembre 2018

Se sabe que el 56% de las pilas Infiglow duran menos de 16 horas y que el 94% duran menos de 17 horas. Se puede suponer que la duración de estas pilas sigue una distribución normal $N (μ, σ^{2})$ .

a) Halle el valor de $μ$ y el valor de $σ$ .

b) Halle la probabilidad de que una pila Infiglow elegida al azar dure al menos 15 horas.

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Resultado: a) $μ \approx 15, 9$ ; $σ \approx 0, 712$ ; b) $0, 895$

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a) Sea $X \sim N (μ, σ^{2})$ . $P (X < 16) = 0, 56$ y $P (X < 17) = 0, 94$ . Con la CPG (normal inversa): $z_{0, 56} = 0, 1510$ y $z_{0, 94} = 1, 5548$ : $\frac{16 - μ}{σ} = 0, 1510, \frac{17 - μ}{σ} = 1, 5548.$ Restando: $\frac{1}{σ} = 1, 4038 \Rightarrow σ = 0, 712$ . Entonces $μ = 16 - 0, 1510 \cdot 0, 7123 = 15, 9$ .

b) Con la CPG (normal acumulada) y $N (15, 8925; 0, 712 3^{2})$ : $P (X \geq 15) = P (Z \geq - 1, 2528) = 0, 895$ .

Resultado: a) $μ \approx 15, 9$ ; $σ \approx 0, 712$ ; b) $0, 895$

Ejercicio 77 MedioIB · P2 TZ0 Noviembre 2017

Se sabe que una de cada cinco tazas de café contiene más de 120 mg de cafeína.

También se sabe que tres de cada cinco tazas contienen más de 110 mg de cafeína.

Se sabe que la cafeína contenida en el café está modelada por una distribución normal.

Calcule la media y la desviación típica de la cafeína contenida en el café.

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Resultado: $μ \approx 112$ mg (más exactamente $112, 3$ mg); $σ \approx 9, 13$ mg

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Sea $X \sim N (μ, σ^{2})$ . Los datos son $P (X > 120) = 0, 2$ y $P (X > 110) = 0, 6$ , es decir, $P (X < 110) = 0, 4$ .

Con la CPG (normal inversa): $z_{0, 8} \approx 0, 8416$ y $z_{0, 4} \approx - 0, 2533$ . Tipificando: $\frac{120 - μ}{σ} = 0, 8416, \frac{110 - μ}{σ} = - 0, 2533.$ Restando: $\frac{10}{σ} = 1, 0949$ , luego $σ \approx 9, 13$ . Entonces $μ = 120 - 0, 8416 \cdot 9, 1327 \approx 112, 3$ .

Resultado: $μ \approx 112$ mg (más exactamente $112, 3$ mg); $σ \approx 9, 13$ mg

Ejercicio 78 MedioIB · P2 TZ1 Mayo 2016

Las alturas de los estudiantes en un grupo de un solo año en una escuela pueden ser modeladas por una distribución normal. Se sabe que el 40% de los estudiantes miden menos de 1,62 m y el 25% son más altos de 1,79 m. Calcule la media y la desviación típica de las alturas de los estudiantes.

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Resultado: $μ \approx 1, 67$ m; $σ \approx 0, 183$ m

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Sea $X \sim N (μ, σ^{2})$ la altura. $P (X < 1, 62) = 0, 4$ y $P (X > 1, 79) = 0, 25$ , es decir, $P (X < 1, 79) = 0, 75$ .

Con la CPG (normal inversa): $z_{0, 4} \approx - 0, 2533$ y $z_{0, 75} \approx 0, 6745$ . Entonces $\frac{1 , 62 - μ}{σ} = - 0, 2533, \frac{1 , 79 - μ}{σ} = 0, 6745.$ Restando: $\frac{0 , 17}{σ} = 0, 9278$ , luego $σ \approx 0, 183$ . Entonces $μ = 1, 62 + 0, 2533 \cdot 0, 1832 \approx 1, 67$ .

Resultado: $μ \approx 1, 67$ m; $σ \approx 0, 183$ m

Ejercicio 79 MedioIB · P2 TZ0 Noviembre 2016

Una variable aleatoria $X$ sigue una distribución normal de media $μ$ y desviación típica $σ$ , tal que $P (X < 30, 31) = 0, 1180$ y $P (X > 42, 52) = 0, 3060$ .

a) Halle $μ$ y $σ$ .

b) Halle $P (∣ X - μ ∣ < 1, 2 σ)$ .

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Resultado: a) $μ \approx 38, 9$ ; $σ \approx 7, 22$ ; b) $0, 770$

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a) $P (X < 30, 31) = 0, 1180$ y $P (X < 42, 52) = 1 - 0, 3060 = 0, 6940$ . Con la CPG (normal inversa): $z \approx - 1, 1850$ y $z \approx 0, 5072$ . Entonces $\frac{30 , 31 - μ}{σ} = - 1, 1850, \frac{42 , 52 - μ}{σ} = 0, 5072.$ Restando: $\frac{12 , 21}{σ} = 1, 6922$ , luego $σ \approx 7, 22$ ; y $μ = 30, 31 + 1, 1850 \cdot 7, 215 \approx 38, 9$ .

b) $P (∣ X - μ ∣ < 1, 2 σ) = P (∣ Z ∣ < 1, 2) = 2Φ (1, 2) - 1$ . Con la CPG: $\approx 0, 770$ .

Resultado: a) $μ \approx 38, 9$ ; $σ \approx 7, 22$ ; b) $0, 770$

Ejercicio 80 MedioIB · P1 Mayo 1999

Una fábrica tiene una máquina diseñada para producir bolsas de azúcar de 1 kg. Se ha encontrado que el peso medio de azúcar en las bolsas es de 1,02 kg. Suponiendo que los pesos de las bolsas estén distribuidos normalmente, encuentre la desviación típica si el 1,7% de las bolsas pesan menos de 1 kg. Dé su respuesta correcta al 0,1 gramo más cercano.

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Resultado: $σ \approx 9, 4$ g

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Sea $X \sim N (1, 02; σ^{2})$ el peso en kg. Se tiene $P (X < 1) = 0, 017$ . Con la CPG (normal inversa, área $0, 017$ ): $z \approx - 2, 120$ . Entonces $\frac{1 - 1 , 02}{σ} = - 2, 120 \Rightarrow σ = \frac{0 , 02}{2 , 120} \approx 0, 00943 kg \approx 9, 4 g .$

Resultado: $σ \approx 9, 4$ g

Ejercicio 81 MedioIB · P2 Noviembre 2003

Una variable aleatoria $X$ está normalmente distribuida con media $μ$ y desviación típica $σ$ de modo que $P (X > 50, 32) = 0, 119$ y $P (X < 43, 56) = 0, 305$ .

a) Calcule $μ$ y $σ$ .

b) A partir de lo anterior halle $P (∣ X - μ ∣ < 5)$ .

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Resultado: a) $μ \approx 45, 6$ ; $σ \approx 4, 00$ ; b) $0, 789$

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a) $P (X < 50, 32) = 1 - 0, 119 = 0, 881$ . Con la CPG (normal inversa): $z \approx 1, 180$ y, para $0, 305$ , $z \approx - 0, 5101$ . Entonces $\frac{50 , 32 - μ}{σ} = 1, 180, \frac{43 , 56 - μ}{σ} = - 0, 5101.$ Restando: $\frac{6 , 76}{σ} = 1, 690$ , luego $σ \approx 4, 00$ , y $μ = 50, 32 - 1, 180 \cdot 4, 00 \approx 45, 6$ .

b) $P (∣ X - μ ∣ < 5) = P (40, 6 < X < 50, 6)$ . Con la CPG (normal acumulada, $μ = 45, 6$ , $σ = 4$ ): $\approx 0, 789$ .

Resultado: a) $μ \approx 45, 6$ ; $σ \approx 4, 00$ ; b) $0, 789$

Ejercicio 82 MedioIB · P1 Mayo 2003

La variable aleatoria $X$ tiene una distribución normal, y además

$P (X \leq 10) = 0, 670 P (X \leq 12) = 0, 937$

Halle $E (X)$ .

