IB Análisis y Enfoques NS · Probabilidad · Apartado 2 de 5

Experimentos aleatorios, sucesos y operaciones con sucesos

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Antes de medir una probabilidad hay que fijar qué puede ocurrir y qué suceso te interesa. Este apartado da el lenguaje: experimento aleatorio, espacio muestral y sucesos, y las operaciones entre sucesos (unión, intersección, complementario). En el examen del IB lo verás casi siempre como un diagrama de Venn o una tabla de resultados.

Experimento aleatorio, espacio muestral y sucesos

Un suceso $A$ se verifica si el resultado del experimento pertenece a $A$ . Si extraes una bola numerada del 1 al 10, $U = {1, 2, \dots, 10}$ , con $n (U) = 10$ , y el suceso $A$ : «el número es múltiplo de 4» es $A = {4, 8}$ , con $n (A) = 2$ . Si sale el 8, $A$ se ha verificado; si sale el 9, no.

Para escribir $U$ sin olvidar casos, en experimentos de dos etapas (dos lanzamientos, una moneda y un dado) cada resultado es un par ordenado y conviene una tabla de resultados: las filas son los de la primera etapa, las columnas los de la segunda. El número de casillas es el producto $n_{1} \cdot n_{2}$ , que sirve de comprobación.

Operaciones con sucesos

Como los sucesos son conjuntos, se combinan como conjuntos. Sean $A$ y $B$ dos sucesos del mismo experimento.

Traducción del lenguaje corriente: «o» es $\cup$ , «y» es $\cap$ , «no» es $^{'}$ . Ese «o» es inclusivo: también vale si ocurren los dos. Otras expresiones útiles: «ninguno de los dos» es $(A \cup B)^{'}$ , «al menos uno» es $A \cup B$ , «exactamente uno» es $(A \cap B^{'}) \cup (A^{'} \cap B)$ y «solo $A$ » es $A \cap B^{'}$ .

Cuatro diagramas de Venn en fila, con el espacio muestral U y los sucesos A y B: A ∪ B (ambos círculos sombreados), A ∩ B (solo la zona común), A′ (todo el rectángulo menos el círculo A) y A ∩ B′ (solo la parte de A que no está en B)

Un suceso y su complementario son siempre incompatibles y, además, entre los dos agotan $U$ : $A \cup A^{'} = U$ y $A \cap A^{'} = \emptyset$ . Pero dos sucesos incompatibles no tienen por qué ser complementarios. Con un dado de 6 caras, «sale 1» y «sale 2» son incompatibles, pero entre ellos no cubren los otros cuatro resultados.

Las leyes de De Morgan

En palabras: «no ocurre ninguno de los dos» equivale a «no ocurre $A$ y no ocurre $B$ »; y «no ocurren los dos a la vez» equivale a «falla $A$ o falla $B$ ». Para memorizarlas: al pasar el complementario dentro del paréntesis, la unión se cambia por intersección y viceversa.

Dos diagramas de Venn en fila, con U y los círculos A y B. Izquierda, (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′: todo el rectángulo sombreado menos los dos círculos, que quedan en blanco. Derecha, (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′: todo el rectángulo sombreado menos la zona común, que queda en blanco

Diagramas de Venn con cantidades

Dos sucesos dividen $U$ en cuatro regiones que no se solapan: solo $A$ , solo $B$ , ambos, y ninguno. Cuando se dan cantidades, cada región lleva el número de elementos propios.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Dado de ocho caras

Se lanza un dado equilibrado de 8 caras numeradas del 1 al 8. Se consideran los sucesos $A$ : «el número es múltiplo de 4», $B$ : «el número es mayor que 5» y $C$ : «el número es impar».

a) Escribe $A \cap B$ .

b) Escribe $A \cup B$ .

c) Escribe $B^{'}$ .

d) Escribe $B \cap C^{'}$ .

e) ¿Son $A$ y $C$ incompatibles? Responde «si» o «no».

Solución

Primero se listan los sucesos: $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}$ , $A = {4, 8}$ , $B = {6, 7, 8}$ , $C = {1, 3, 5, 7}$ .

a) El único elemento común es el 8: $A \cap B = {8}$ .

b) Se reúnen los de $A$ y los de $B$ sin repetir: $A \cup B = {4, 6, 7, 8}$ .

c) $B^{'}$ son los de $U$ que no están en $B$ : $B^{'} = {1, 2, 3, 4, 5}$ .

d) $C^{'} = {2, 4, 6, 8}$ (los pares), y los de $B$ que están en $C^{'}$ son $6$ y $8$ : $B \cap C^{'} = {6, 8}$ .

e) $A \cap C = \emptyset$ (un múltiplo de 4 es par y $C$ solo tiene impares): sí son incompatibles.

