IB Análisis y Enfoques NS · Probabilidad · Apartado 3 de 5

La probabilidad y sus propiedades: Laplace, complementario y unión

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

La probabilidad es un número de $0$ a $1$ que mide lo posible que es un suceso. Con la regla de Laplace, el complementario y la fórmula de la unión, y apoyándote en un diagrama de Venn o una tabla, resuelves la mayoría de las preguntas básicas de probabilidad del examen del IB, a menudo sin calculadora.

Qué mide la probabilidad

Si repites $N$ veces un experimento y el suceso $S$ ocurre $f (S)$ veces (frecuencia absoluta), la frecuencia relativa es $fr (S) = \frac{f ( S )}{N}$ Al aumentar $N$ , la frecuencia relativa se acerca a un valor fijo, que es la probabilidad $P (S)$ . Esa estabilización se llama ley de los grandes números. Por eso una frecuencia relativa medida con muchos datos sirve como estimación de la probabilidad. Con pocas repeticiones puede alejarse bastante: 3 caras en 5 lanzamientos no prueba que la moneda esté trucada.

Las frecuencias relativas son siempre números entre $0$ y $1$ ; la del suceso seguro es $1$ ; y si dos sucesos no pueden darse a la vez, la de su unión es la suma de las dos. Esas tres ideas son las reglas de partida de la probabilidad.

$P (A) = 0$ indica un suceso que no ocurre nunca y $P (A) = 1$ , uno que ocurre siempre. Una probabilidad fuera de $[0, 1]$ o negativa es señal de error.

La regla de Laplace

Cada resultado elemental pesa $\frac{1}{n ( U )}$ y $A$ reúne $n (A)$ de ellos. Solo se puede usar si los resultados son igual de probables: una moneda, un dado, una bola de una urna extraída «al azar» lo cumplen; un dado cargado, no. Los casos se cuentan listando, con una tabla de resultados (cada casilla es un resultado equiprobable) o con la combinatoria del primer apartado.

Propiedades

Por qué son ciertas:

Complementario. $A$ y $A^{'}$ son incompatibles y juntos forman $U$ , luego $P (A) + P (A^{'}) = P (U) = 1$ . Es la propiedad estrella: ante «al menos uno» o «alguna vez», calcula el contrario y resta de $1$ .
Unión. Al sumar $P (A) + P (B)$ la zona común se cuenta dos veces; se resta una.
Inclusión. Si $A$ está dentro de $B$ , $B$ tiene todo lo de $A$ y puede tener algo más.

De la unión se deduce, despejando, una forma muy usada para hallar la intersección: $P (A \cap B) = P (A) + P (B) - P (A \cup B)$

Las cuatro regiones y las probabilidades

Los sucesos $A$ y $B$ dividen $U$ en cuatro regiones disjuntas, cuyas probabilidades suman $1$ : $P (A \cap B) + P (A \cap B^{'}) + P (A^{'} \cap B) + P (A^{'} \cap B^{'}) = 1$ De aquí salen tres relaciones muy útiles: $P (A) = P (A \cap B) + P (A \cap B^{'}) P (B) = P (A \cap B) + P (A^{'} \cap B) P (A \cup B) = 1 - P (A^{'} \cap B^{'})$ La tercera es la ley de De Morgan en versión probabilidad: lo que no está fuera de ambos está en la unión.

Diagrama de Venn con U y dos círculos A y B solapados, con las cuatro regiones de distinto color y etiquetadas: solo A (A ∩ B′) en verde, la zona común (A ∩ B) en azul, solo B (A′ ∩ B) en naranja y el exterior (A′ ∩ B′) en gris; a la derecha, P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B′), P(B) = P(A ∩ B) + P(A′ ∩ B) y las cuatro regiones suman 1

Tablas de contingencia

Una tabla de contingencia reparte los resultados según dos criterios y es un Venn disfrazado: cada celda interior es una intersección y los totales son las probabilidades de cada suceso. Por ejemplo, en un grupo se clasifica a las personas según usen bicicleta ( $A$ ) o no, y vivan en la ciudad ( $B$ ) o no:

	$B$	$B^{'}$	Total
$A$	$P (A \cap B)$	$P (A \cap B^{'})$	$P (A)$
$A^{'}$	$P (A^{'} \cap B)$	$P (A^{'} \cap B^{'})$	$P (A^{'})$
Total	$P (B)$	$P (B^{'})$	$1$

Cada fila y cada columna suman su total, y el total de totales es $1$ (o $n (U)$ , si la tabla trae frecuencias).

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Bolas de colores

Una bolsa contiene 20 bolas del mismo tamaño: 8 rojas, 7 azules y 5 verdes. Se extrae una al azar. Calcula la probabilidad de que

a) sea roja;

b) no sea verde;

c) sea roja o azul;

d) no sea ni azul ni verde.

Solución

Todas las bolas son equiprobables y $n (U) = 20$ .

a) $P (roja) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$ .

b) Por el complementario, $P (no verde) = 1 - \frac{5}{20} = \frac{3}{4}$ .

c) Roja y azul son incompatibles, luego se suman: $\frac{8}{20} + \frac{7}{20} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$ . (Coincide con el apartado b, porque «roja o azul» es lo mismo que «no verde».)

d) «Ni azul ni verde» es «roja»: $\frac{8}{20} = \frac{2}{5}$ .

