IB Análisis y Enfoques NS · Probabilidad · Apartado 1 de 5

Combinatoria y principio fundamental de contar

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

La combinatoria es el arte de contar sin listar. Antes de calcular probabilidades con la regla de Laplace necesitas saber cuántos casos hay, y casi siempre son demasiados para escribirlos. Todo se reduce a dos preguntas: ¿importa el orden? y ¿se pueden repetir elementos? La respuesta te dice qué fórmula usar.

El principio fundamental de contar

Si una tarea se hace en varias etapas seguidas y cada etapa se puede resolver de varias maneras sin que unas dependan de las otras en cuanto al número de opciones, el total se obtiene multiplicando.

Imagina que montas un bocadillo eligiendo 1 de 3 panes, 1 de 4 rellenos y 1 de 2 salsas. Cada pan se combina con cada relleno y cada relleno con cada salsa, así que hay $3 \cdot 4 \cdot 2 = 24$ bocadillos posibles. Cuando las opciones son alternativas (o haces una cosa, o haces otra, sin hacer las dos) se suma; cuando son etapas sucesivas (haces una cosa y luego otra) se multiplica.

El factorial

Para ordenar $n$ objetos distintos en fila, hay $n$ opciones para el primero, $n - 1$ para el segundo, y así hasta $1$ para el último. Ese producto se escribe con el factorial:

Así, $5! = 120$ y $\frac{8 !}{6 !} = 8 \cdot 7 = 56$ : al dividir se simplifica casi todo, y es lo que debes hacer en la Prueba 1.

Las cuatro situaciones

Se parte de $n$ elementos distintos y se forman agrupaciones de $r$ de ellos. Según dos preguntas hay cuatro casos:

	Importa el orden	No importa el orden
Sin repetición	Variaciones: $^{n} P_{r} = \frac{n !}{( n - r )!}$	Combinaciones: $(r n) = \frac{n !}{r ! ( n - r )!}$
Con repetición	Variaciones con repetición: $n^{r}$	Combinaciones con repetición: $(r n + r - 1)$

La relación entre ambas explica la fórmula. Cada grupo de $r$ elementos se puede ordenar de $r!$ maneras, así que las variaciones cuentan cada grupo $r!$ veces: $^{n} P_{r} = r! \cdot (r n) ⟹ (r n) = \frac{^{n} P _{r}}{r !}$

Si se ordenan todos los elementos ( $r = n$ ) se habla de permutaciones, y hay $n!$ .

Con repetición

Si cada elección vuelve a tener las $n$ opciones (un código de dígitos, una clave de letras, tirar un dado varias veces), en cada etapa hay $n$ posibilidades y el principio del producto da $n^{r}$ .

Las combinaciones con repetición, $(r n + r - 1)$ , cuentan grupos de $r$ elementos que pueden repetirse y donde no importa el orden (por ejemplo, formas de elegir 5 bolas de helado entre 3 sabores). Aparecen poco; lo que conviene dominar es la elección entre los otros tres casos.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Reconocer el tipo de agrupación

Calcula en cada caso de cuántas formas se puede hacer.

a) Ocho corredores terminan una carrera sin empates. Se reparten oro, plata y bronce.

b) De esos mismos ocho corredores, se eligen tres para formar un relevo en el que no se distingue el orden.

c) Se crea un PIN de 4 cifras, y cada cifra puede ser cualquiera de las diez, repetida o no.

d) Cinco libros distintos se colocan en fila en una estantería.

Solución

a) Importa el orden (oro, plata y bronce son distintos) y no se repite nadie: $n = 8$ , $r = 3$ . $^{8} P_{3} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$

b) Ahora no importa el orden: $n = 8$ , $r = 3$ . $(3 8) = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$ (Comprobación: $336/3! = 56$ .)

c) Con repetición y con orden, cada una de las 4 cifras tiene 10 opciones: $1 0^{4} = 10000$ .

d) Se ordenan los 5 libros: $5! = 120$ .

Resultado: a) 336; b) 56; c) 10000; d) 120.

