IB Análisis y Enfoques NS · Probabilidad · Apartado 4 de 5

Probabilidad condicionada e independencia de sucesos

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Cuando sabes que ya ha ocurrido algo, las probabilidades cambian: es la probabilidad condicionada. Si saber que ha ocurrido $B$ no cambia nada la probabilidad de $A$ , los sucesos son independientes. En el examen del IB se pide con tablas de contingencia, diagramas de Venn y datos sueltos como $P (A)$ , $P (B)$ y $P (A \cup B)$ , y casi siempre se puntúa por justificar la independencia con números.

Probabilidad condicionada

Supón que en un gimnasio hay 200 socios y quieres la probabilidad de que uno elegido al azar vaya por las mañanas. Si antes te dicen que es estudiante, ya no eliges entre los 200, sino solo entre los estudiantes. La información reduce el espacio muestral, y eso es todo lo que hace la probabilidad condicionada.

La fórmula es natural: si $B$ es ahora todo tu universo, solo cuentan los casos que además están en $A$ , es decir, $A \cap B$ . Dividir entre $P (B)$ devuelve al nuevo universo la probabilidad 1.

Fíjate en que $P (A ∣ B)$ y $P (B ∣ A)$ son, en general, números distintos: el numerador es el mismo, pero el denominador cambia.

Regla del producto

Despejando $P (A \cap B)$ en la definición se obtiene una forma muy útil para hallar la probabilidad de que ocurran las dos cosas.

Es la base de los diagramas de árbol, que verás en el apartado siguiente. Esta regla y la definición de $P (A ∣ B)$ figuran en el cuadernillo de fórmulas del IB, así que no hace falta memorizarlas, pero sí saber cuándo usar cada una.

Probabilidad condicionada con una tabla de contingencia

Una tabla de contingencia (o de doble entrada) reparte los casos según dos características a la vez. Con ella no hace falta la fórmula: basta con quedarte solo con la fila o la columna de la condición y dividir.

Con la fórmula sale lo mismo: los casos de $A \cap B$ entre el total de la tabla dan $P (A \cap B)$ , los casos de $B$ entre el total dan $P (B)$ , y al dividir el total de la tabla se cancela.

Sucesos independientes

Dos sucesos son independientes cuando enterarte de que uno ha ocurrido no te dice nada nuevo sobre el otro.

La comprobación más cómoda en el examen es la última: calcula $P (A \cap B)$ por un lado y $P (A) \cdot P (B)$ por otro, y compáralos. Si son iguales, los sucesos son independientes; si no, dependientes. Escribe siempre los dos valores.

Una consecuencia útil: si $A$ y $B$ son independientes, también lo son $A$ y $B^{'}$ , $A^{'}$ y $B$ , y $A^{'}$ y $B^{'}$ . Por ejemplo, $P (A \cap B^{'}) = P (A) \cdot P (B^{'})$ . En muchos problemas el dato de independencia sirve justo para poder sustituir $P (A \cap B)$ por un producto y dejar una ecuación con una sola incógnita.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Teletrabajo en una oficina

En una oficina trabajan 80 personas. La tabla las clasifica por departamento y por si teletrabajan.

	Teletrabaja	No teletrabaja	Total
Ventas	18	12	30
Técnico	20	30	50
Total	38	42	80

Se elige una persona al azar.

a) Sabiendo que es de Ventas, halla la probabilidad de que teletrabaje.

b) Sabiendo que teletrabaja, halla la probabilidad de que sea de Ventas.

c) Sabiendo que no teletrabaja, halla la probabilidad de que sea del departamento Técnico.

d) ¿Son independientes «ser de Ventas» y «teletrabajar»?

Solución

a) La condición es «Ventas»: el universo son las 30 personas de esa fila, y 18 teletrabajan. $P (teletrabaja ∣ Ventas) = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}$

b) La condición es «teletrabaja»: columna de 38 personas, de las que 18 son de Ventas. $P (Ventas ∣ teletrabaja) = \frac{18}{38} = \frac{9}{19}$

c) Condición «no teletrabaja»: 42 personas, de las que 30 son del departamento Técnico. $P (T e ˊ cnico ∣ no teletrabaja) = \frac{30}{42} = \frac{5}{7}$

d) Se comparan $P (V \cap T)$ y $P (V) \cdot P (T)$ , con $V$ «Ventas» y $T$ «teletrabaja»: $P (V \cap T) = \frac{18}{80} = \frac{9}{40} = \frac{72}{320} P (V) \cdot P (T) = \frac{30}{80} \cdot \frac{38}{80} = \frac{57}{320}$ No coinciden, luego no son independientes. Coherente con a): $P (T ∣ V) = \frac{3}{5} = 0, 6$ , mientras que $P (T) = \frac{38}{80} = 0, 475$ .

Resultado: a) $\frac{3}{5}$ ; b) $\frac{9}{19}$ ; c) $\frac{5}{7}$ ; d) no son independientes.

Ejemplo 2 Medio

Datos sueltos de dos sucesos

Para dos sucesos $A$ y $B$ se sabe que $P (A) = \frac{7}{10} P (B) = \frac{2}{5} P (A ∣ B) = \frac{3}{4}$

a) Halla $P (A \cap B)$ .

b) Halla $P (B ∣ A)$ .

c) Halla $P (A \cup B)$ .

d) Halla $P (A ∣ B^{'})$ .

e) ¿Son $A$ y $B$ independientes?

