IB Análisis y Enfoques NS · Variable aleatoria continua y distribución normal · Apartado 3 de 4

Cálculos con la normal y su inversa

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

En la Prueba 2, casi todas las preguntas sobre la normal se resuelven con dos herramientas de la CPG: la distribución normal acumulada (de un valor a una probabilidad) y la normal inversa (de una probabilidad a un valor). Se trata de traducir el enunciado a una probabilidad, dibujar un esbozo y usar la herramienta adecuada.

De un valor a una probabilidad

Para $X \sim N (μ, σ^{2})$ , la probabilidad $P (a < X < b)$ es el área bajo la campana entre $a$ y $b$ . La CPG la calcula con la función de distribución normal acumulada, a la que se da el extremo inferior, el superior, la media $μ$ y la desviación típica $σ$ .

Los tres tipos básicos de área son:

Pregunta	Esbozo	Cómo se calcula
$P (X < a)$	cola izquierda	de $μ - 10 σ$ a $a$
$P (X > a)$	cola derecha	de $a$ a $μ + 10 σ$
$P (a < X < b)$	franja central	de $a$ a $b$

Como la normal es continua, $P (X \leq a) = P (X < a)$ . Y como el área total es 1, vale siempre $P (X > a) = 1 - P (X < a)$ .

Tres curvas normales pequeñas en fila, cada una con su media μ: en la primera se sombrea la cola izquierda hasta a, rotulada P(X<a); en la segunda, la cola derecha desde a, rotulada P(X>a); en la tercera, la franja entre a y b alrededor de la media, rotulada P(a<X<b). El resto de cada curva queda sin sombrear

De una probabilidad a un valor: la normal inversa

A veces se conoce la probabilidad y se pide el valor: «el 10 % de los más pesados pesan más de…», «el tiempo que se supera con probabilidad 0,98». La función de normal inversa de la CPG devuelve el valor $a$ tal que $P (X < a) = p$ , para $μ$ y $σ$ dados.

Un fallo muy común es dar a la calculadora el área de la cola derecha sin convertirla. Si el 5 % superior supera un valor, el área a la izquierda de ese valor es $0, 95$ .

Problemas de contexto y número esperado

En problemas reales hay que definir la variable, escribir su distribución, esbozar y calcular. Cuando se piden varios elementos de una muestra, se combina la normal con la binomial: la probabilidad $p$ de que un elemento cumpla la condición sale de la normal, y después el número $N$ de elementos que la cumplen entre $n$ elegidos al azar sigue $N \sim B (n, p)$ . En una población de $M$ elementos, el número esperado es $M \cdot p$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Tiempo de trayecto

El tiempo $T$ (en minutos) que una persona tarda en llegar al trabajo sigue una distribución normal $N (35, 4^{2})$ . Halla, con la CPG:

a) la probabilidad de que tarde menos de 30 minutos;

b) la probabilidad de que tarde más de 42 minutos;

c) la probabilidad de que tarde entre 32 y 38 minutos.

Solución

Se tiene $μ = 35$ y $σ = 4$ .

a) $P (T < 30) = 0, 106$ (área de la cola izquierda).

b) $P (T > 42) = 0, 0401$ (área de la cola derecha; se puede calcular de 42 a una cota muy alta).

c) $P (32 < T < 38) = 0, 547$ (franja entre los dos valores).

Resultado: a) $0, 106$ ; b) $0, 0401$ ; c) $0, 547$ .

Ejemplo 2 Medio

Manzanas y calibres

La masa $W$ (en gramos) de las manzanas de una finca sigue una distribución normal $N (180, 1 5^{2})$ .

a) Halla la probabilidad de que una manzana pese más de 200 g.

b) El 90 % de las manzanas pesa menos de $w$ gramos. Halla $w$ .

c) Las manzanas más pesadas, el 5 % superior, se venden como «extra». Halla la masa mínima de una manzana «extra».

Solución

a) $P (W > 200) = 0, 0912$ .

b) Se pide $w$ tal que $P (W < w) = 0, 9$ . Con la normal inversa ( $μ = 180$ , $σ = 15$ , área $0, 9$ ): $w = 199, 22 \dots \approx 199 g$

c) El 5 % superior es una cola derecha: $P (W > m) = 0, 05$ , o sea $P (W < m) = 0, 95$ . Con la normal inversa y área $0, 95$ : $m = 204, 67 \dots \approx 205 g$

Resultado: a) $0, 0912$ ; b) $199$ g; c) $205$ g.

Ejemplo 3 Difícil

Control de baterías

La duración $L$ (en horas) de una batería sigue una distribución normal $N (48, 5^{2})$ . Una batería se considera defectuosa si dura menos de 40 horas.

a) Halla la probabilidad de que una batería elegida al azar sea defectuosa.

b) El fabricante quiere garantizar una duración $t$ tal que el 98 % de las baterías duren más de $t$ horas. Halla $t$ .

c) Se eligen al azar 25 baterías. Halla la probabilidad de que al menos 2 sean defectuosas.

d) En un lote de 400 baterías, halla el número esperado de defectuosas.

Solución

a) $p = P (L < 40) = 0, 0548$ .

b) Se pide $P (L > t) = 0, 98$ , es decir, $P (L < t) = 0, 02$ . Con la normal inversa y área $0, 02$ (la garantía queda por debajo de la media): $t = 37, 73 \dots \approx 37, 7 horas$

c) Sea $N$ el número de defectuosas entre 25. Las baterías son independientes y cada una es defectuosa con probabilidad $p = 0, 0548$ : $N \sim B (25; 0, 0548)$ . Entonces $P (N \geq 2) = 1 - P (N \leq 1) = 1 - [P (N = 0) + P (N = 1)] = 0, 401$

d) Número esperado: $400 \cdot 0, 0548 = 21, 9$ baterías.

Resultado: a) $0, 0548$ ; b) $37, 7$ h; c) $0, 401$ ; d) $21, 9$ .

En el examen: guarda el valor de $p$ completo en la calculadora para usarlo en la binomial, sin redondearlo antes. Escribe $L \sim N (48, 5^{2})$ y $N \sim B (25; p)$ antes de calcular: son los puntos de definición de variable y de modelo.

Errores típicos

Resumen

Para $X \sim N (μ, σ^{2})$ , $P (a < X < b)$ se obtiene con la distribución normal acumulada de la CPG, introduciendo $σ$ (no $σ^{2}$ ).
Dibuja siempre el esbozo; $P (X > a) = 1 - P (X < a)$ y $P (X \leq a) = P (X < a)$ .
La normal inversa da el valor con un área dada a su izquierda: convierte antes las colas derechas.
Una franja central de área $p$ deja $\frac{1 - p}{2}$ en cada cola.
En muestras: la probabilidad de la normal es el $p$ de una binomial $B (n, p)$ ; el número esperado en $M$ elementos es $M \cdot p$ .
Respuestas con 3 cifras significativas; no redondees valores intermedios.

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