Ejemplo 2 Medio

Un comité con condiciones

Una asociación tiene 7 hombres y 5 mujeres. Se elige al azar un comité de 4 personas (no se distinguen cargos).

a) ¿Cuántos comités distintos se pueden formar?

b) ¿Cuántos tienen exactamente 2 mujeres?

c) ¿Cuántos tienen al menos una mujer?

d) Si en lugar de un comité se eligen un presidente y un secretario, personas distintas, entre las 12, ¿de cuántas formas se puede hacer?

Solución

a) Se eligen 4 de 12 sin orden: $(4 12) = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 !} = 495$

b) Etapa 1: elegir 2 mujeres de 5, $(2 5) = 10$ . Etapa 2: elegir 2 hombres de 7, $(2 7) = 21$ . Por el principio del producto: $(2 5) (2 7) = 10 \cdot 21 = 210$

c) «Al menos una mujer» es lo contrario de «ninguna mujer», es decir, los 4 son hombres: $(4 7) = 35$ . Entonces $495 - 35 = 460$

d) Ahora importa el orden (presidente y secretario son cargos distintos) y no se repite: $^{12} P_{2} = 12 \cdot 11 = 132$ .

Resultado: a) 495; b) 210; c) 460; d) 132.

Ejemplo 3 Difícil

Condiciones sobre dos personas y una ecuación

Siete amigos, entre ellos Ana y Beto, van a hacerse una foto.

a) ¿De cuántas formas se pueden colocar en fila los siete?

b) ¿En cuántas de ellas Ana y Beto quedan juntos?

c) ¿En cuántas no quedan juntos?

d) Para un viaje se elige un grupo de 4 de los siete amigos. ¿Cuántos grupos incluyen a Ana pero no a Beto?

e) Un torneo tiene $n$ equipos y se juega un partido entre cada pareja de equipos (una sola vez). Se juegan 45 partidos. Halla $n$ .

Solución

a) Se ordenan todos: $7! = 5040$ .

b) Se trata a Ana y Beto como un bloque. Con el bloque y los otros 5 amigos hay 6 «objetos» que se ordenan de $6! = 720$ formas. Dentro del bloque, Ana y Beto se pueden intercambiar de $2! = 2$ formas: $2 \cdot 6! = 1440$

c) Se resta del total los casos en que están juntos: $5040 - 1440 = 3600$

d) Ana entra y Beto no. Quedan por elegir 3 plazas entre los otros $7 - 2 = 5$ amigos, sin orden: $(3 5) = 10$

e) Cada partido es una pareja de equipos, y el orden no importa, así que el número de partidos es $(2 n)$ : $\frac{n ( n - 1 )}{2} = 45 ⟹ n^{2} - n - 90 = 0 ⟹ (n - 10) (n + 9) = 0$ Como $n$ es positivo, $n = 10$ .

En el examen: indica siempre qué estás contando (por ejemplo «bloque de 2 personas, $6!$ órdenes, por $2!$ dentro del bloque»). Un resultado numérico sin esa justificación puede perder el punto de método si falla un cálculo. En los problemas con «no juntos» o «al menos uno», comprueba que usas el contrario: total menos casos desfavorables.

Errores típicos

Resumen

Principio del producto: etapas sucesivas se multiplican; casos alternativos se suman.
$n! = n (n - 1) \dots 1$ y $0! = 1$ . Ordenar $n$ objetos distintos: $n!$ formas.
Con orden y sin repetición: $^{n} P_{r} = \frac{n !}{( n - r )!}$ . Sin orden y sin repetición: $(r n) = \frac{n !}{r ! ( n - r )!}$ . Con repetición y con orden: $n^{r}$ .
$^{n} P_{r} = r! (r n)$ y $(r n) = (n - r n)$ ; además $(2 n) = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ .
Para decidir: ¿importa el orden? ¿se repiten elementos? Para «al menos uno» o «no juntos», cuenta el total menos el caso contrario.
En la Prueba 2, la CPG calcula $^{n} P_{r}$ y $(r n)$ ; escribe igualmente la fórmula con sus valores.

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