IB Análisis y Enfoques NS · Probabilidad · Apartado 5 de 5

Probabilidad total, teorema de Bayes y diagramas de árbol

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Un experimento compuesto se hace por etapas, y el diagrama de árbol lo ordena: multiplicas a lo largo de cada camino y sumas los caminos que cumplen un suceso (probabilidad total). Si además te dicen cómo ha terminado y preguntas cómo empezó, divides un camino entre la suma de los caminos posibles: es el teorema de Bayes. En el examen del IB es la pregunta final más habitual de la sección B.

Experimentos de varias etapas

Mucha probabilidad ocurre por pasos: se saca una ficha y después otra, se elige una máquina y luego se mira si la pieza sale defectuosa, un paciente se hace una prueba y se conoce el resultado. Cada paso es una etapa, y un resultado del experimento completo es una sucesión de resultados, uno por etapa.

Para organizarlos se dibuja un árbol que se lee de izquierda a derecha:

Del punto inicial salen tantas ramas como resultados tiene la primera etapa.
Al final de cada rama sale un nuevo grupo de ramas con los resultados de la segunda etapa en ese caso concreto.
Cada camino completo, de izquierda a derecha, es un resultado del experimento.

Diagrama de árbol de dos etapas: de A y A′ salen las ramas P(A) y 1 − P(A); de cada uno salen las ramas hacia B y B′ con P(B | A), P(B′ | A), P(B | A′) y P(B′ | A′); a la derecha, el producto de cada camino completo (A ∩ B, A ∩ B′, A′ ∩ B y A′ ∩ B′); las ramas de un mismo nodo suman 1

La última regla es tu mejor comprobación: si en un nodo la suma no es 1, falta una rama o hay un número mal puesto. También sirve para rellenar huecos: si una rama de un nodo vale $p$ , la otra vale $1 - p$ .

Multiplicar a lo largo de un camino

La intuición: por la rama $A$ pasa la fracción $P (A)$ del total, y de esa fracción solo una parte $P (B ∣ A)$ sigue por la rama $B$ . Una parte de una parte es un producto. Las probabilidades de todos los caminos completos suman 1; es una segunda comprobación.

Con y sin reemplazamiento

Cuando se extraen objetos de un conjunto (fichas, cartas, alumnos), todo depende de si se devuelve lo extraído.

Si de 12 objetos hay 5 de cierto tipo, el primero es de ese tipo con probabilidad $\frac{5}{12}$ . Con reemplazamiento, el segundo también. Sin reemplazamiento, es $\frac{4}{11}$ si el primero era de ese tipo (quedan 4 de 11) y $\frac{5}{11}$ si no lo era (quedan 5 de 11). En cada nodo las ramas siguen sumando 1.

Probabilidad total

Un suceso suele alcanzarse por varios caminos. Como esos caminos no pueden ocurrir a la vez, sus probabilidades se suman.

En el árbol: marcas todos los caminos que terminan en $A$ , multiplicas dentro de cada uno y sumas. La fórmula no hace falta recordarla de memoria si dibujas el árbol.

Teorema de Bayes

Un árbol dice «primero esto, después aquello». Pero a veces se pregunta al revés: ya sabes cómo ha terminado ( $A$ ) y quieres saber por qué rama ha venido ( $B$ ). La probabilidad $P (B ∣ A)$ no está en el árbol: hay que calcularla.

Esta fórmula figura en el cuadernillo de fórmulas del IB. Aun así, lo más seguro es leerla del árbol:

La idea es un reparto: de todos los casos que terminan en $A$ , ¿qué parte pasa por la rama $B$ ? Observa que la respuesta depende no solo de lo fiable que sea cada rama, sino de cuántos casos entran por cada una: un suceso muy raro sigue siendo raro aunque se detecte bien.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Dos caramelos de una bolsa

Una bolsa contiene 8 caramelos: 3 de fresa y 5 de limón. Se sacan dos al azar, uno detrás de otro, sin reemplazamiento.

a) Halla la probabilidad de que los dos sean de fresa.

b) Halla la probabilidad de que los dos sean del mismo sabor.

c) Si el primer caramelo se devolviera a la bolsa antes de sacar el segundo, ¿cuál sería la probabilidad de que los dos fueran de fresa?

d) Halla, sin reemplazamiento, la probabilidad de que el segundo caramelo sea de fresa.