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Resultado: $E (X) = μ \approx 9, 19$

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Con la CPG (normal inversa): $z_{0, 670} \approx 0, 4399$ y $z_{0, 937} \approx 1, 5301$ . Entonces $\frac{10 - μ}{σ} = 0, 4399, \frac{12 - μ}{σ} = 1, 5301.$ Restando: $\frac{2}{σ} = 1, 0902$ , luego $σ \approx 1, 835$ . Así, $μ = 10 - 0, 4399 \cdot 1, 835 \approx 9, 19$ .

Resultado: $E (X) = μ \approx 9, 19$

Ejercicio 83 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2004

Se puede suponer que los pesos de los machos adultos de un tipo de perro se distribuyen normalmente con media de 25 kg y desviación típica de 3 kg. Sabiendo que el 30% de los pesos se encuentran entre 25 kg y $x$ kg, donde $x > 25$ , encuentre el valor de $x$ .

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Resultado: $x \approx 27, 5$ kg

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Sea $X \sim N (25; 3^{2})$ . $P (25 < X < x) = 0, 3$ y $P (X < 25) = 0, 5$ , luego $P (X < x) = 0, 8$ . Con la CPG (normal inversa, área $0, 8$ , $μ = 25$ , $σ = 3$ ): $x \approx 27, 5$ .

Resultado: $x \approx 27, 5$ kg

Ejercicio 84 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2005

La variable aleatoria $X$ está normalmente distribuida con media $μ$ y varianza $σ^{2}$ . Si $P (X > 6, 2) = 0, 9474$ y $P (X < 9, 8) = 0, 6368$ , calcule el valor de $μ$ y el valor de $σ$ .

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Resultado: $μ \approx 9, 16$ ; $σ \approx 1, 83$

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$P (X > 6, 2) = 0, 9474$ equivale a $P (X < 6, 2) = 0, 0526$ . Con la CPG (normal inversa): $z \approx - 1, 620$ para $0, 0526$ , y $z \approx 0, 3499$ para $0, 6368$ . Entonces $\frac{6 , 2 - μ}{σ} = - 1, 620, \frac{9 , 8 - μ}{σ} = 0, 3499.$ Restando: $\frac{3 , 6}{σ} = 1, 970$ , luego $σ \approx 1, 83$ . Y $μ = 9, 8 - 0, 3499 \cdot 1, 827 \approx 9, 16$ .

Resultado: $μ \approx 9, 16$ ; $σ \approx 1, 83$

Ejercicio 85 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2007

Un fabricante de muebles fabrica mesas. Una pata de mesa se considera que es demasiado ancha si su anchura es superior a 10,5 cm, y demasiado estrecha si su anchura es inferior a 9,5 cm. La experiencia demuestra que el 2% de las patas de mesa que se fabrican son demasiado anchas y que un 4% de las patas de mesa son demasiado estrechas. Las anchuras de las patas de mesa siguen una distribución normal, de media $μ$ cm y desviación típica igual a $σ$ cm. Halle el valor de $μ$ y de $σ$ .

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Resultado: $μ = 9, 96$ cm; $σ = 0, 263$ cm

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Sea $X \sim N (μ, σ^{2})$ la anchura. Los datos son $P (X > 10, 5) = 0, 02$ y $P (X < 9, 5) = 0, 04$ .

Con la normal inversa estándar: $P (Z < z) = 0, 98 \Rightarrow z = 2, 054$ y $P (Z < z) = 0, 04 \Rightarrow z = - 1, 751$ .
Estandarizando: $\frac{10 , 5 - μ}{σ} = 2, 054, \frac{9 , 5 - μ}{σ} = - 1, 751.$
Restando las ecuaciones $10, 5 - μ = 2, 054 σ$ y $9, 5 - μ = - 1, 751 σ$ : $1 = 3, 805 σ \Rightarrow σ = 0, 263.$
$μ = 10, 5 - 2, 054 \cdot 0, 2629 = 9, 96$ .

Resultado: $μ = 9, 96$ cm; $σ = 0, 263$ cm

Ejercicio 86 MedioIB · P2 TZ1 Mayo 2007

El tiempo, $T$ minutos, que pasan cada día los estudiantes en la escuela de Amy para enviar mensajes de texto puede ser modelado por una distribución normal. 30% de los estudiantes pasan menos de 10 minutos por día, 35% pasan más de 15 minutos por día. Halle la media y la desviación típica de $T$ .

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Resultado: $μ = 12, 9$ min; $σ = 5, 50$ min

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Sea $T \sim N (μ, σ^{2})$ con $P (T < 10) = 0, 30$ y $P (T > 15) = 0, 35$ .

Normal inversa estándar: $P (Z < z) = 0, 30 \Rightarrow z = - 0, 5244$ ; $P (Z < z) = 0, 65 \Rightarrow z = 0, 3853$ .
Ecuaciones: $\frac{10 - μ}{σ} = - 0, 5244, \frac{15 - μ}{σ} = 0, 3853.$
Restando: $\frac{5}{σ} = 0, 9097 \Rightarrow σ = 5, 50$ .
$μ = 10 + 0, 5244 \cdot 5, 496 = 12, 9$ .

Resultado: $μ = 12, 9$ min; $σ = 5, 50$ min

Ejercicio 87 MedioIB · P2 TZ1 Mayo 2014

Un estudiante se presenta a una prueba nacional y se le dice que las puntuaciones siguen una distribución normal con media 100. El estudiante recibe una puntuación de 124 y se le dice que está en el percentil 68. Calcule la varianza de la distribución.

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Resultado: $σ^{2} \approx 2630$

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Sea $X \sim N (100, σ^{2})$ . Estar en el percentil 68 significa $P (X < 124) = 0, 68$ .

Normal inversa estándar: $P (Z < z) = 0, 68 \Rightarrow z = 0, 4677$ .
Estandarizando: $\frac{124 - 100}{σ} = 0, 4677 \Rightarrow σ = \frac{24}{0 , 4677} = 51, 3$ .
Varianza: $σ^{2} = 51, 3^{2} \approx 2630$ (con más cifras, $2633$ ).

Resultado: $σ^{2} \approx 2630$

Problemas combinados de contexto

Ejercicio 88 MedioIB · P2 TZ2 Mayo 2008

Las distancias recorridas por los alumnos para ir a clase al colegio Gauss siguen una distribución normal de media 6 km y con una desviación típica de 1,5 km.

a) (i) Halle la probabilidad de que la distancia recorrida hasta el colegio Gauss por un alumno elegido al azar esté comprendida entre 4,8 km y 7,5 km.

(ii) El 15% de los alumnos recorre menos de $d$ km para ir al colegio Gauss. Halle el valor de $d$ .

En el colegio Euler, las distancias recorridas por los alumnos para ir a clase siguen una distribución normal de media $μ$ km y con una desviación típica $σ$ km.

b) Si el 10% de los alumnos recorre más de 8 km y el 5% de los alumnos recorre menos de 2 km, halle el valor de $μ$ y el de $σ$ .

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Resultado: a) i) $0, 629$ ; ii) $d \approx 4, 45$ km; b) $μ \approx 5, 37$ km, $σ \approx 2, 05$ km

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Para el colegio Gauss, $X \sim N (6; 1, 5^{2})$ .

a) i) Con la CPG (normal acumulada): $P (4, 8 < X < 7, 5) = 0, 8413 - 0, 2119 = 0, 629$ .

(ii) Con la CPG (normal inversa): el percentil $15 %$ de $N (6; 1, 5^{2})$ es $d = 4, 45$ km.

b) Sea $Y \sim N (μ, σ^{2})$ . Con $P (Y > 8) = 0, 10$ y $P (Y < 2) = 0, 05$ , las normales inversas dan $z_{0, 90} = 1, 2816$ y $z_{0, 05} = - 1, 6449$ : $\frac{8 - μ}{σ} = 1, 2816, \frac{2 - μ}{σ} = - 1, 6449.$ Restando: $\frac{6}{σ} = 2, 9265 \Rightarrow σ = 2, 05$ . Y $μ = 8 - 1, 2816 \cdot 2, 0503 = 5, 37$ .

Resultado: a) i) $0, 629$ ; ii) $d \approx 4, 45$ km; b) $μ \approx 5, 37$ km, $σ \approx 2, 05$ km

Ejercicio 89 MedioIB · P2 TZ2 Mayo 2017

Una máquina elabora paquetes de galletas. Los pesos $X$ , en gramos, de los paquetes de galletas se pueden modelizar por una distribución normal, donde $X \sim N (μ, σ^{2})$ .

