IB Aplicaciones e Interpretación NM · Variable aleatoria discreta y distribución binomial · Apartado 1 de 3

Variable aleatoria discreta y distribución de probabilidad

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Una variable aleatoria discreta pone un número a cada resultado de un experimento del azar (caras obtenidas, puntos de un dado, euros ganados). Su distribución de probabilidad es la tabla que dice con qué probabilidad sale cada valor. En el examen del IB aparece casi siempre así: te dan una tabla con un valor desconocido, te piden calcularlo imponiendo que la suma sea 1, y luego te piden probabilidades. Es la base de la esperanza y de la binomial.

Variable aleatoria

Un experimento aleatorio tiene resultados que no siempre son números (cara o cruz, bola roja o negra). Para trabajar con ellos matemáticamente se les asigna un número, y esa regla es la variable aleatoria.

La expresión $P (X = x)$ se lee «probabilidad de que la variable $X$ valga $x$ ». Antes de calcular nada, escribe con palabras qué cuenta $X$ y qué valores puede tomar: es la primera cosa que se puntúa.

Distribución de probabilidad

Definición · Distribución de probabilidad

La distribución de probabilidad de $X$ es la lista de todos sus valores posibles con la probabilidad de cada uno, normalmente en una tabla:

$x$	$x_{1}$	$x_{2}$	$\dots$	$x_{n}$
$P (X = x)$	$P (X = x_{1})$	$P (X = x_{2})$	$\dots$	$P (X = x_{n})$

Para que una tabla sea una distribución válida se necesitan dos condiciones.

Esta condición es la herramienta más útil del apartado. Si en la tabla aparece una incógnita ( $k$ , $a$ ...), se escribe la suma igual a 1 y se despeja. Después hay que comprobar que todas las probabilidades resultantes están entre 0 y 1: si una sale negativa, esa solución no vale.

Calcular probabilidades con la tabla

Como los valores de $X$ son sucesos que no pueden darse a la vez, la probabilidad de un conjunto de valores es la suma de las probabilidades de cada uno:

$P (X \geq x_{k}) = P (X = x_{k}) + P (X = x_{k + 1}) + \dots + P (X = x_{n})$

Los signos de desigualdad hay que leerlos con cuidado, porque en una variable discreta importa si se incluye el extremo: $P (X \geq 3)$ incluye el 3, $P (X > 3)$ no lo incluye, y para valores enteros $P (X > 3) = P (X \geq 4)$ .

También sirve el suceso contrario: $P (X \geq 3) = 1 - P (X \leq 2)$ . Es más corto cuando la tabla tiene muchos valores y solo unos pocos no cumplen la condición pedida.

Diagrama de barras de una variable aleatoria discreta con valores de 0 a 5 y probabilidades 1/6, 5/18, 2/9, 1/6, 1/9 y 1/18; las barras de 3, 4 y 5 están resaltadas con una llave que indica que P(X ≥ 3) es la suma de esas tres barras

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Una tabla con una incógnita

Una variable aleatoria discreta $X$ toma los valores $1, 2, 3$ y $4$ , y su distribución de probabilidad es $P (X = x) = k x$ .

a) Calcula el valor de $k$ .

b) Calcula $P (X \geq 3)$ .

c) Calcula $P (X < 3)$ .

Solución

a) Las probabilidades son $k, 2 k, 3 k, 4 k$ . Como suman 1: $k + 2 k + 3 k + 4 k = 1 \Rightarrow 10 k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{10}$ La tabla queda:

$x$	1	2	3	4
$P (X = x)$	$0, 1$	$0, 2$	$0, 3$	$0, 4$

b) $P (X \geq 3) = P (X = 3) + P (X = 4) = 0, 3 + 0, 4 = 0, 7$ .

c) $P (X < 3) = P (X = 1) + P (X = 2) = 0, 1 + 0, 2 = 0, 3$ . Comprobación: $P (X < 3) = 1 - P (X \geq 3) = 1 - 0, 7 = 0, 3$ .

Ejemplo 2 Medio

La diferencia entre dos dados

Se lanzan dos veces un dado equilibrado de seis caras (numeradas del 1 al 6) y se define la variable $X$ como el valor absoluto de la diferencia entre los dos resultados.

a) Construye la distribución de probabilidad de $X$ .

b) Calcula $P (X \geq 3)$ .

c) Calcula $P (1 \leq X \leq 3)$ .

