IB Aplicaciones e Interpretación NM · Variable aleatoria discreta y distribución binomial · Apartado 3 de 3

La distribución binomial: probabilidades, media y varianza

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

La distribución binomial modela el número de éxitos en una serie de pruebas repetidas, como los aciertos de un tirador, los tornillos defectuosos de un lote o las respuestas correctas de un test hecho al azar. En el examen del IB casi siempre se resuelve con la calculadora de pantalla gráfica, pero hay que saber reconocer cuándo es binomial, identificar $n$ y $p$ , y traducir la pregunta a $P (X = k)$ , $P (X \leq k)$ o $P (X \geq k)$ .

Pruebas de Bernoulli

Un experimento de Bernoulli es una prueba con solo dos resultados posibles, que llamamos éxito y fracaso. Si la probabilidad de éxito es $p$ , la de fracaso es $1 - p$ . «Éxito» no significa algo bueno: es simplemente el resultado que estamos contando (por ejemplo, que una pieza sea defectuosa).

Lanzar una moneda y mirar si sale cara, o comprobar si un alumno elegido al azar lleva gafas, son pruebas de Bernoulli.

La distribución binomial

Las condiciones 3 y 4 son las que más se incumplen. Si sacas bolas de una urna sin devolverlas, la composición cambia en cada extracción: la probabilidad deja de ser constante y las pruebas dejan de ser independientes, así que no es binomial. Con devolución, sí lo es.

Por ejemplo, si lanzas 4 veces una moneda equilibrada, la probabilidad de obtener exactamente 1 cara es $(1 4) (\frac{1}{2})^{1} (\frac{1}{2})^{3} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$ . Los cuatro resultados «una cara y tres cruces» (CXXX, XCXX, XXCX, XXXC) tienen cada uno probabilidad $\frac{1}{16}$ .

Media y varianza

Estas fórmulas permiten también hacer el camino inverso: si el enunciado da la media y la varianza, se puede hallar $n$ y $p$ (ver el método más abajo).

Probabilidades acumuladas

Muchas preguntas no piden un valor concreto sino un rango («como máximo 3», «al menos 5», «entre 2 y 4»). La calculadora tiene dos funciones para la binomial: una da $P (X = k)$ (probabilidad puntual) y la otra da $P (X \leq k)$ (probabilidad acumulada). Con la segunda y el suceso contrario se resuelve todo.

Método · Traducir una pregunta de rango a la calculadora

Escribe $X \sim B (n, p)$ identificando bien qué es un éxito.
Traduce la pregunta a una desigualdad sobre $X$ y pásala a la forma « $\leq$ » usando que $X$ solo toma valores enteros:

Pregunta	Se calcula como
$P (X = k)$	función puntual con $x = k$
$P (X \leq k)$	función acumulada con $x = k$
$P (X < k)$	$P (X \leq k - 1)$
$P (X \geq k)$	$1 - P (X \leq k - 1)$
$P (X > k)$	$1 - P (X \leq k)$
$P (a \leq X \leq b)$	$P (X \leq b) - P (X \leq a - 1)$

Introduce en la calculadora $n$ , $p$ y el valor $k$ que corresponda, y lee el resultado.
Redondea a 3 cifras significativas, salvo que el enunciado indique otra cosa, y responde con una frase.

Hallar n o p

Si solo se conoce $p$ y se pide el menor $n$ que cumple una condición (por ejemplo, que la probabilidad de al menos un éxito supere un valor), se plantea una inecuación con el suceso contrario, $1 - (1 - p)^{n}$ , y se prueba con valores de $n$ en la calculadora o con logaritmos.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Tiros libres

Una jugadora de baloncesto encesta el 70 % de sus tiros libres, y cada tiro es independiente de los demás. Lanza 6 tiros libres. Sea $X$ el número de tiros que encesta.

a) Indica la distribución de $X$ y calcula la probabilidad de que enceste exactamente 4 tiros.

b) Calcula el número medio de tiros que se espera que enceste.

c) Calcula la desviación típica de $X$ .

d) Calcula la probabilidad de que enceste como máximo 3 tiros.