Un paquete de galletas se considera que tiene un peso insuficiente si pesa menos de 250 gramos.

a) Sabiendo que $μ = 253$ y $σ = 1, 5$ , halle la probabilidad de que un paquete de galletas elegido al azar tenga un peso insuficiente.

El fabricante decide que la probabilidad de que un paquete tenga un peso insuficiente debería ser igual a 0,002. Para conseguirlo se aumenta $μ$ mientras que $σ$ no cambia.

b) Calcule el nuevo valor de $μ$ , con una aproximación de dos lugares decimales.

El fabricante está contento con la decisión de que la probabilidad de que un paquete tenga un peso insuficiente sea igual a 0,002, pero está descontento con la manera en la que se ha logrado. Por ello, se ajusta la máquina para reducir $σ$ y hacer que $μ$ vuelva a ser igual a 253.

c) Calcule el nuevo valor de $σ$ .

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Resultado: a) $0, 0228$ ; b) $μ \approx 254, 32$ g; c) $σ \approx 1, 04$ g

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a) Con la CPG (normal acumulada, $μ = 253$ , $σ = 1, 5$ ): $P (X < 250) = P (Z < - 2) \approx 0, 0228$ .

b) Ahora $P (X < 250) = 0, 002$ con $σ = 1, 5$ . Con la CPG (normal inversa, área $0, 002$ ): $z \approx - 2, 878$ . Entonces $\frac{250 - μ}{1 , 5} = - 2, 878 \Rightarrow μ = 250 + 1, 5 \cdot 2, 878 \approx 254, 32.$

c) Con $μ = 253$ : $\frac{250 - 253}{σ} = - 2, 878$ , luego $σ = \frac{3}{2 , 878} \approx 1, 04$ .

Resultado: a) $0, 0228$ ; b) $μ \approx 254, 32$ g; c) $σ \approx 1, 04$ g

Ejercicio 90 MedioIB · P2 Noviembre 2002

a) La probabilidad $P (A)$ de que todos los materiales lleguen puntualmente a una obra en construcción es de 0,85. La probabilidad de que el edificio se termine a tiempo es de 0,60.

La probabilidad de que los materiales lleguen a tiempo y que el edificio se termine a tiempo es de 0,55.

(i) Muestre que los sucesos $A$ y $B$ no son independientes.

(ii) Todos los materiales llegan a tiempo. Halle la probabilidad de que el edificio no sea terminado a tiempo.

b) Un equipo de diez personas estaba trabajando en el edificio, e incluía tres electricistas y dos plomeros. El arquitecto convocó a una reunión con cinco de las personas del equipo, y eligió al azar las personas que debían asistir. Calcule la probabilidad de que sean llamados a la reunión exactamente dos electricistas y un plomero.

c) El número de horas semanales que trabajan los integrantes del equipo tiene distribución normal, con una media de 42 horas. El 10% del equipo trabaja 48 o más horas por semana. Halle la probabilidad de que ambos plomeros hayan trabajado más de 40 horas durante una semana determinada.

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Resultado: a) ii) $\frac{6}{17} \approx 0, 353$ ; b) $\frac{5}{21} \approx 0, 238$ ; c) $0, 443$

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a) i) $P (A) \cdot P (B) = 0, 85 \cdot 0, 60 = 0, 51 \neq = 0, 55 = P (A \cap B)$ , así que $A$ y $B$ no son independientes.

(ii) $P (B^{'} ∣ A) = 1 - P (B ∣ A) = 1 - \frac{0 , 55}{0 , 85} = \frac{6}{17} \approx 0, 353$ .

b) Se eligen 5 de 10 personas: 3 electricistas, 2 plomeros y 5 de otro tipo. Hay que elegir 2 electricistas, 1 plomero y 2 de las otras 5: $P = \frac{( 2 3 ) ( 1 2 ) ( 2 5 )}{( 5 10 )} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 10}{252} = \frac{5}{21} \approx 0, 238.$

c) Sea $H \sim N (42, σ^{2})$ con $P (H \geq 48) = 0, 1$ . Con la CPG (normal inversa, área $0, 9$ ): $z \approx 1, 2816$ , luego $σ = \frac{6}{1 , 2816} \approx 4, 68$ . Entonces $P (H > 40) \approx 0, 665$ . Suponiendo que los dos plomeros trabajan de forma independiente: $P = 0, 66 5^{2} \approx 0, 443.$

Resultado: a) ii) $\frac{6}{17} \approx 0, 353$ ; b) $\frac{5}{21} \approx 0, 238$ ; c) $0, 443$

Ejercicio 91 MedioIB · P2 TZ2 Mayo 2007

El tiempo que tardan los autobuses en hacer el recorrido entre dos ciudades dadas sigue una distribución normal, de media igual a 35 minutos y desviación típica igual a 7 minutos.

a) Halle la probabilidad de que un autobús elegido al azar tarde menos de 40 minutos en hacer el viaje.

b) El 90% de los autobuses tardan menos de $t$ minutos en hacer el viaje. Halle el valor de $t$ .

c) Para una muestra aleatoria de 10 autobuses se registra la duración del viaje entre las dos ciudades. Halle la probabilidad de que exactamente 6 de estos autobuses tarden menos de 40 minutos en hacer el viaje.

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Resultado: a) $0, 762$ ; b) $t = 44, 0$ min; c) $0, 131$

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Sea $T$ el tiempo, $T \sim N (35, 7^{2})$ .

a) Con la CPG (normal acumulada): $P (T < 40) = 0, 762$ .

b) Buscamos $t$ con $P (T < t) = 0, 9$ . Con la CPG (normal inversa): $t = 44, 0$ minutos.

c) Cada autobús tarda menos de 40 min con probabilidad $p = 0, 7625$ (sin redondear). El número de autobuses $Y$ entre 10 es $Y \sim B (10; 0, 7625)$ : $P (Y = 6) = (6 10) p^{6} (1 - p)^{4} = 0, 131.$

Resultado: a) $0, 762$ ; b) $t = 44, 0$ min; c) $0, 131$

Ejercicio 92 MedioIB · P2 TZ1 Mayo 2009

Bob midió las alturas de 63 estudiantes. Después del análisis, él conjeturó que la altura, $H$ , de los estudiantes podría ser modelada por una distribución normal con la media 166,5 cm y desviación típica de 5 cm.

a) Sobre la base de este supuesto, estimar el número de estudiantes cuya altura es al menos 170 cm.

Más tarde Bob notó que la cinta que había usado para medir las alturas era defectuosa ya que comenzaba en la marca de 5 cm y no en la marca cero.

b) ¿Cuáles son los valores correctos de la media y la varianza de la distribución de las alturas de estos estudiantes?

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Resultado: a) $15$ estudiantes; b) media $= 161, 5$ cm; varianza $= 25$ cm $^{2}$

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a) $H \sim N (166, 5; 5^{2})$ . Con la CPG (normal acumulada): $P (H \geq 170) = 0, 242$ . Entre 63 estudiantes: $63 \cdot 0, 242 = 15, 2 \approx 15 estudiantes .$

b) La cinta empieza en la marca de 5 cm, así que cada medida registrada es $5$ cm mayor que la altura real. Si $H$ es lo medido, la altura real es $H - 5$ :

Media correcta: $166, 5 - 5 = 161, 5$ cm.
Restar una constante no cambia la dispersión: la varianza sigue siendo $5^{2} = 25$ cm $^{2}$ .

Resultado: a) $15$ estudiantes; b) media $= 161, 5$ cm; varianza $= 25$ cm $^{2}$

Ejercicio 93 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2015

Emily camina a la escuela todos los días. El tiempo que tarda puede ser modelado por una distribución normal con una media de 11 minutos y una desviación típica de 3 minutos. Llega tarde si su viaje dura más de 15 minutos.

a) Encuentre la probabilidad de que llegue tarde el próximo lunes.

b) Encuentre la probabilidad de que llegue tarde por lo menos una vez durante la semana siguiente (desde el lunes hasta el viernes).