Solución

a) La diferencia puede valer $0, 1, 2, 3, 4$ o $5$ . Hay $36$ resultados equiprobables, que se cuentan en una tabla de doble entrada:

$X = 0$ : los dos dados iguales, $6$ casos.
$X = 1$ : parejas como $(1, 2)$ o $(2, 1)$ . Hay $5$ pares de números consecutivos y cada uno se puede dar en dos órdenes: $10$ casos.
$X = 2$ : $4$ pares ( $1$ - $3$ , $2$ - $4$ , $3$ - $5$ , $4$ - $6$ ) en dos órdenes: $8$ casos.
$X = 3$ : $3$ pares en dos órdenes: $6$ casos.
$X = 4$ : $2$ pares en dos órdenes: $4$ casos.
$X = 5$ : el par $1$ - $6$ en dos órdenes: $2$ casos.

$x$	0	1	2	3	4	5
$P (X = x)$	$\frac{6}{36}$	$\frac{10}{36}$	$\frac{8}{36}$	$\frac{6}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{2}{36}$

Simplificando: $\frac{1}{6}, \frac{5}{18}, \frac{2}{9}, \frac{1}{6}, \frac{1}{9}, \frac{1}{18}$ . Comprobación: $6 + 10 + 8 + 6 + 4 + 2 = 36$ , luego suman 1.

b) $P (X \geq 3) = \frac{6 + 4 + 2}{36} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$ .

c) $P (1 \leq X \leq 3) = \frac{10 + 8 + 6}{36} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}$ .

Ejemplo 3 Difícil

Averías de una máquina

En una fábrica, el número de averías $X$ que sufre una máquina en una semana toma los valores $0, 1, 2$ y $3$ , con la siguiente distribución de probabilidad, donde $k > 0$ :

$x$	0	1	2	3
$P (X = x)$	$0, 2$	$3 k$	$k^{2}$	$0, 3$

a) Halla el valor de $k$ .

b) Calcula la probabilidad de que en una semana haya como máximo una avería.

c) Sabiendo que en una semana ha habido alguna avería, calcula la probabilidad de que haya habido exactamente una.

d) Las semanas son independientes. Calcula la probabilidad de que en dos semanas seguidas no haya ninguna avería.

Solución

a) La suma de las probabilidades debe ser 1: $0, 2 + 3 k + k^{2} + 0, 3 = 1 \Rightarrow k^{2} + 3 k - 0, 5 = 0$ Con la fórmula de la ecuación de segundo grado (o con el solucionador de ecuaciones de la CPG): $k = \frac{- 3 \pm 9 + 2}{2} = \frac{- 3 \pm 11}{2}$ Esto da $k = 0, 158$ o $k = - 3, 16$ . Una probabilidad no puede ser negativa ( $3 k < 0$ ), así que se descarta la segunda y $k = \frac{- 3 + 11}{2} = 0, 158$ Comprobación: $3 k = 0, 475$ y $k^{2} = 0, 0251$ , ambas entre 0 y 1, y $0, 2 + 0, 475 + 0, 0251 + 0, 3 = 1$ .

b) «Como máximo una avería» es $X \leq 1$ : $P (X \leq 1) = P (X = 0) + P (X = 1) = 0, 2 + 3 k = 0, 2 + 0, 475 = 0, 675$

c) Es una probabilidad condicionada: $P (X = 1 ∣ X \geq 1)$ . El suceso $X \geq 1$ es el contrario de $X = 0$ , así que $P (X \geq 1) = 1 - 0, 2 = 0, 8$ . Como $X = 1$ está contenido en $X \geq 1$ : $P (X = 1 ∣ X \geq 1) = \frac{P ( X = 1 )}{P ( X \geq 1 )} = \frac{0 , 475}{0 , 8} = 0, 594$

d) Por independencia, se multiplican las probabilidades de cada semana: $P (sin aver ı ˊ as dos semanas) = 0, 2 \cdot 0, 2 = 0, 04$

En el examen: en el apartado a) se puntúa escribir la ecuación «suma $= 1$ » y justificar por qué se descarta la raíz negativa; si das las dos raíces sin descartar ninguna, pierdes el último punto. Guarda $k$ sin redondear en la calculadora para los apartados siguientes y da las respuestas con 3 cifras significativas.

Errores típicos

Resumen

Una variable aleatoria discreta asigna un número a cada resultado del azar y solo toma valores sueltos que se pueden listar. Se escribe con mayúscula ( $X$ ) y sus valores con minúscula ( $x$ ).
La distribución de probabilidad es la tabla con $P (X = x)$ para cada valor. Cumple $0 \leq P (X = x) \leq 1$ y $\sum P (X = x) = 1$ .
Si la tabla tiene una incógnita, se plantea «suma $= 1$ », se despeja y se descartan las soluciones que dan probabilidades fuera de $[0, 1]$ .
La probabilidad de varios valores es la suma de sus probabilidades; el suceso contrario ( $1 - \dots$ ) suele ahorrar cuentas.
Cuidado con los extremos: «al menos» es $\geq$ , «más de» es $>$ , «como máximo» es $\leq$ , «menos de» es $<$ .

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