Solución

Sean $F$ «fresa» y $L$ «limón». Sin devolver, en la segunda etapa quedan 7 caramelos.

a) Se multiplica a lo largo del camino $F F$ : $P (F F) = \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{7} = \frac{6}{56} = \frac{3}{28}$

b) «Mismo sabor» son los caminos $F F$ y $LL$ , que se suman: $P (LL) = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14} P (mismo sabor) = \frac{3}{28} + \frac{10}{28} = \frac{13}{28}$

c) Con reemplazamiento las probabilidades se repiten: $P (F F) = \frac{3}{8} \cdot \frac{3}{8} = \frac{9}{64}$

d) Hay dos caminos que terminan en «segundo de fresa»: $F F$ y $L F$ . $P = \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{7} + \frac{5}{8} \cdot \frac{3}{7} = \frac{6}{56} + \frac{15}{56} = \frac{21}{56} = \frac{3}{8}$ Es la misma probabilidad que la del primero: sin información sobre la primera extracción, no hay motivo para que el segundo sea distinto.

Resultado: a) $\frac{3}{28}$ ; b) $\frac{13}{28}$ ; c) $\frac{9}{64}$ ; d) $\frac{3}{8}$ .

Ejemplo 2 Medio

Cómo llegan al instituto

En un instituto, el 40 % del alumnado va en autobús, el 35 % a pie y el resto en bicicleta. Llegan tarde el 10 % de quienes van en autobús, el 4 % de quienes van a pie y el 2 % de quienes van en bicicleta. Se elige un alumno al azar.

a) Halla la probabilidad de que llegue tarde.

b) Sabiendo que ha llegado tarde, halla la probabilidad de que haya ido en autobús.

c) Sabiendo que no ha llegado tarde, halla la probabilidad de que haya ido en bicicleta.

Solución

Sean $B$ «autobús», $P$ «a pie», $C$ «bicicleta» y $T$ «llega tarde». Los datos son $P (B) = \frac{2}{5}$ , $P (P) = \frac{7}{20}$ y $P (C) = 1 - \frac{2}{5} - \frac{7}{20} = \frac{1}{4}$ . En la segunda etapa: $P (T ∣ B) = \frac{1}{10}$ , $P (T ∣ P) = \frac{1}{25}$ y $P (T ∣ C) = \frac{1}{50}$ .

a) Hay tres caminos que terminan en $T$ , que se suman (probabilidad total): $P (T) = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{10} + \frac{7}{20} \cdot \frac{1}{25} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{50} = \frac{40}{1000} + \frac{14}{1000} + \frac{5}{1000} = \frac{59}{1000}$

b) Entre los casos que terminan en $T$ (denominador $\frac{59}{1000}$ ), el camino del autobús vale $\frac{40}{1000}$ : $P (B ∣ T) = \frac{P ( B \cap T )}{P ( T )} = \frac{40/1000}{59/1000} = \frac{40}{59}$

c) Ahora los casos posibles son los que terminan en $T^{'}$ , con $P (T^{'}) = 1 - \frac{59}{1000} = \frac{941}{1000}$ . El camino «bicicleta y no tarde» vale $P (C \cap T^{'}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{49}{50} = \frac{49}{200} = \frac{245}{1000}$ y entonces $P (C ∣ T^{'}) = \frac{245/1000}{941/1000} = \frac{245}{941}$

Resultado: a) $\frac{59}{1000}$ ; b) $\frac{40}{59}$ ; c) $\frac{245}{941}$ .

Ejemplo 3 Difícil

Una prueba médica repetida

Una enfermedad afecta al 2 % de la población. Una prueba da positivo en el 95 % de las personas enfermas y, por error, en el 10 % de las sanas. Se elige una persona al azar y se le hace la prueba.

a) Halla la probabilidad de que la prueba dé positivo.

b) Sabiendo que ha dado positivo, halla la probabilidad de que la persona esté enferma.

c) Se repite la prueba a la misma persona y vuelve a dar positivo. Suponiendo que, conocido el estado de la persona (enferma o sana), los dos resultados son independientes, halla la probabilidad de que esté enferma.

d) Sabiendo que la primera prueba ha dado negativo, halla la probabilidad de que la persona esté sana.