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Resultado: a) $0, 0912$ ; b) $0, 380$

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Sea $T \sim N (11, 3^{2})$ el tiempo del trayecto.

a) Con la CPG (normal acumulada): $P (T > 15) = 0, 0912$ .

b) Cada día llega tarde con probabilidad $p = 0, 0912$ . El número $Y$ de días tarde en 5 días es $Y \sim B (5; 0, 0912)$ : $P (Y \geq 1) = 1 - P (Y = 0) = 1 - (1 - 0, 0912)^{5} = 0, 380.$

Resultado: a) $0, 0912$ ; b) $0, 380$

Ejercicio 94 MedioIB · P2 TZ1 Mayo 2021

Una empresa produce bolsas de azúcar cuyos pesos pueden modelarse mediante una distribución normal con media 1000 y desviación estándar 3,5. Una bolsa de azúcar se rechaza para la venta si su peso es inferior a 995 gramos.

a) Calcule la probabilidad de que una bolsa seleccionada al azar sea rechazada.

b) Estime el número de bolsas rechazadas de una muestra aleatoria de 100 bolsas.

c) Sabiendo que una bolsa no es rechazada, calcule la probabilidad de que tenga un peso mayor de 1005 gramos.

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Resultado: a) $0, 0766$ ; b) $\approx 8$ bolsas; c) $0, 0829$

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Sea $X \sim N (1000; 3, 5^{2})$ el peso.

a) Con la CPG (normal acumulada): $P (X < 995) = 0, 0766$ .

b) Número esperado entre 100 bolsas: $100 \cdot 0, 0766 = 7, 66 \approx 8$ bolsas.

c) Probabilidad condicionada. Como ${X > 1005} \subset {X \geq 995}$ : $P (X > 1005 ∣ X \geq 995) = \frac{P ( X > 1005 )}{1 - 0 , 0766} = \frac{0 , 0766}{0 , 9234} = 0, 0829.$

Resultado: a) $0, 0766$ ; b) $\approx 8$ bolsas; c) $0, 0829$

Ejercicio 95 MedioIB · P2 TZ2 Mayo 2022

Rachel y Sophia están participando en una competición de lanzamiento de jabalina. Las distancias ( $R$ metros) que alcanza Rachel siguen una distribución normal de media 56,5 y desviación típica igual a 3. Las distancias ( $S$ metros) que alcanza Sophia siguen una distribución normal de media 57,5 y desviación típica igual a 1,8. En la primera ronda de la competición, cada participante tiene cinco lanzamientos. Para clasificarse para la siguiente ronda de la competición, la participante debe lograr al menos un lanzamiento de 60 metros o más en la primera ronda.

Halle la probabilidad de que únicamente una de las dos, Rachel o Sophia, se clasifique para la siguiente ronda de la competición.

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Resultado: $0, 493$

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Para cada participante, la probabilidad de que un lanzamiento sea de al menos 60 m, con la CPG (normal acumulada):

Rachel: $R \sim N (56, 5; 3^{2})$ , $p_{R} = P (R \geq 60) = 0, 1217$ .
Sophia: $S \sim N (57, 5; 1, 8^{2})$ , $p_{S} = P (S \geq 60) = 0, 0824$ .

Se clasifica quien logra al menos un lanzamiento de 60 m o más en cinco intentos (binomial con $n = 5$ ): $q_{R} = 1 - (1 - 0, 1217)^{5} = 0, 4773, q_{S} = 1 - (1 - 0, 0824)^{5} = 0, 3496.$

Se clasifica una sola de las dos (sucesos independientes): $q_{R} (1 - q_{S}) + q_{S} (1 - q_{R}) = 0, 4773 \cdot 0, 6504 + 0, 3496 \cdot 0, 5227 = 0, 310 + 0, 183 = 0, 493.$

Resultado: $0, 493$

Ejercicio 96 DifícilIB · P2 TZ0 Noviembre 2008

a) Se considera que una caja de galletas tiene un peso insuficiente si pesa menos de 228 gramos. Se sabe que los pesos de estas cajas de galletas siguen una distribución normal, con una media de 231 gramos y una desviación típica de 1,5 gramos. ¿Cuál es la probabilidad de que una caja tenga peso insuficiente?

b) El fabricante decide que la probabilidad de que una caja tenga un peso insuficiente debería reducirse hasta un valor de 0,002.

(i) Bill sugiere aumentar la media y no modificar la desviación típica. Halle el valor de la nueva media.

(ii) Sarah sugiere reducir la desviación típica y no modificar la media. Halle el valor de la nueva desviación típica.

c) Después de haberse reducido a 0,002 la probabilidad de que una caja tenga un peso insuficiente, un grupo de clientes compra 100 cajas de galletas. Halle la probabilidad de que al menos dos de las cajas tengan un peso insuficiente.

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Resultado: a) $0, 0228$ ; b) i) $μ \approx 232, 3$ g; ii) $σ \approx 1, 04$ g; c) $0, 0174$

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a) $X \sim N (231; 1, 5^{2})$ . Con la CPG (normal acumulada): $P (X < 228) = P (Z < - 2) = 0, 0228$ .

b) Se exige $P (X < 228) = 0, 002$ . Con la CPG (normal inversa): $z_{0, 002} = - 2, 8782$ .

(i) Con $σ = 1, 5$ : $\frac{228 - μ}{1 , 5} = - 2, 8782 \Rightarrow μ = 228 + 2, 8782 \cdot 1, 5 = 232, 3$ g.

(ii) Con $μ = 231$ : $\frac{228 - 231}{σ} = - 2, 8782 \Rightarrow σ = \frac{3}{2 , 8782} = 1, 04$ g.

c) Sea $Y$ el número de cajas con peso insuficiente: $Y \sim B (100; 0, 002)$ . Con la CPG: $P (Y \geq 2) = 1 - P (Y \leq 1) = 1 - 0, 9826 = 0, 0174.$

Resultado: a) $0, 0228$ ; b) i) $μ \approx 232, 3$ g; ii) $σ \approx 1, 04$ g; c) $0, 0174$

Ejercicio 97 DifícilIB · P2 TZ2 Mayo 2009

Un estudio realizado en una planta embotelladora ha demostrado que el volumen de bebida en las botellas de agua mineral que se llenan con la Máquina A sigue una distribución normal, de media 998 ml y desviación típica 2,5 ml.

a) Compruebe que la probabilidad de que una botella escogida al azar entre las botellas llenadas con la Máquina A contenga más de 1000 ml de agua mineral es de 0,212.

b) Se toma de la Máquina A una muestra aleatoria compuesta por 5 botellas. Halle la probabilidad de que de ellas, exactamente 3 contengan más de 1000 ml de agua mineral cada una.

c) Halle el número mínimo de botellas que habría que incluir en la muestra para que la probabilidad de que al menos una de las botellas tomadas de la Máquina A contenga más de 1000 ml de agua mineral sea mayor que 0,99.

d) Se ha demostrado que, para la Máquina B, la probabilidad de que una botella contenga menos de 996 ml de agua mineral es de 0,1151. La probabilidad de que una botella contenga más de 1000 ml es de 0,3446. Halle la media y la desviación típica del volumen de agua mineral que contienen las botellas que se llenan con la Máquina B.

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Resultado: a) $0, 212$ ; b) $0, 0591$ ; c) $20$ botellas; d) $μ = 999$ ml, $σ = 2, 5$ ml

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Sea $X \sim N (998; 2, 5^{2})$ para la Máquina A.

a) $P (X > 1000) = P (Z > \frac{1000 - 998}{2 , 5}) = P (Z > 0, 8) = 1 - 0, 7881 = 0, 2119 \approx 0, 212$ .

b) Sea $Y$ el número de botellas, de entre 5, con más de 1000 ml: $Y \sim B (5; 0, 2119)$ . Con la CPG (binomial): $P (Y = 3) = 0, 0591$ .

c) Con $n$ botellas: $P (al menos una) = 1 - (1 - 0, 2119)^{n} = 1 - 0, 788 1^{n} > 0, 99$ , es decir, $0, 788 1^{n} < 0, 01$ : $n > \frac{ln 0 , 01}{ln 0 , 7881} = 19, 3 \Rightarrow n = 20.$ (Comprobación: con $n = 19$ da $0, 989$ y con $n = 20$ da $0, 991$ .)

d) Sea $W \sim N (μ, σ^{2})$ . Con la CPG (normal inversa): $P (W < 996) = 0, 1151 \Rightarrow z = - 1, 2$ ; $P (W > 1000) = 0, 3446 \Rightarrow P (W < 1000) = 0, 6554 \Rightarrow z = 0, 4$ . Entonces $\frac{996 - μ}{σ} = - 1, 2, \frac{1000 - μ}{σ} = 0, 4.$ Restando: $\frac{4}{σ} = 1, 6 \Rightarrow σ = 2, 5$ , y $μ = 1000 - 0, 4 \cdot 2, 5 = 999$ .