Resultado: a) ${8}$ ; b) ${4, 6, 7, 8}$ ; c) ${1, 2, 3, 4, 5}$ ; d) ${6, 8}$ ; e) sí.

Ejemplo 2 Medio

Moneda y dado

Se lanza una moneda y un dado de 6 caras. Cada resultado es un par (moneda, número). Sea $A$ el suceso «sale cara» y $B$ el suceso «el número del dado es primo».

a) Calcula $n (U)$ .

b) Calcula $n (A)$ y $n (B)$ .

c) Calcula $n (A \cap B)$ .

d) Calcula $n (A \cup B)$ y el número de resultados que no están ni en $A$ ni en $B$ .

Solución

La tabla de resultados tiene 2 filas (cara, cruz) y 6 columnas (1 a 6).

a) $n (U) = 2 \cdot 6 = 12$ .

b) $A$ es la fila de cara: $n (A) = 6$ . Los números primos del dado son $2, 3, 5$ , que con cada cara de la moneda dan $3 \cdot 2 = 6$ resultados: $n (B) = 6$ .

c) Son los resultados con cara y número primo: $(cara, 2)$ , $(cara, 3)$ , $(cara, 5)$ . Luego $n (A \cap B) = 3$ .

d) Para no contar dos veces los comunes, $n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A \cap B) = 6 + 6 - 3 = 9$ Los que no están en ninguno son $12 - 9 = 3$ : son los de cruz con 1, 4 o 6.

Resultado: a) 12; b) $n (A) = 6$ , $n (B) = 6$ ; c) 3; d) 9 y 3.

Ejemplo 3 Difícil

Idiomas con una condición sobre la intersección

En un curso de 90 alumnos, 50 estudian francés ( $F$ ) y 42 estudian alemán ( $G$ ). El número de alumnos que estudian los dos idiomas es el doble del número de alumnos que no estudian ninguno. Se elige un alumno al azar.

a) Halla cuántos alumnos estudian los dos idiomas y cuántos no estudian ninguno.

b) Halla $n (F \cap G^{'})$ .

c) Halla $n (F^{'} \cap G)$ .

d) Halla $n (F^{'} \cup G^{'})$ y explica con palabras qué cuenta.

Solución

a) Sea $k$ el número de alumnos que no estudian ninguno. Entonces $n (F \cap G) = 2 k$ . Rellenamos las cuatro regiones:

solo francés: $50 - 2 k$ ;
solo alemán: $42 - 2 k$ ;
ambos: $2 k$ ;
ninguno: $k$ .

La suma debe ser el total: $(50 - 2 k) + 2 k + (42 - 2 k) + k = 90 ⟹ 92 - k = 90 ⟹ k = 2$ Estudian ambos $2 k = 4$ alumnos y ninguno estudia 2.

b) $F \cap G^{'}$ es «solo francés»: $50 - 4 = 46$ .

c) $F^{'} \cap G$ es «solo alemán»: $42 - 4 = 38$ .

d) Por la ley de De Morgan, $F^{'} \cup G^{'} = (F \cap G)^{'}$ , así que $n (F^{'} \cup G^{'}) = 90 - n (F \cap G) = 90 - 4 = 86$ Son los alumnos que no estudian los dos idiomas a la vez (estudian uno solo o ninguno): $46 + 38 + 2 = 86$ , que coincide.

En el examen: dibuja el diagrama con las cuatro regiones y escribe la ecuación de la suma igual a $n (U)$ . El error que más puntos cuesta es poner $n (F) = 50$ en la región «solo francés». Termina cada apartado diciendo a qué suceso corresponde el número.

Errores típicos

Resumen

Experimento aleatorio: resultados conocidos, resultado concreto impredecible. $U$ es el espacio muestral y un suceso es un subconjunto de $U$ ; $n (A)$ cuenta sus elementos.
Suceso seguro $= U$ , suceso imposible $= \emptyset$ con $n (\emptyset) = 0$ .
$A \cup B$ : $A$ o $B$ (o ambos); $A \cap B$ : $A$ y $B$ ; $A^{'}$ : no $A$ ; $A \cap B^{'}$ : solo $A$ .
$A$ y $B$ son incompatibles si $A \cap B = \emptyset$ . Los complementarios son incompatibles y además cubren todo $U$ .
De Morgan: $(A \cup B)^{'} = A^{'} \cap B^{'}$ y $(A \cap B)^{'} = A^{'} \cup B^{'}$ .
En experimentos de dos etapas, $n (U) = n_{1} \cdot n_{2}$ y los resultados son pares ordenados (tabla de resultados).
Venn con cantidades: se rellena del centro hacia fuera y las cuatro regiones suman $n (U)$ .

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