Solución

a) Hay $n = 6$ pruebas independientes con dos resultados y $p = 0, 7$ constante, luego $X \sim B (6; 0, 7)$ . $P (X = 4) = (4 6) 0, 7^{4} 0, 3^{2} = 15 \cdot 0, 2401 \cdot 0, 09 = 0, 324$

b) $E (X) = n p = 6 \cdot 0, 7 = 4, 2$ tiros.

c) $σ = n p (1 - p) = 6 \cdot 0, 7 \cdot 0, 3 = 1, 26 = 1, 12$ .

d) Con la función acumulada de la CPG, con $n = 6$ , $p = 0, 7$ y $k = 3$ : $P (X \leq 3) = 0, 256$

Ejemplo 2 Medio

Un test contestado al azar

Un test tiene 12 preguntas y cada una tiene 4 opciones, de las cuales solo una es correcta. Un alumno contesta todas al azar. Sea $X$ el número de respuestas correctas.

a) Justifica que $X$ es binomial e indica sus parámetros. Calcula la probabilidad de acertar exactamente 3 preguntas.

b) Calcula la probabilidad de acertar como máximo 2 preguntas.

c) Calcula la probabilidad de acertar al menos 5 preguntas.

d) Calcula la media y la desviación típica del número de aciertos.

Solución

a) Cada pregunta es una prueba con dos resultados (acierto o fallo), son independientes porque se contestan al azar, y la probabilidad de acierto es siempre $p = \frac{1}{4}$ . Hay $n = 12$ pruebas, luego $X \sim B (12; \frac{1}{4})$ . $P (X = 3) = (3 12) (\frac{1}{4})^{3} (\frac{3}{4})^{9} = 0, 258$

b) Con la función acumulada de la CPG ( $n = 12$ , $p = 0, 25$ , $k = 2$ ): $P (X \leq 2) = 0, 391$

c) «Al menos 5» es el suceso contrario de «como máximo 4»: $P (X \geq 5) = 1 - P (X \leq 4) = 1 - 0, 842 = 0, 158$

d) $E (X) = 12 \cdot \frac{1}{4} = 3$ y $σ = 12 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} = 2, 25 = 1, 5$ .

Es decir, al azar se esperan 3 aciertos de 12.

Ejemplo 3 Difícil

Hallar los parámetros de una binomial

En una planta de embotellado, el número $X$ de botellas con tapón defectuoso en una caja sigue una distribución binomial. Se sabe que, por caja, la media de $X$ es 12 y su varianza es 7,2.

a) Halla el número $n$ de botellas por caja y la probabilidad $p$ de que una botella tenga el tapón defectuoso.

b) Calcula la probabilidad de que una caja tenga exactamente 10 botellas defectuosas.

c) Calcula la probabilidad de que una caja tenga más de 12 botellas defectuosas.

d) Calcula la probabilidad de que el número de botellas defectuosas esté entre 10 y 14, ambos incluidos.

Solución

a) Se plantean las dos ecuaciones: $n p = 12 n p (1 - p) = 7, 2$ Dividiendo la segunda entre la primera: $1 - p = \frac{7 , 2}{12} = 0, 6$ , luego $p = 0, 4$ . Entonces $n = \frac{12}{0 , 4} = 30$ . Cumple $0 < p < 1$ y $n$ entero, así que $X \sim B (30; 0, 4)$ .

b) Con la función puntual de la CPG ( $n = 30$ , $p = 0, 4$ , $k = 10$ ): $P (X = 10) = 0, 115$

c) $P (X > 12) = 1 - P (X \leq 12)$ . Con la función acumulada, $P (X \leq 12) = 0, 578$ , luego $P (X > 12) = 1 - 0, 578 = 0, 422$

d) Como $X$ es entera, $10 \leq X \leq 14$ equivale a $X \leq 14$ menos $X \leq 9$ : $P (10 \leq X \leq 14) = P (X \leq 14) - P (X \leq 9) = 0, 648$

En el examen: puntúa escribir las dos ecuaciones y el cociente que da $p$ , y después indicar el modelo $X \sim B (30; 0, 4)$ antes de usar la calculadora. En el apartado d) el error habitual es restar $P (X \leq 10)$ en vez de $P (X \leq 9)$ , que deja fuera el valor 10. Usa los valores de la CPG sin redondear y redondea solo el resultado final.

Errores típicos

Resumen

$X \sim B (n, p)$ cuando se cuentan los éxitos en $n$ pruebas independientes, con dos resultados y probabilidad de éxito $p$ constante.
$P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ , para $k = 0, 1, \dots, n$ .
$E (X) = n p$ , $Var (X) = n p (1 - p)$ y $σ = n p (1 - p)$ .
La CPG da $P (X = k)$ (puntual) y $P (X \leq k)$ (acumulada). Para lo demás: $P (X < k) = P (X \leq k - 1)$ , $P (X \geq k) = 1 - P (X \leq k - 1)$ , $P (X > k) = 1 - P (X \leq k)$ y $P (a \leq X \leq b) = P (X \leq b) - P (X \leq a - 1)$ .
Para hallar $n$ y $p$ con la media y la varianza: $1 - p = σ^{2} / μ$ y $n = μ / p$ .
En el examen escribe el modelo $X \sim B (n, p)$ y la probabilidad que calculas, y redondea a 3 cifras significativas.

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