Resultado: a) $0, 212$ ; b) $0, 0591$ ; c) $20$ botellas; d) $μ = 999$ ml, $σ = 2, 5$ ml

Ejercicio 98 DifícilIB · P2 TZ2 Mayo 2012

En un puesto del mercado se venden manzanas, peras y ciruelas.

a) Los pesos de las manzanas siguen una distribución normal de media 200 gramos y con una desviación típica de 25 gramos.

(i) Sabiendo que en el puesto hay 450 manzanas, ¿cuál es el número esperado de manzanas con un peso superior a 225 gramos?

(ii) Sabiendo que el 70% de las manzanas pesa menos de $m$ gramos, halle el valor de $m$ .

b) Los pesos de las peras siguen una distribución normal de media $μ$ gramos y con una desviación típica de $σ$ gramos. Sabiendo que el 8% de estas peras tiene un peso superior a 270 gramos y que el 15% tiene un peso inferior a 250 gramos, halle $μ$ y $σ$ .

c) Los pesos de las ciruelas siguen una distribución normal de media 80 gramos y con una desviación típica de 4 gramos. Se cogen 5 ciruelas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 3 de ellas pesen más de 82 gramos?

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Resultado: a) i) $\approx 71$ manzanas ( $71, 39$ ); ii) $m \approx 213$ g ( $213, 1$ ); b) $μ \approx 258, 5$ g, $σ \approx 8, 19$ g; c) $0, 140$

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a) i) $X \sim N (200, 2 5^{2})$ . $P (X > 225) = P (Z > 1) = 0, 1587$ , así que el número esperado es $450 \cdot 0, 1587 = 71, 39 \approx 71$ manzanas.

(ii) Con la CPG (normal inversa): $P (X < m) = 0, 70$ da $m = 213, 1$ g.

b) Sea $Y \sim N (μ, σ^{2})$ : $P (Y > 270) = 0, 08$ (es decir $P (Y < 270) = 0, 92$ , $z = 1, 4051$ ) y $P (Y < 250) = 0, 15$ ( $z = - 1, 0364$ ): $\frac{270 - μ}{σ} = 1, 4051, \frac{250 - μ}{σ} = - 1, 0364.$ Restando: $\frac{20}{σ} = 2, 4415 \Rightarrow σ = 8, 19$ g, y $μ = 270 - 1, 4051 \cdot 8, 1917 = 258, 5$ g.

c) Para una ciruela, $P (C > 82) = P (Z > 0, 5) = 0, 3085$ . El número de ciruelas pesadas de más de $82$ g entre 5 es $B (5; 0, 3085)$ ; con la CPG: $P (exactamente 3) = 0, 1404 \approx 0, 140.$

Resultado: a) i) $\approx 71$ manzanas ( $71, 39$ ); ii) $m \approx 213$ g ( $213, 1$ ); b) $μ \approx 258, 5$ g, $σ \approx 8, 19$ g; c) $0, 140$

Ejercicio 99 DifícilIB · P2 TZ2 Mayo 2005

Una empresa compra el 44% de sus existencias de tornillos al fabricante A y el resto al fabricante B. El diámetro de los tornillos producidos por cada fabricante sigue una distribución normal con una desviación típica de 0,16 mm. El diámetro medio de los tornillos del fabricante A es de 1,56 mm. El 24,2% de los tornillos del fabricante B tiene un diámetro menor de 1,52 mm.

a) Halle el diámetro medio de los tornillos producidos por el fabricante B.

Se elige un tornillo al azar del stock de la empresa.

b) Compruebe que la probabilidad de que el diámetro sea menor de 1,52 mm es 0,312, aproximado a tres cifras significativas.

c) El diámetro del tornillo ha resultado ser menor de 1,52 mm. Halle la probabilidad de que el tornillo sea del fabricante B.

d) El fabricante B produce 8000 tornillos al día. Obtiene un beneficio de $ 1,50 por cada tornillo vendido, a condición de que su diámetro mida entre 1,52 mm y 1,83 mm.

Los tornillos con diámetro menor de 1,52 mm se desechan con una pérdida de $ 0,85 por tornillo. Los tornillos con diámetro mayor que 1,83 mm se venden con un beneficio reducido de $ 0,50 por tornillo. Halle el beneficio esperado del fabricante B.

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Resultado: a) $μ_{B} \approx 1, 632$ mm; b) $0, 312$ ; c) $0, 434$ ; d) beneficio esperado $\approx 6587$ $

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a) Para el fabricante B, $P (D_{B} < 1, 52) = 0, 242$ . Con la CPG (normal inversa): $z = - 0, 6999$ . Entonces $\frac{1 , 52 - μ _{B}}{0 , 16} = - 0, 6999 \Rightarrow μ_{B} = 1, 52 + 0, 6999 \cdot 0, 16 = 1, 632 mm .$

b) Para el fabricante A: $P (D_{A} < 1, 52) = P (Z < \frac{1 , 52 - 1 , 56}{0 , 16}) = P (Z < - 0, 25) = 0, 4013$ . Por el teorema de la probabilidad total: $P (D < 1, 52) = 0, 44 \cdot 0, 4013 + 0, 56 \cdot 0, 242 = 0, 1766 + 0, 1355 = 0, 3121 \approx 0, 312.$

c) Por Bayes: $P (B ∣ D < 1, 52) = \frac{0 , 56 \cdot 0 , 242}{0 , 3121} = \frac{0 , 1355}{0 , 3121} \approx 0, 434.$

d) Para B: $D_{B} \sim N (1, 632; 0, 1 6^{2})$ . Con la CPG (normal acumulada):

$P (D_{B} < 1, 52) = 0, 242$ (pérdida de $0, 85$ $ por tornillo),
$P (D_{B} > 1, 83) = 0, 1079$ (beneficio de $0, 50$ $),
$P (1, 52 < D_{B} < 1, 83) = 1 - 0, 242 - 0, 1079 = 0, 6501$ (beneficio de $1, 50$ $).

Beneficio esperado por tornillo: $1, 50 \cdot 0, 6501 - 0, 85 \cdot 0, 242 + 0, 50 \cdot 0, 1079 = 0, 8234$ $. Para $8000$ tornillos: $8000 \cdot 0, 8234 \approx 6587$ $.

Resultado: a) $μ_{B} \approx 1, 632$ mm; b) $0, 312$ ; c) $0, 434$ ; d) beneficio esperado $\approx 6587$ $

Ejercicio 100 DifícilIB · P2 TZ2 Mayo 2019

Timmy tiene una tienda. Sus ingresos diarios, procedentes de la venta de sus artículos, se pueden modelizar por una distribución normal, siendo la media de los ingresos diarios igual a $820 y la desviación típica igual a $230. Para poder tener beneficios, los ingresos diarios de Timmy tienen que ser mayores que $1000.

a) Calcule la probabilidad de que, en un día elegido al azar, Timmy tenga beneficios.

La tienda abre 24 días al mes.

b) Calcule la probabilidad de que, en un mes elegido al azar, Timmy tenga beneficios entre 5 y 10 días (ambos inclusive).

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Resultado: a) $0, 217$ ; b) $0, 613$

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a) Sea $X \sim N (820, 23 0^{2})$ . Con la CPG (normal acumulada): $P (X > 1000) = P (Z > \frac{180}{230}) = P (Z > 0, 7826) = 0, 217.$

b) Sea $Y$ el número de días con beneficios en un mes de $24$ días: $Y \sim B (24; 0, 2169)$ . Con la CPG (binomial): $P (5 \leq Y \leq 10) = P (Y \leq 10) - P (Y \leq 4) = 0, 613.$

Resultado: a) $0, 217$ ; b) $0, 613$

Ejercicio 101 DifícilIB · P2 Mayo 2000

Una máquina produce bolsas de sal cuyos pesos se distribuyen normalmente, con una media de 110 g y una desviación típica de 1,142 g. Si el peso de esas bolsas es inferior a 108 g, la bolsa se rechaza. Con este ajuste, el 4% de las bolsas se rechazan.