Resultado: a) $\frac{2}{5}$ ; b) $\frac{3}{4}$ ; c) $\frac{3}{4}$ ; d) $\frac{2}{5}$ .

Ejemplo 2 Medio

Suma de dos dados

Se lanzan dos dados equilibrados de 6 caras y se suman los resultados. Calcula la probabilidad de que la suma

a) sea 9;

b) sea al menos 10;

c) sea par;

d) sea par o múltiplo de 5.

Solución

La tabla de resultados tiene $6 \cdot 6 = 36$ casillas equiprobables.

a) La suma 9 se obtiene con $(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)$ : 4 casos. $P = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$ .

b) «Al menos 10» agrupa las sumas 10 (3 casos), 11 (2 casos) y 12 (1 caso): 6 casos. $P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ .

c) La suma es par cuando los dos dados tienen la misma paridad: $3 \cdot 3 + 3 \cdot 3 = 18$ casos. $P = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$ .

d) Sea $A$ : «par» y $B$ : «múltiplo de 5». Los múltiplos de 5 son las sumas 5 (4 casos) y 10 (3 casos), luego $n (B) = 7$ . De ellos, solo la suma 10 es par: $n (A \cap B) = 3$ . Por la fórmula de la unión, $n (A \cup B) = 18 + 7 - 3 = 22 ⟹ P (A \cup B) = \frac{22}{36} = \frac{11}{18}$

Resultado: a) $\frac{1}{9}$ ; b) $\frac{1}{6}$ ; c) $\frac{1}{2}$ ; d) $\frac{11}{18}$ .

Ejemplo 3 Difícil

Probabilidades de la unión y cotas

Para dos sucesos $A$ y $B$ se sabe que $P (A) = \frac{3}{5}$ , $P (B) = \frac{1}{2}$ y $P (A^{'} \cap B^{'}) = \frac{1}{10}$ .

a) Halla $P (A \cup B)$ .

b) Halla $P (A \cap B)$ .

c) Halla $P (A \cap B^{'})$ .

d) Halla $P (A^{'} \cup B^{'})$ .

e) Sin usar el dato $P (A^{'} \cap B^{'})$ , ¿cuál es el menor valor que puede tomar $P (A \cap B)$ con $P (A) = \frac{3}{5}$ y $P (B) = \frac{1}{2}$ ?

Solución

a) Lo que no está en la unión es $A^{'} \cap B^{'}$ (De Morgan), así que $P (A \cup B) = 1 - P (A^{'} \cap B^{'}) = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$

b) De la fórmula de la unión, $P (A \cap B) = P (A) + P (B) - P (A \cup B) = \frac{3}{5} + \frac{1}{2} - \frac{9}{10} = \frac{6 + 5 - 9}{10} = \frac{1}{5}$

c) «Solo $A$ »: $P (A \cap B^{'}) = P (A) - P (A \cap B) = \frac{3}{5} - \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$ .

d) $A^{'} \cup B^{'} = (A \cap B)^{'}$ , luego $P (A^{'} \cup B^{'}) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ .

e) Como $P (A \cup B) \leq 1$ , de $P (A \cap B) = P (A) + P (B) - P (A \cup B)$ se obtiene $P (A \cap B) \geq P (A) + P (B) - 1 = \frac{3}{5} + \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{10}$ El mínimo es $\frac{1}{10}$ , y se da cuando $A \cup B = U$ (no queda nada fuera de los círculos). Además los círculos deben solaparse: con estas probabilidades $A$ y $B$ no pueden ser incompatibles.

En el examen: nombra la propiedad que usas en cada paso («complementario», «unión») y reescribe el diagrama con los cuatro valores obtenidos, que deben sumar $1$ : $\frac{1}{5} + \frac{2}{5} + \frac{3}{10} + \frac{1}{10} = 1$ . Una respuesta sin planteamiento pierde los puntos de método si hay un fallo aritmético.

Errores típicos

Resumen

Frecuencia relativa $fr (S) = \frac{f ( S )}{N}$ ; con muchas repeticiones se estabiliza en $P (S)$ (ley de los grandes números).
Axiomas: $0 \leq P (A) \leq 1$ , $P (U) = 1$ y, si $A \cap B = \emptyset$ , $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ .
Laplace (resultados equiprobables): $P (A) = \frac{n ( A )}{n ( U )}$ .
$P (A^{'}) = 1 - P (A)$ ; $P (\emptyset) = 0$ ; $A \subset B \Rightarrow P (A) \leq P (B)$ .
$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ , y de ahí $P (A \cap B) = P (A) + P (B) - P (A \cup B)$ ; $P (A \cup B) = 1 - P (A^{'} \cap B^{'})$ .
Las cuatro regiones de un Venn suman $1$ ; una tabla de contingencia es lo mismo con filas y columnas.
Ante «al menos uno», calcula el contrario y resta de $1$ .

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