IB Aplicaciones e Interpretación NM · Variable aleatoria discreta y distribución binomial · Apartado 2 de 3

Esperanza, varianza y desviación típica de una variable discreta

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

La esperanza $E (X)$ es el valor medio que esperas obtener de una variable aleatoria si repites el experimento muchísimas veces. La varianza y la desviación típica miden cuánto se alejan los resultados de ese valor medio. Con ellas se decide si un juego conviene, se calcula el beneficio medio de un negocio o se compara el riesgo de dos opciones. En el examen del IB se piden casi siempre a partir de una tabla de probabilidades, y la CPG las calcula en segundos.

Esperanza: el valor medio a largo plazo

Una variable aleatoria discreta $X$ toma valores $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ con probabilidades $P (X = x_{i})$ que suman 1. Si lanzas el experimento muchas veces, cada valor aparece con una frecuencia relativa cercana a su probabilidad. Por eso la media de los resultados se parece cada vez más a una media ponderada de los valores, donde los pesos son las probabilidades.

Un ejemplo cercano: si $X$ es el número que sale al lanzar un dado equilibrado, $E (X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + \dots + 6 \cdot \frac{1}{6} = 3, 5$ . El valor esperado no tiene por qué ser un valor posible de la variable: nunca saldrá un 3,5, pero es el promedio a largo plazo.

Varianza y desviación típica

La esperanza dice dónde está el centro, pero no si los resultados se concentran a su alrededor o se reparten mucho. Para eso se mide la distancia media (al cuadrado) a $μ$ .

Existe una forma de calcular la varianza que suele ahorrar trabajo, porque evita restar $μ$ en cada término:

Transformaciones lineales

Muchas veces la variable que importa se obtiene de otra con una regla del tipo $Y = a X + b$ : el coste total es una cuota fija más un precio por unidad, o la ganancia neta es el premio menos el precio de participar.

Juegos y ganancia esperada

Para decidir si un juego de azar conviene, se define la variable $G$ = ganancia neta del jugador (lo que recibe menos lo que paga) y se calcula $E (G)$ .

Con la calculadora

Nota · Esperanza y desviación típica con la CPG

En las dos pruebas del examen puedes usar la calculadora de pantalla gráfica (CPG). Introduce los valores $x_{i}$ en una lista y las probabilidades en otra, y pide las estadísticas de una variable usando la segunda lista como lista de frecuencias. La CPG devuelve la media $x ˉ$ , que es $E (X)$ , y dos desviaciones: la poblacional, $σ_{x}$ , y la muestral, $s_{x}$ . Para una variable aleatoria hay que usar la poblacional $σ_{x}$ , porque la tabla contiene toda la distribución. Si la CPG pide frecuencias enteras, introduce las probabilidades como fracciones o decimales exactos: lo importante es que las proporciones sean correctas. Para $Var (X)$ eleva al cuadrado la desviación típica sin redondear. En la Prueba 1, sin calculadora, hay que hacer las sumas a mano, así que conviene dominar la fórmula abreviada.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Llamadas al servicio técnico

Una academia recibe cada tarde un número $X$ de llamadas de familias interesadas. La distribución de probabilidad de $X$ es:

$x$	0	1	2	3
$P (X = x)$	$\frac{1}{10}$	$\frac{4}{10}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{2}{10}$

a) Calcula el número esperado de llamadas por tarde.

b) Calcula la varianza de $X$ .

c) Calcula la desviación típica de $X$ , con 3 cifras significativas.

Solución

Las probabilidades suman $\frac{1 + 4 + 3 + 2}{10} = 1$ , así que la tabla es válida.

a) Esperanza: $E (X) = 0 \cdot \frac{1}{10} + 1 \cdot \frac{4}{10} + 2 \cdot \frac{3}{10} + 3 \cdot \frac{2}{10} = \frac{0 + 4 + 6 + 6}{10} = \frac{16}{10} = \frac{8}{5} = 1, 6$ De media se reciben 1,6 llamadas por tarde.

b) Primero $E (X^{2})$ : $E (X^{2}) = 0 \cdot \frac{1}{10} + 1 \cdot \frac{4}{10} + 4 \cdot \frac{3}{10} + 9 \cdot \frac{2}{10} = \frac{0 + 4 + 12 + 18}{10} = \frac{34}{10} = 3, 4$ Y ahora: $Var (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2} = 3, 4 - 1, 6^{2} = 3, 4 - 2, 56 = 0, 84 = \frac{21}{25}$

c) $σ = 0, 84 = 0, 917$ llamadas.

Ejemplo 2 Medio

Averías de una máquina

El número de averías $X$ que sufre una máquina embaladora en una semana tiene esta distribución:

$x$	0	1	2	3
$P (X = x)$	0,1	$k$	0,3	$2 k$

Cada semana hay un coste fijo de mantenimiento de 30 euros, y cada avería cuesta además 50 euros de reparación. Sea $C$ el coste semanal total.

a) Halla el valor de $k$ .

b) Calcula $E (X)$ .

c) Calcula el coste semanal esperado, $E (C)$ .

d) Calcula la desviación típica del coste semanal.