Los ajustes de la máquina se alteran y se encuentra que el 7% de las bolsas son rechazadas.

a) i) Si la media no ha cambiado, encuentre la nueva desviación típica con tres cifras decimales.

La máquina se ajusta para funcionar con el nuevo valor de la desviación típica.

(ii) Calcule el valor, con dos cifras decimales, en el que debe fijarse la media de modo que sólo el 4% de las bolsas sean rechazadas.

b) Con los nuevos ajustes del apartado (a), se ha encontrado que el 80% de las bolsas de sal tienen un peso que se encuentra entre $A$ g y $B$ g, donde $A$ y $B$ son simétricos respecto de la media. Calcule los valores de $A$ y $B$ , dando su respuesta con dos cifras decimales.

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Resultado: a) i) $σ \approx 1, 355$ g; ii) $μ \approx 110, 37$ g; b) $A \approx 108, 63$ g, $B \approx 112, 11$ g

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Sea $X \sim N (μ, σ^{2})$ . Se rechaza si $X < 108$ .

a) i) Con $μ = 110$ y $P (X < 108) = 0, 07$ : con la CPG (normal inversa, área $0, 07$ ), $z \approx - 1, 4758$ . Entonces $\frac{108 - 110}{σ} = - 1, 4758 \Rightarrow σ = \frac{2}{1 , 4758} \approx 1, 355 g .$

(ii) Ahora $σ = 1, 355$ y $P (X < 108) = 0, 04$ : $z \approx - 1, 7507$ , luego $μ = 108 + 1, 7507 \cdot 1, 355 \approx 110, 37 g .$

b) Con $μ = 110, 37$ y $σ = 1, 355$ : $P (A < X < B) = 0, 8$ con $A, B$ simétricos implica $P (X < B) = 0, 9$ , es decir, $z \approx 1, 2816$ . La distancia a la media es $1, 2816 \cdot 1, 355 \approx 1, 74$ . Así, $A = 110, 37 - 1, 74 \approx 108, 63, B = 110, 37 + 1, 74 \approx 112, 11.$

Resultado: a) i) $σ \approx 1, 355$ g; ii) $μ \approx 110, 37$ g; b) $A \approx 108, 63$ g, $B \approx 112, 11$ g

Ejercicio 102 DifícilIB · P2 Noviembre 2000

(i) Un satélite se basa en células solares para poder operar siempre que al menos una de las células esté funcionando. Las células fallan independientemente entre sí, y la probabilidad de que una célula individual falle dentro de un año es 0,8.

a) Para un satélite con diez células solares, encuentre la probabilidad de que las diez células fallen en un año.

b) Para un satélite con diez células solares, encuentre la probabilidad de que el satélite siga funcionando al final de un año.

c) Para un satélite con $n$ células solares, escriba la probabilidad de que el satélite siga funcionando al final de un año. Usando lo anterior, encuentre el menor número de células solares necesarias para que la probabilidad de que el satélite siga funcionando al final de un año sea al menos $0, 95$ .

(ii) La vida útil de un componente particular de una célula solar es $Y$ años, donde $Y$ es una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad

$f (y) = {0, 0, 5 e^{- \frac{y}{2}}, cuando y < 0 cuando y \geq 0$

a) Determine la probabilidad, con cuatro cifras significativas, de que un componente dado falle dentro de un semestre.

Cada célula solar tiene tres componentes que funcionan de forma independiente y la célula continuará funcionando si por lo menos dos de los componentes continúan funcionando.

b) Calcule la probabilidad de que una célula solar falle dentro de un semestre.

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Resultado: i) a) $0, 107$ ; b) $0, 893$ ; c) $1 - 0, 8^{n}$ , $n = 14$ células; ii) a) $0, 2212$ ; b) $0, 125$

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(i) Sea $F$ el número de células que fallan: $F \sim B (n; 0, 8)$ .

a) $P (fallan las 10) = 0, 8^{10} \approx 0, 107$ .

b) El satélite funciona si al menos una célula funciona: $1 - 0, 8^{10} \approx 0, 893$ .

c) Con $n$ células, $P (funciona) = 1 - 0, 8^{n}$ . Se exige $1 - 0, 8^{n} \geq 0, 95$ , es decir, $0, 8^{n} \leq 0, 05$ : $n \geq \frac{ln 0 , 05}{ln 0 , 8} \approx 13, 4.$ El menor número entero es $n = 14$ (con 13 se obtiene $0, 945 < 0, 95$ ).

(ii) a) El componente falla en un semestre si $Y < 0, 5$ : $P (Y < 0, 5) = \int_{0}^{0, 5} 0, 5 e^{- y /2} d y = [- e^{- y /2}]_{0}^{0, 5} = 1 - e^{- 0, 25} \approx 0, 2212.$

b) Sea $p = 0, 2212$ la probabilidad de que un componente falle. La célula falla si fallan al menos dos de los tres componentes. Con $N \sim B (3; p)$ : $P (N \geq 2) = 3 p^{2} (1 - p) + p^{3} \approx 0, 125.$

Resultado: i) a) $0, 107$ ; b) $0, 893$ ; c) $1 - 0, 8^{n}$ , $n = 14$ células; ii) a) $0, 2212$ ; b) $0, 125$

Ejercicio 103 DifícilIB · P2 TZ0 Noviembre 2004

Ian y Kart han sido elegidos para representar a sus países en la categoría olímpica de lanzamiento de disco. Se supone que la distancia conseguida por los atletas en el lanzamiento está normalmente distribuida. La distancia media conseguida por Ian el año pasado fue de 60,33 m, con una desviación típica de 1,95 m.

a) El año pasado, el 80% de los lanzamientos de Ian superaron los $x$ metros. Halle $x$ , aproximando el resultado a dos cifras decimales.

b) El año pasado, el 80% de los lanzamientos de Kart superaron los 56,52 m. Si la distancia media de sus lanzamientos fue 59,39 m, halle la desviación típica de sus lanzamientos, aproximando el resultado a dos cifras decimales.

c) Este año, los lanzamientos de Kart tienen una media de 59,50 m y una desviación típica de 3,00 m. Los lanzamientos de Ian siguen teniendo una media de 60,33 m y una desviación típica de 1,95 m. En la competición, un atleta ha de tener al menos un lanzamiento de 65 m o más en la primera vuelta para poder clasificarse para la final. Se permiten tres lanzamientos a cada atleta en la primera vuelta.

(i) Determine cuál de los dos atletas tiene más posibilidades de clasificarse para la final en su primer lanzamiento.

(ii) Halle la probabilidad de que los dos atletas se clasifiquen para la final.

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Resultado: a) $x \approx 58, 69$ m; b) $σ \approx 3, 41$ m; c) i) Kart ( $0, 0334$ frente a $0, 00831$ de Ian); ii) $0, 0024$

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a) Sea $X \sim N (60, 33; 1, 9 5^{2})$ . $P (X > x) = 0, 8$ equivale a $P (X < x) = 0, 2$ . Con la CPG (normal inversa, área $0, 2$ ): $x \approx 58, 69$ m.

b) $P (Y > 56, 52) = 0, 8$ con $μ = 59, 39$ , es decir, $P (Y < 56, 52) = 0, 2$ y $z \approx - 0, 8416$ : $\frac{56 , 52 - 59 , 39}{σ} = - 0, 8416 \Rightarrow σ = \frac{2 , 87}{0 , 8416} \approx 3, 41 m .$

c) i) Con la CPG (normal acumulada):

Kart, $N (59, 5; 3^{2})$ : $P (X \geq 65) \approx 0, 0334$ .
Ian, $N (60, 33; 1, 9 5^{2})$ : $P (X \geq 65) \approx 0, 00831$ .

En su primer lanzamiento tiene más posibilidades Kart.

(ii) Con tres lanzamientos, $P (clasificarse) = 1 - (1 - p)^{3}$ :

Kart: $1 - (1 - 0, 0334)^{3} \approx 0, 0968$ .
Ian: $1 - (1 - 0, 00831)^{3} \approx 0, 0247$ .

