IB Análisis y Enfoques NS · Regresión y correlación · Apartado 3 de 3

Recta de regresión y predicciones

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

La recta de regresión es la recta que mejor resume una nube de puntos con tendencia lineal. Con ella se predice el valor de $y$ para un $x$ dado y se interpreta cómo cambia $y$ cuando $x$ aumenta. En el examen del IB la calculadora te da la recta; tú tienes que decir qué significa cada número, predecir y juzgar si la predicción merece confianza.

La recta que mejor se ajusta

Si los datos $(x_{1}, y_{1}), \dots, (x_{n}, y_{n})$ tienen una correlación lineal apreciable (el coeficiente $r$ de correlación lineal está lejos de $0$ ), tiene sentido sustituir la nube por una recta $y = a x + b$ y usarla para estimar.

Hay muchas rectas posibles, así que hace falta un criterio. Para cada punto se mide su residuo: la distancia vertical entre el valor observado $y_{i}$ y el valor que da la recta, $a x_{i} + b$ . Un residuo positivo indica un punto por encima de la recta y uno negativo, por debajo. Los residuos se elevan al cuadrado para que no se compensen unos con otros, y se busca la recta que hace mínima la suma de esos cuadrados.

Nube de puntos con su recta de regresión, que pasa por el punto de medias

Las líneas discontinuas de la figura señalan las coordenadas del punto de medias $(x ˉ, y ˉ)$ . La recta pasa justo por él, y los puntos quedan repartidos a un lado y a otro.

La segunda igualdad es la que hace que el punto de medias esté en la recta: al sustituir $x = x ˉ$ sale $y = a x ˉ + y ˉ - a x ˉ = y ˉ$ . En la práctica no se calculan $a$ ni $b$ con estas fórmulas, pero esta propiedad sirve para recuperar un dato que falte (por ejemplo, $y ˉ$ conocidas la recta y $x ˉ$ ).

Interpretar la pendiente y la ordenada

Los dos coeficientes tienen un significado concreto que se pide a menudo.

Por ejemplo, si la recta que relaciona los kilómetros recorridos con el desgaste de un neumático es $d = 0, 0004 k + 0, 3$ , entonces cada kilómetro adicional gasta de media $0, 0004$ mm de dibujo, y $0, 3$ sería el desgaste previsto antes de rodar, un valor sin sentido real porque está fuera del contexto.

Hacer predicciones

Para predecir se sustituye el valor de $x$ en la ecuación. Pero la calidad del resultado depende de dónde esté ese $x$ .

Además de $r$ , el sentido común cuenta: una recta puede predecir un porcentaje mayor que $100$ o un tiempo negativo, y entonces la predicción carece de sentido físico aunque el cálculo sea correcto.

Por qué no se despeja x de la recta de y sobre x

Hay una tentación habitual: tener la recta $y = a x + b$ y, para estimar $x$ a partir de un $y$ dado, despejar $x = \frac{y - b}{a}$ . No es correcto. La recta de $y$ sobre $x$ minimiza los errores en vertical, pensada para predecir $y$ . Para predecir $x$ hay que minimizar los errores en horizontal, y eso da otra recta, la de $x$ sobre $y$ , con su propia pendiente y su propia ordenada.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Interpretar y predecir con una recta dada

Una cafetería estudia la relación entre la temperatura exterior, $T$ (en °C), y el número de chocolates calientes que vende cada día, $N$ . A partir de sus datos obtiene la recta de regresión de $N$ sobre $T$ :

$N = - 3, 2 T + 128$

La temperatura media de los días registrados fue de $12$ °C.

a) Indica en cuántos chocolates cambia el número previsto por cada grado más de temperatura (con signo).

b) Predice las ventas de un día con $T = 8$ °C.

c) Calcula el número medio de chocolates vendidos en los días registrados.

Solución

a) La pendiente es $- 3, 2$ : por cada grado más, se prevé que se vendan $3, 2$ chocolates menos.

b) Se sustituye: $N = - 3, 2 \cdot 8 + 128 = 102, 4$ . Se prevén unos $102$ chocolates.

c) La recta pasa por el punto de medias, así que con $T ˉ = 12$ :

$N ˉ = - 3, 2 \cdot 12 + 128 = 89, 6$

Se vendieron de media unos $89, 6$ chocolates al día.