Solución

Sean $E$ «enferma» y $+$ «prueba positiva». Datos: $P (E) = \frac{1}{50}$ , $P (+ ∣ E) = \frac{19}{20}$ y $P (+ ∣ E^{'}) = \frac{1}{10}$ . Las ramas que faltan: $P (E^{'}) = \frac{49}{50}$ , $P (- ∣ E) = \frac{1}{20}$ y $P (- ∣ E^{'}) = \frac{9}{10}$ .

Diagrama de árbol de dos etapas de una prueba diagnóstica: E (enferma) con 1/50 y E′ (sana) con 49/50; desde E, + con 19/20 y − con 1/20; desde E′, + con 1/10 y − con 9/10; a la derecha, E y + = 19/1000, E y − = 1/1000, E′ y + = 49/500 y E′ y − = 441/500

a) Dos caminos terminan en positivo: $P (+) = \frac{1}{50} \cdot \frac{19}{20} + \frac{49}{50} \cdot \frac{1}{10} = \frac{19}{1000} + \frac{98}{1000} = \frac{117}{1000}$

b) Teorema de Bayes (o cociente de caminos): $P (E ∣ +) = \frac{19/1000}{117/1000} = \frac{19}{117} \approx 0, 162$ Aunque la prueba detecta al 95 % de los enfermos, solo el 16,2 % de los positivos están enfermos: la enfermedad es tan poco frecuente que los falsos positivos de la gran mayoría sana pesan más.

c) Con independencia dentro de cada estado, la probabilidad de dos positivos seguidos en un enfermo es $(\frac{19}{20})^{2} = \frac{361}{400}$ , y en un sano $(\frac{1}{10})^{2} = \frac{1}{100}$ . Los caminos que terminan en «dos positivos» valen $P (E \cap + +) = \frac{1}{50} \cdot \frac{361}{400} = \frac{361}{20000} P (E^{'} \cap + +) = \frac{49}{50} \cdot \frac{1}{100} = \frac{196}{20000}$ y entonces $P (E ∣ + +) = \frac{361/20000}{( 361 + 196 ) /20000} = \frac{361}{557} \approx 0, 648$ Un segundo positivo eleva la probabilidad del 16,2 % al 64,8 %.

d) Los casos posibles son los que terminan en negativo: $P (-) = 1 - \frac{117}{1000} = \frac{883}{1000}$ . El camino «sana y negativo» vale $\frac{49}{50} \cdot \frac{9}{10} = \frac{441}{500} = \frac{882}{1000}$ . Por tanto $P (E^{'} ∣ -) = \frac{882/1000}{883/1000} = \frac{882}{883} \approx 0, 999$

En el examen: puntúa dejar el árbol (o los productos de las ramas) y mostrar el cociente con numerador y denominador por separado. El fallo clásico es responder en b) con $\frac{19}{20}$ , que es $P (+ ∣ E)$ , la probabilidad al revés. En c) hay que justificar por qué se multiplican las probabilidades de las dos pruebas dentro de cada rama; sin ese paso no se puede continuar.

Errores típicos

Resumen

Un árbol se lee de izquierda a derecha: en la primera etapa van probabilidades normales y en las siguientes, probabilidades condicionadas. Las ramas de un mismo nodo suman 1.
Multiplicar a lo largo de un camino da la probabilidad del camino completo: $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)$ .
Sumar los caminos que cumplen un suceso da su probabilidad (probabilidad total): $P (A) = P (B) P (A ∣ B) + P (B^{'}) P (A ∣ B^{'})$ .
Con reemplazamiento las probabilidades se repiten en cada etapa; sin reemplazamiento se recalculan según lo ya extraído.
Teorema de Bayes (NS): $P (B ∣ A) = \frac{P ( B ) P ( A ∣ B )}{P ( B ) P ( A ∣ B ) + P ( B ^{'} ) P ( A ∣ B ^{'} )}$ , que figura en el cuadernillo del IB.
Leído del árbol: $P (B ∣ A) = \frac{camino B y A}{suma de los caminos que terminan en A}$ .
Comprueba siempre que las ramas de cada nodo suman 1 y que los caminos completos suman 1. En el examen, escribe los productos de las ramas y el cociente con numerador y denominador.

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