Los atletas son independientes: $0, 0968 \cdot 0, 0247 \approx 0, 00239 \approx 0, 0024$ .

Resultado: a) $x \approx 58, 69$ m; b) $σ \approx 3, 41$ m; c) i) Kart ( $0, 0334$ frente a $0, 00831$ de Ian); ii) $0, 0024$

Ejercicio 104 DifícilIB · P2 TZ1 Mayo 2008

Una empresa produce microchips informáticos, que tienen una esperanza de vida que sigue una distribución normal con una media de 90 meses y una desviación típica de 3,7 meses.

a) Si un microchip está garantizado durante 84 meses, encuentre la probabilidad de que fallará antes de que finalice la garantía.

b) La probabilidad de que un microchip no falle antes del final de la garantía se requiere que sea del 99%. ¿Por cuántos meses debería estar garantizado?

c) Una empresa rival produce microchips donde la probabilidad de que fallará después de 84 meses es 0,88. Sabiendo que la esperanza de vida sigue también una distribución normal con desviación típica de 3,7 meses, encuentre la media.

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Resultado: a) $0, 0524$ ; b) $81, 4$ meses; c) $μ = 88, 3$ meses

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Sea $X$ la vida del microchip, $X \sim N (90; 3, 7^{2})$ .

a) Con la CPG (normal acumulada): $P (X < 84) = 0, 0524$ .

b) Se pide $t$ con $P (X > t) = 0, 99$ , es decir, $P (X < t) = 0, 01$ . Con la CPG (normal inversa): $t = 81, 4$ meses.

c) Ahora $Y \sim N (μ, 3, 7^{2})$ con $P (Y > 84) = 0, 88$ , es decir, $P (Y < 84) = 0, 12$ . La normal inversa estándar da $z = - 1, 175$ , luego $\frac{84 - μ}{3 , 7} = - 1, 175 \Rightarrow μ = 84 + 1, 175 \cdot 3, 7 = 88, 3.$

Resultado: a) $0, 0524$ ; b) $81, 4$ meses; c) $μ = 88, 3$ meses

Ejercicio 105 DifícilIB · P2 TZ2 Mayo 2015

La agricultora Suzie cultiva nabos. Los pesos de los nabos que cosecha siguen una distribución normal de media 122 g y desviación típica 14,7 g.

a) i) Calcule el porcentaje de los nabos que pesan entre 110 g y 130 g.

(ii) Suzie tiene listos 100 nabos para llevarlos al mercado. Halle el número esperado de nabos que pesan más de 130 g.

(iii) Halle la probabilidad de que al menos 30 de estos 100 nabos pesen más de 130 g.

El agricultor Ray también cultiva nabos. Los pesos de los nabos que cultiva siguen una distribución normal de media 144 g. Ray solamente lleva al mercado aquellos nabos que pesan más de 130 g. Durante un determinado periodo, Ray observa que tiene que rechazar 1 de cada 15 nabos por pesar menos de lo debido.

b) i) Halle la desviación típica de los pesos de los nabos de Ray.

(ii) Ray tiene listos 200 nabos para llevarlos al mercado. Halle el número esperado de nabos que pesan más de 150 g.

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Resultado: a) i) $50, 0%$ ( $49, 97%$ ); ii) $29, 3$ nabos; iii) $0, 478$ ; b) i) $σ = 9, 33$ g; ii) $55, 7$ nabos

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Sea $W \sim N (122; 14, 7^{2})$ el peso de un nabo de Suzie.

a) i) Con la CPG (normal acumulada): $P (110 < W < 130) = 0, 4997$ , es decir, el $50, 0%$ (concretamente $49, 97%$ ).

(ii) $P (W > 130) = 0, 2931$ . Esperado entre 100 nabos: $100 \cdot 0, 2931 = 29, 3$ nabos.

(iii) El número $Y$ de nabos de más de 130 g es $Y \sim B (100; 0, 2931)$ . Con la CPG (binomial acumulada): $P (Y \geq 30) = 1 - P (Y \leq 29) = 0, 478.$

b) i) Sea $V \sim N (144, σ^{2})$ el peso de los nabos de Ray. Rechaza los que pesan menos de 130 g, 1 de cada 15: $P (V < 130) = \frac{1}{15}$ . Normal inversa estándar: $z = - 1, 501$ . $\frac{130 - 144}{σ} = - 1, 501 \Rightarrow σ = 9, 33 g .$

(ii) Los 200 nabos listos para el mercado ya pesan más de 130 g, así que hay que usar probabilidad condicionada: $P (V > 150 ∣ V > 130) = \frac{P ( V > 150 )}{P ( V > 130 )} = \frac{0 , 2600}{0 , 9333} = 0, 2786.$ Esperado: $200 \cdot 0, 2786 = 55, 7$ nabos.

Resultado: a) i) $50, 0%$ ( $49, 97%$ ); ii) $29, 3$ nabos; iii) $0, 478$ ; b) i) $σ = 9, 33$ g; ii) $55, 7$ nabos

Ejercicio 106 DifícilIB · P2 TZ0 Noviembre 2015

Se realiza una encuesta en un edificio de oficinas de gran tamaño. Hallan que el 30 % de los oficinistas pesan menos de 62 kg y que el 25 % de los oficinistas pesan más de 98 kg. Los pesos de los oficinistas se pueden modelizar con una distribución normal, de media $μ$ y desviación típica $σ$ .

a) i) Determine un sistema formado por dos ecuaciones lineales que satisfagan $μ$ y $σ$ .

(ii) Halle el valor de $μ$ y el de $σ$ .

b) Halle la probabilidad de que un oficinista pese más de 100 kg.

En el edificio hay ascensores que llevan a los oficinistas hasta su oficina. Sabiendo que en un ascensor dado hay 10 oficinistas,

c) halle la probabilidad de que haya al menos cuatro oficinistas que pesen más de 100 kg.

Sabiendo que hay 10 oficinistas en un ascensor y que al menos uno de ellos pesa más de 100 kg,

d) halle la probabilidad de que haya menos de cuatro oficinistas que pesen más de 100 kg.

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Resultado: a) ii) $μ = 77, 7$ kg; $σ = 30, 0$ kg; b) $0, 229$ ; c) $0, 178$ ; d) $0, 808$

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Sea $W \sim N (μ, σ^{2})$ el peso, con $P (W < 62) = 0, 30$ y $P (W > 98) = 0, 25$ .

a) i) Normal inversa estándar: $P (Z < z) = 0, 30 \Rightarrow z = - 0, 5244$ ; $P (Z < z) = 0, 75 \Rightarrow z = 0, 6745$ . Así: ${μ - 0, 5244 σ = 62 μ + 0, 6745 σ = 98$

(ii) Restando: $1, 1989 σ = 36 \Rightarrow σ = 30, 0$ ; entonces $μ = 62 + 0, 5244 \cdot 30, 03 = 77, 7$ .

b) Con la CPG (normal acumulada, valores sin redondear): $P (W > 100) = 0, 229$ .

c) Sea $Y$ el número de oficinistas de 10 que pesan más de 100 kg: $Y \sim B (10; 0, 2293)$ . Con la CPG: $P (Y \geq 4) = 1 - P (Y \leq 3) = 0, 178.$

d) Probabilidad condicionada: $P (Y < 4 ∣ Y \geq 1) = \frac{P ( 1 \leq Y \leq 3 )}{P ( Y \geq 1 )} = \frac{0 , 8220 - 0 , 0739}{1 - 0 , 0739} = 0, 808.$

Resultado: a) ii) $μ = 77, 7$ kg; $σ = 30, 0$ kg; b) $0, 229$ ; c) $0, 178$ ; d) $0, 808$

Ejercicio 107 DifícilIB · P2 TZ2 Mayo 2021

Los tiempos de vuelo ( $T$ minutos) entre dos ciudades dadas siguen una distribución normal de media 75 minutos y desviación típica igual a $σ$ minutos.

a) Sabiendo que el 2% de los tiempos de vuelo son superiores a 82 minutos, halle el valor de $σ$ .

b) Halle la probabilidad de que un vuelo elegido al azar tenga un tiempo de vuelo de más de 80 minutos.

c) Sabiendo que un vuelo dado entre esas dos ciudades ha durado más de 80 minutos, halle la probabilidad de que haya durado menos de 82 minutos.