Ejemplo 2 Medio

Calcular la recta, predecir y valorar la fiabilidad

Seis estudiantes anotan las horas, $h$ , que dedicaron a preparar un examen y la nota obtenida, $n$ (sobre $100$ ):

$h$	2	3	5	6	8	9
$n$	46	57	60	71	76	85

a) Con la calculadora, halla la recta de regresión de $n$ sobre $h$ y el coeficiente de correlación $r$ . Da los tres valores con 3 cifras significativas.

b) Predice la nota de un estudiante que estudia $7$ horas.

c) Predice la nota de quien estudia $15$ horas y razona si el resultado es fiable.

Solución

a) Se introducen las dos listas en la CPG y se pide la regresión lineal. Resulta $n = 5, 05 h + 38, 0$ con $r = 0, 977$ . El valor de $r$ es muy cercano a $1$ : correlación positiva y fuerte, así que la recta es un buen resumen.

b) $7$ horas está entre $2$ y $9$ , dentro del rango de datos: es una interpolación y, con $r = 0, 977$ , fiable.

$n = 5, 053 \cdot 7 + 38, 04 \approx 73, 4$

(usando los valores sin redondear de la calculadora).

c) $n = 5, 053 \cdot 15 + 38, 04 \approx 114$ . No es fiable por dos motivos: $15$ horas está fuera del rango de los datos (es una extrapolación) y además da una nota mayor que $100$ , imposible en la escala del examen.

Ejemplo 3 Difícil

Predecir x a partir de y: la otra recta

Una web de compraventa recoge la antigüedad de siete coches de un mismo modelo, $t$ (en años), y su precio, $P$ (en miles de euros):

$t$	1	2	3	5	6	8	9
$P$	17,5	14,2	15,9	11,0	12,4	8,1	9,3

a) Halla con la CPG la recta de regresión de $P$ sobre $t$ . Da $a$ y $b$ con 3 cifras significativas.

b) Estima el precio de un coche de $4$ años.

c) Una persona quiere saber de qué antigüedad es un coche que cuesta $10$ mil euros. Despeja $t$ de la recta del apartado a) y compara con el valor que se obtiene con la recta de regresión de $t$ sobre $P$ . ¿Cuál es el válido?

Solución

a) Se introducen $t$ y $P$ en la CPG y se pide regresión lineal con $P$ como variable dependiente:

$P = - 1, 05 t + 17, 8$

con $r = - 0, 926$ (correlación negativa y fuerte: los coches más viejos cuestan menos).

b) $t = 4$ está dentro del rango de datos (de $1$ a $9$ ), luego es una interpolación fiable. Con los valores sin redondear de la calculadora, $P \approx 13, 5$ : unos $13500$ euros.

c) Si se despeja de la recta anterior:

$t = \frac{P - 17 , 75}{- 1 , 055} = \frac{10 - 17 , 75}{- 1 , 055} \approx 7, 35 a n ˜ os$

Pero esa recta minimiza los errores en $P$ , no en $t$ . La recta correcta se obtiene intercambiando las listas en la CPG (regresión de $t$ sobre $P$ ):

$t = - 0, 813 P + 15, 1$

y para $P = 10$ da $t \approx 6, 99$ años. Los dos valores difieren, porque $r \neq = \pm 1$ . El válido es $6, 99$ , el de la regresión de $t$ sobre $P$ , pues lo que se quiere predecir es $t$ .

En el examen: cuando te pidan estimar el valor de $x$ a partir de $y$ , di cuál es la variable dependiente y usa la recta de $x$ sobre $y$ . Despejar de la otra recta es un error que cuesta los puntos de la predicción.

Errores típicos

Resumen

La recta de regresión de $y$ sobre $x$ , $y = a x + b$ , minimiza la suma de los cuadrados de los residuos verticales; $a = \frac{s _{x y}}{s _{x}^{2}}$ y $b = y ˉ - a x ˉ$ .
Siempre pasa por el punto de medias $(x ˉ, y ˉ)$ , y el signo de $a$ es el de $r$ .
Con la CPG (Prueba 2) se obtienen $a$ , $b$ y $r$ ; escribe la recta con 3 cifras significativas y con el nombre de las variables.
Pendiente: cambio previsto de $y$ por cada unidad más de $x$ . Ordenada: valor previsto para $x = 0$ (solo si tiene sentido).
Interpolar (dentro del rango) con $∣ r ∣$ próximo a $1$ es fiable; extrapolar no lo es, y un resultado imposible en el contexto delata una mala predicción.
Para predecir $x$ a partir de $y$ se usa la recta de $x$ sobre $y$ , no se despeja de la de $y$ sobre $x$ .

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