Solución

a) Regla del producto: $P (A \cap B) = P (A ∣ B) \cdot P (B) = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{3}{10}$

b) La condición ahora es $A$ : $P (B ∣ A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )} = \frac{3/10}{7/10} = \frac{3}{7}$

c) Fórmula de la unión: $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B) = \frac{7}{10} + \frac{4}{10} - \frac{3}{10} = \frac{4}{5}$

d) Los casos de $A$ que no están en $B$ son $A \cap B^{'}$ , con $P (A \cap B^{'}) = P (A) - P (A \cap B) = \frac{7}{10} - \frac{3}{10} = \frac{2}{5}$ , y $P (B^{'}) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ . Entonces $P (A ∣ B^{'}) = \frac{2/5}{3/5} = \frac{2}{3}$

e) Se comparan: $P (A) \cdot P (B) = \frac{7}{10} \cdot \frac{2}{5} = \frac{7}{25}$ y $P (A \cap B) = \frac{3}{10}$ . Como $\frac{7}{25} \neq = \frac{3}{10}$ , no son independientes. Se ve también en que $P (A ∣ B) = \frac{3}{4} \neq = \frac{7}{10} = P (A)$ .

Resultado: a) $\frac{3}{10}$ ; b) $\frac{3}{7}$ ; c) $\frac{4}{5}$ ; d) $\frac{2}{3}$ ; e) no.

Ejemplo 3 Difícil

Independientes con dos soluciones

Dos sistemas de alarma de una nave funcionan de forma independiente. Sea $A$ el suceso «la alarma 1 se activa» y $B$ el suceso «la alarma 2 se activa» ante un mismo incidente. Se sabe que $P (A \cap B^{'}) = \frac{1}{3} P (A^{'} \cap B) = \frac{1}{6}$

a) Halla los posibles valores de $P (B)$ .

b) Se sabe además que $P (A) < \frac{3}{5}$ . Halla $P (A)$ y $P (B)$ .

c) Halla $P (A \cup B)$ .

d) Halla $P (A \cap B)$ .

Solución

Sean $a = P (A)$ y $b = P (B)$ . Por ser $A$ y $B$ independientes, también lo son $A$ con $B^{'}$ y $A^{'}$ con $B$ , así que $a (1 - b) = \frac{1}{3} (1 - a) b = \frac{1}{6}$

a) Restando las dos ecuaciones, los términos $ab$ se cancelan: $a - b = \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$ , es decir, $a = b + \frac{1}{6}$ . Se sustituye en la primera: $(b + \frac{1}{6}) (1 - b) = \frac{1}{3} \Rightarrow - b^{2} + \frac{5}{6} b + \frac{1}{6} = \frac{1}{3} \Rightarrow 6 b^{2} - 5 b + 1 = 0$ Factorizando, $(2 b - 1) (3 b - 1) = 0$ , luego $b = \frac{1}{2}$ o $b = \frac{1}{3}$ .

b) Si $b = \frac{1}{2}$ , entonces $a = \frac{2}{3}$ ; si $b = \frac{1}{3}$ , entonces $a = \frac{1}{2}$ . Ambos pares cumplen las dos ecuaciones. La condición $P (A) < \frac{3}{5}$ descarta $a = \frac{2}{3}$ (pues $\frac{2}{3} > \frac{3}{5}$ ), así que $P (A) = \frac{1}{2} P (B) = \frac{1}{3}$

c) Con independencia, $P (A \cap B) = ab = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ , y $P (A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{2}{3}$

d) Del cálculo anterior, $P (A \cap B) = \frac{1}{6}$ . Comprobación: $P (A \cap B^{'}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$ y $P (A^{'} \cap B) = \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$ , como dicen los datos.

En el examen: puntúa escribir que la independencia permite usar $P (A \cap B^{'}) = P (A) P (B^{'})$ y plantear las dos ecuaciones. Si al resolver la cuadrática te quedas con una sola raíz sin decir por qué, pierdes el punto de la justificación: aquí las dos son válidas y hace falta el dato extra para decidir.

Errores típicos

Resumen

$P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$ : la probabilidad de $A$ cuando el universo se reduce a $B$ .
Regla del producto: $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B ∣ A) = P (B) \cdot P (A ∣ B)$ . Ambas fórmulas están en el cuadernillo del IB.
En una tabla de contingencia, el denominador es el total de la fila o columna de la condición.
$A$ y $B$ son independientes si $P (A ∣ B) = P (A)$ , o si $P (B ∣ A) = P (B)$ , o si $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$ . En caso contrario son dependientes.
Si $A$ y $B$ son independientes, también lo son $A$ y $B^{'}$ , $A^{'}$ y $B$ , y $A^{'}$ y $B^{'}$ .
Incompatibles ( $P (A \cap B) = 0$ ) no es lo mismo que independientes: con probabilidades positivas, nunca son ambas cosas a la vez.
En el examen, escribe $P (A \cap B)$ y $P (A) \cdot P (B)$ para justificar la independencia, y deja las fracciones simplificadas.

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