En un día concreto, hay 64 vuelos programados entre esas dos ciudades.

d) Halle el número esperado de vuelos que tendrán un tiempo de vuelo de más de 80 minutos.

e) Halle la probabilidad de que más de 6 de los vuelos programados en ese día concreto tengan un tiempo de vuelo de más de 80 minutos.

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Resultado: a) $σ = 3, 41$ min; b) $0, 0712$ ; c) $0, 719$ ; d) $4, 56$ vuelos; e) $0, 169$

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Sea $T \sim N (75, σ^{2})$ .

a) $P (T > 82) = 0, 02 \Rightarrow P (Z < z) = 0, 98 \Rightarrow z = 2, 054$ . Entonces $\frac{82 - 75}{σ} = 2, 054 \Rightarrow σ = 3, 41 min .$

b) Con la CPG (normal acumulada, $σ = 3, 408$ sin redondear): $P (T > 80) = 0, 0712$ .

c) Probabilidad condicionada: $P (T < 82 ∣ T > 80) = \frac{P ( 80 < T < 82 )}{P ( T > 80 )} .$ Con la CPG: $P (80 < T < 82) = 0, 98 - 0, 9288 = 0, 0512$ , y por tanto $P (T < 82 ∣ T > 80) = \frac{0 , 0512}{0 , 0712} = 0, 719.$

d) Cada vuelo supera los 80 min con probabilidad $0, 0712$ . Entre 64 vuelos: $64 \cdot 0, 0712 = 4, 56$ vuelos.

e) Sea $Y$ el número de vuelos de más de 80 min: $Y \sim B (64; 0, 0712)$ . Con la CPG (binomial acumulada): $P (Y > 6) = 1 - P (Y \leq 6) = 0, 169.$

Resultado: a) $σ = 3, 41$ min; b) $0, 0712$ ; c) $0, 719$ ; d) $4, 56$ vuelos; e) $0, 169$

Ejercicio 108 DifícilIB · P2 TZ1 Mayo 2022

Una panadería hace dos tipos de magdalenas: magdalenas de chocolate y magdalenas de plátano. Los pesos, $C$ gramos, de las magdalenas de chocolate se distribuyen normalmente con una media de 62 g y una desviación típica de 2,9 g.

a) Encuentre la probabilidad de que una magdalena de chocolate seleccionada al azar pese menos de 61 g.

b) En una selección aleatoria de 12 magdalenas de chocolate, encuentre la probabilidad de que exactamente 5 pesen menos de 61 g.

Los pesos, $B$ gramos, de las magdalenas de plátano se distribuyen normalmente con una media de 68 g y una desviación típica de 3,4 g. Cada día el 60% de las magdalenas que se hacen son de chocolate. En un día en particular, se selecciona al azar una magdalena de todas las que se hacen en la panadería.

c) i) Encuentre la probabilidad de que la magdalena seleccionada al azar pese menos de 61 g.

(ii) Sabiendo que la magdalena seleccionada al azar pese menos de 61 g, calcule la probabilidad de que sea de chocolate.

La máquina que fabrica las magdalenas de chocolate se ajusta de modo que el peso medio de las magdalenas de chocolate permanezca igual pero su desviación típica cambie a $σ$ g. La máquina que hace las magdalenas de plátano no está ajustada. La probabilidad de que el peso de una magdalena seleccionada al azar de estas máquinas sea inferior a 61 g es ahora de 0,157.

d) Calcule el valor de $σ$ .

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Resultado: a) $0, 365$ ; b) $0, 214$ ; c) i) $0, 227$ ; ii) $0, 965$ ; d) $σ = 1, 47$ g

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Sea $C \sim N (62; 2, 9^{2})$ el peso de una magdalena de chocolate.

a) Con la CPG (normal acumulada): $P (C < 61) = 0, 365$ .

b) El número $Y$ de magdalenas de 12 que pesan menos de 61 g es $Y \sim B (12; 0, 3651)$ : $P (Y = 5) = (5 12) (0, 3651)^{5} (0, 6349)^{7} = 0, 214.$

c) i) Para las de plátano, $B \sim N (68; 3, 4^{2})$ : $P (B < 61) = 0, 0198$ . Por la probabilidad total: $P (peso < 61) = 0, 6 \cdot 0, 3651 + 0, 4 \cdot 0, 0198 = 0, 227.$

(ii) Teorema de Bayes: $P (chocolate ∣ peso < 61) = \frac{0 , 6 \cdot 0 , 3651}{0 , 2270} = 0, 965.$

d) Ahora $C \sim N (62, σ^{2})$ y la probabilidad total de pesar menos de 61 g es $0, 157$ : $0, 6 P (C < 61) + 0, 4 \cdot 0, 0198 = 0, 157 \Rightarrow P (C < 61) = \frac{0 , 157 - 0 , 00790}{0 , 6} = 0, 2485.$ Normal inversa estándar: $z = - 0, 6785$ , y $\frac{61 - 62}{σ} = - 0, 6785$ da $σ = 1, 47$ g. (Con la CPG también se puede resolver directamente la ecuación $0, 6 P (C < 61) + 0, 4 \cdot 0, 0198 = 0, 157$ en $σ$ .)

Resultado: a) $0, 365$ ; b) $0, 214$ ; c) i) $0, 227$ ; ii) $0, 965$ ; d) $σ = 1, 47$ g

Ejercicio 109 DifícilIB · P2 TZ0 Noviembre 2022

En una gran empresa, el tiempo que trabajan los empleados ( $T$ horas por semana) sigue una distribución normal de media 42 y desviación típica igual a 10,7.

a) Halle la probabilidad de que un empleado elegido al azar trabaje más de 40 horas por semana.

b) Se escoge al azar un grupo de cuatro empleados. A estos empleados se les va preguntando, de uno en uno, si trabajan más de 40 horas por semana. Halle la probabilidad de que el cuarto empleado sea el único del grupo que trabaja más de 40 horas por semana.

c) Hay un grupo grande de empleados que trabajan más de 40 horas por semana.

(i) Se escoge al azar a un empleado de este grupo grande. Halle la probabilidad de que dicho empleado trabaje menos de 55 horas por semana.

(ii) Se escoge al azar a diez empleados de este grupo grande. Halle la probabilidad de que exactamente cinco de ellos trabajen menos de 55 horas por semana.

Se sabe que $P (a \leq T \leq b) = 0, 904$ y que $P (T > b) = 2 P (T < a)$ , donde $a$ y $b$ son números de horas trabajadas por semana. A los empleados que trabajan menos de $a$ horas por semana se les considera trabajadores a tiempo parcial.

d) Halle el tiempo máximo (en horas por semana) que puede trabajar un empleado para que se le pueda seguir considerando trabajador a tiempo parcial.

Ver resultado

Resultado: a) $0, 574$ ; b) $0, 0443$ ; c) i) $0, 805$ ; ii) $0, 0242$ ; d) $22, 2$ horas por semana

Ver proceso y resultado

Sea $T \sim N (42; 10, 7^{2})$ .

a) Con la CPG (normal acumulada): $P (T > 40) = 0, 574$ .

b) Con $p = 0, 5741$ : los tres primeros no trabajan más de 40 horas y el cuarto sí: $(1 - p)^{3} p = 0, 425 9^{3} \cdot 0, 5741 = 0, 0443.$

c) i) Probabilidad condicionada: $P (T < 55 ∣ T > 40) = \frac{P ( 40 < T < 55 )}{P ( T > 40 )} = \frac{0 , 4619}{0 , 5741} = 0, 805.$

(ii) El número $Y$ de empleados de 10 con menos de 55 horas es $Y \sim B (10; 0, 8046)$ : $P (Y = 5) = (5 10) (0, 8046)^{5} (0, 1954)^{5} = 0, 0242.$

d) Sea $q = P (T < a)$ . Entonces $P (T > b) = 2 q$ , y $P (a \leq T \leq b) = 1 - q - 2 q = 0, 904 \Rightarrow q = \frac{0 , 096}{3} = 0, 032.$ Con la CPG (normal inversa): $a = 22, 2$ horas por semana.

Resultado: a) $0, 574$ ; b) $0, 0443$ ; c) i) $0, 805$ ; ii) $0, 0242$ ; d) $22, 2$ horas por semana

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