IB Análisis y Enfoques NS · Variable aleatoria continua y distribución normal · Apartado 2 de 4

La distribución normal

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

La distribución normal es la variable continua más importante: describe alturas, errores de medida, tiempos de proceso y muchos datos naturales. Se determina por dos números, $μ$ y $σ$ . Hay que conocer la forma de su curva, saber qué cambia cada parámetro y usar la simetría y la regla 68-95-99,7 para estimar probabilidades sin calculadora.

La curva de campana

Muchas magnitudes se agrupan alrededor de un valor central y se alejan de él de forma simétrica: pocas medidas muy bajas, muchas cerca de la media, pocas muy altas. El modelo que describe ese comportamiento es la distribución normal.

Hay que fijarse en cómo se escribe: en el IB la notación $N (μ, σ^{2})$ lleva la varianza. Si te dan $X \sim N (50, 16)$ , la desviación típica es $σ = 4$ , no 16.

No necesitas integrar esta función (no tiene primitiva elemental): las probabilidades se obtienen con la CPG. Lo que sí debes saber es qué dice la curva.

Curva de campana de la distribución normal con las marcas μ−3σ, μ−2σ, μ−σ, μ, μ+σ, μ+2σ y μ+3σ: la zona entre μ−σ y μ+σ está sombreada y rotulada como aprox. 68 %; las franjas entre μ−2σ y μ−σ y entre μ+σ y μ+2σ, con aprox. 13,5 % cada una; las colas fuera de ±2σ quedan sin sombrear

Qué cambia cada parámetro

La media $μ$ mueve la campana a izquierda o derecha sin cambiar su forma: la desplaza como un todo. La desviación típica $σ$ controla la anchura. Con $σ$ pequeña los datos se apiñan y la campana es alta y estrecha; con $σ$ grande se reparten y la campana es baja y ancha. Como el área total siempre es 1, una campana más ancha tiene que ser más baja.

El valor máximo de la densidad es $f (μ) = \frac{1}{σ 2 π}$ , que depende solo de $σ$ .

La regla 68-95-99,7

Hay tres áreas que conviene recordar, porque permiten estimar probabilidades en la Prueba 1 y comprobar resultados de la CPG.

Con la simetría se obtienen más áreas: si el 68 % está dentro de $\pm σ$ , queda el 32 % fuera, y la mitad (16 %) a cada lado. Por ejemplo, $P (X > μ + σ) \approx 0, 16$ y $P (X > μ + 2 σ) \approx 0, 025$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Masa de tomates

La masa $X$ (en gramos) de los tomates de una cooperativa sigue una distribución normal $N (200, 1 0^{2})$ . Usa la regla 68-95-99,7 para estimar:

a) la probabilidad de que un tomate tenga una masa entre 190 g y 210 g;

b) la probabilidad de que la masa esté entre 180 g y 220 g;

c) la probabilidad de que un tomate pese más de 220 g.

Solución

Aquí $μ = 200$ y $σ = 10$ .

a) $190 = μ - σ$ y $210 = μ + σ$ : $P (190 < X < 210) \approx 0, 68$ .

b) $180 = μ - 2 σ$ y $220 = μ + 2 σ$ : $P (180 < X < 220) \approx 0, 95$ .

c) Fuera de $μ \pm 2 σ$ queda $1 - 0, 95 = 0, 05$ ; por simetría la mitad está por encima de 220: $P (X > 220) \approx 0, 025$ .

Resultado: a) $0, 68$ ; b) $0, 95$ ; c) $0, 025$ .

Ejemplo 2 Medio

Aprovechar la simetría

El tiempo $X$ (en minutos) que tarda un operario en montar una pieza sigue una distribución normal de media 50. Se sabe que $P (X < 42) = 0, 2$ .

a) Halla $P (X > 58)$ .

b) Halla $P (42 < X < 58)$ .

c) Halla $P (X < 58)$ .

Solución

La media es 50, y tanto 42 como 58 están a 8 unidades de ella ( $50 \mp 8$ ), así que son simétricos respecto de la media.

a) Por la simetría de la curva, el área a la derecha de 58 es igual al área a la izquierda de 42: $P (X > 58) = P (X < 42) = 0, 2$ .

b) El resto del área, fuera de ese intervalo, es $0, 2 + 0, 2 = 0, 4$ : $P (42 < X < 58) = 1 - 0, 4 = 0, 6$

c) $P (X < 58) = 1 - P (X > 58) = 1 - 0, 2 = 0, 8$ .

Resultado: a) $0, 2$ ; b) $0, 6$ ; c) $0, 8$ .

Ejemplo 3 Difícil

Dos máquinas con la misma media

Dos máquinas llenan botellas de aceite. El volumen (en ml) de la máquina A sigue $X \sim N (500, 5^{2})$ y el de la máquina B sigue $Y \sim N (500, 1 0^{2})$ . Se rechaza una botella si contiene más de 510 ml.

a) Halla el valor máximo de la función de densidad de $X$ y el de la de $Y$ . Explica qué máquina es más precisa y qué relación hay entre las alturas de las campanas.

b) Halla, con la CPG, la probabilidad de que una botella de cada máquina sea rechazada.

c) Halla, con la CPG, para cada máquina, la probabilidad de que el volumen esté a menos de una desviación típica de la media y explica por qué sale el mismo valor.

Solución

a) El máximo está en la media y vale $\frac{1}{σ 2 π}$ : $f_{X} (500) = \frac{1}{5 2 π} \approx 0, 0798 f_{Y} (500) = \frac{1}{10 2 π} \approx 0, 0399$ La campana de A es el doble de alta (y la mitad de ancha) porque su $σ$ es la mitad. La máquina A es más precisa: sus volúmenes se agrupan más cerca de 500 ml.

b) Para A, $510 = μ + 2 σ$ : por la regla, $P (X > 510) \approx 0, 025$ (con la CPG, $0, 0228$ ). Para B, $510 = μ + σ$ : $P (Y > 510) \approx 0, 16$ (con la CPG, $0, 159$ ).

La máquina B rechaza casi siete veces más botellas.

c) En ambas, $P (μ - σ < X < μ + σ) \approx 0, 683$ . Medida en desviaciones típicas, la forma de la curva es la misma para cualquier normal; solo cambia la escala del eje horizontal.

Resultado: a) $0, 0798$ y $0, 0399$ ; b) $0, 0228$ y $0, 159$ ; c) $0, 683$ en ambas.

En el examen: razona con $μ$ y $σ$ (por ejemplo, «510 está a 2 desviaciones típicas por encima») y no solo con el número que da la calculadora. Para comparar dos normales, lo que decide es cuántas $σ$ separan el valor de la media.

Errores típicos

Resumen

$X \sim N (μ, σ^{2})$ : curva de campana simétrica respecto de $x = μ$ ; media, mediana y moda coinciden en $μ$ . La segunda cifra es la varianza.
Densidad: $f (x) = \frac{1}{σ 2 π} e^{- (x - μ)^{2} / (2 σ^{2})}$ ; máximo $\frac{1}{σ 2 π}$ ; puntos de inflexión en $μ \pm σ$ .
$μ$ desplaza la campana; $σ$ la ensancha (más baja) o la estrecha (más alta). El área total es siempre 1.
Regla: $\approx 68 %$ dentro de $\pm σ$ , $\approx 95 %$ dentro de $\pm 2 σ$ , $\approx 99, 7 %$ dentro de $\pm 3 σ$ .
La simetría da $P (X < μ) = \frac{1}{2}$ y $P (X < μ - a) = P (X > μ + a)$ .

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