Solución

a) Las probabilidades deben sumar 1: $0, 1 + k + 0, 3 + 2 k = 1 \Rightarrow 3 k = 0, 6 \Rightarrow k = 0, 2$ La distribución queda: $P (X = 0) = 0, 1$ , $P (X = 1) = 0, 2$ , $P (X = 2) = 0, 3$ , $P (X = 3) = 0, 4$ .

b) $E (X) = 0 \cdot 0, 1 + 1 \cdot 0, 2 + 2 \cdot 0, 3 + 3 \cdot 0, 4 = 0, 2 + 0, 6 + 1, 2 = 2$

c) El coste es $C = 30 + 50 X$ , una transformación lineal de $X$ : $E (C) = 30 + 50 E (X) = 30 + 50 \cdot 2 = 130 euros$

d) Primero la varianza de $X$ : $E (X^{2}) = 0 + 1 \cdot 0, 2 + 4 \cdot 0, 3 + 9 \cdot 0, 4 = 0, 2 + 1, 2 + 3, 6 = 5 Var (X) = 5 - 2^{2} = 1$ Como $Var (C) = 5 0^{2} Var (X) = 2500$ , la desviación típica es $σ_{C} = 2500 = 50 euros$ (El coste fijo de 30 euros no afecta a la dispersión.)

Ejemplo 3 Difícil

Un juego de bolas en una feria

En una caseta de feria hay una bolsa con 10 bolas: 1 dorada, 3 rojas y 6 azules. Para jugar se paga una cantidad $c$ de euros, se saca una bola al azar y se recibe un premio: 20 euros si es dorada, 4 euros si es roja y nada si es azul. Sea $G$ la ganancia neta del jugador (premio menos lo pagado).

a) Si el precio es $c = 3$ euros, escribe la distribución de $G$ y calcula $E (G)$ . ¿A quién favorece el juego?

b) Halla el precio $c$ para que el juego sea equitativo.

c) Calcula la desviación típica de $G$ cuando el juego es equitativo, con 3 cifras significativas.

d) El dueño de la caseta quiere ganar, de media, 1 euro por jugador. ¿Qué precio debe fijar?

Solución

a) Con $c = 3$ , las ganancias netas son $20 - 3 = 17$ , $4 - 3 = 1$ y $0 - 3 = - 3$ :

$g$	17	1	$- 3$
$P (G = g)$	0,1	0,3	0,6

Las probabilidades suman 1. Entonces: $E (G) = 17 \cdot 0, 1 + 1 \cdot 0, 3 + (- 3) \cdot 0, 6 = 1, 7 + 0, 3 - 1, 8 = 0, 2$ Como $E (G) = 0, 2 > 0$ , el juego favorece al jugador: de media gana 0,20 euros por partida.

b) Sea $P$ el premio. Su esperanza no depende de $c$ : $E (P) = 20 \cdot 0, 1 + 4 \cdot 0, 3 + 0 \cdot 0, 6 = 2 + 1, 2 = 3, 2$ Como $G = P - c$ , se tiene $E (G) = 3, 2 - c$ . El juego es equitativo cuando $E (G) = 0$ , es decir, $c = 3, 2$ euros.

c) Restar la constante $c$ no cambia la varianza, así que $Var (G) = Var (P)$ : $E (P^{2}) = 400 \cdot 0, 1 + 16 \cdot 0, 3 = 40 + 4, 8 = 44, 8 Var (P) = 44, 8 - 3, 2^{2} = 44, 8 - 10, 24 = 34, 56$ $σ_{G} = 34, 56 = 5, 88 euros$ Es una desviación grande en comparación con la media: en una partida concreta el resultado puede estar muy lejos de 0.

d) La ganancia del dueño es $- G$ . Quiere que su ganancia esperada sea 1: $c - 3, 2 = 1$ , luego $c = 4, 2$ euros.

En el examen: en un problema de juegos se puntúa definir bien la ganancia neta (restando lo pagado), escribir la tabla con probabilidades que suman 1, plantear $E (G) = \sum g P (G = g)$ con los números sustituidos y interpretar el signo con una frase («el juego favorece al jugador / al organizador»). No olvides las unidades y, si la CPG da $σ_{x}$ y $s_{x}$ , usa $σ_{x}$ .

Errores típicos

Resumen

Esperanza: $E (X) = \sum x_{i} P (X = x_{i})$ . Es el valor medio a largo plazo y puede no ser un valor posible de $X$ .
Varianza: $Var (X) = \sum (x_{i} - μ)^{2} P (X = x_{i}) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}$ , con $E (X^{2}) = \sum x_{i}^{2} P (X = x_{i})$ . Desviación típica: $σ = Var (X)$ .
Transformación lineal: $E (a X + b) = a E (X) + b$ y $Var (a X + b) = a^{2} Var (X)$ .
Juego equitativo: $E (G) = 0$ , con $G$ la ganancia neta. Si $E (G) > 0$ favorece al jugador y si $E (G) < 0$ , al organizador.
Con la CPG: valores en una lista, probabilidades como frecuencias; la media es $E (X)$ y la desviación que corresponde es la poblacional $σ_{x}$ .

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