Correlación lineal y coeficiente r de Pearson

Qué es correlacionar dos variables

En el apartado anterior representaste pares de datos $(x,y)$ en un diagrama de dispersión. Hay correlación cuando conocer el valor de una variable te da pistas sobre la otra, es decir, cuando los puntos siguen alguna tendencia. Si esa tendencia se parece a una recta, hablamos de correlación lineal; si la nube se curva (por ejemplo, sube rápido al principio y se aplana después), la relación puede ser fuerte pero no es lineal, y el coeficiente $r$ que veremos no es la herramienta adecuada.

Dos características describen una correlación lineal:

• El sentido (el signo): positiva si $y$ tiende a crecer cuando crece $x$; negativa si $y$ tiende a decrecer; nula si no se aprecia ninguna tendencia.
• La fuerza: cuanto más pegados están los puntos a una recta, más fuerte es; cuanto más dispersa la nube, más débil.

Un caso extremo es la relación exacta: todos los puntos sobre una misma recta. Entonces la correlación es perfecta.

La covarianza

Para convertir la intuición del dibujo en un número, se parte de cuánto se mueven juntas las dos variables respecto de sus medias $\bar{x}$ e $\bar{y}$.

Piensa en el signo de cada sumando. Un punto arriba y a la derecha del punto medio $(\bar{x},\bar{y})$, o abajo y a la izquierda, aporta un producto positivo. Un punto arriba a la izquierda o abajo a la derecha aporta uno negativo. Si predominan los primeros, $s_{xy}>0$ (tendencia creciente); si predominan los segundos, $s_{xy}<0$; si se compensan, $s_{xy}$ queda cerca de $0$.

El problema de la covarianza es que depende de las unidades: medir una de las variables en centímetros en vez de metros multiplica $s_{xy}$ por 100 sin que la relación haya cambiado. Por eso se divide entre las desviaciones típicas.

El coeficiente de correlación de Pearson

Como $s_x$ y $s_y$ son positivas, $r$ tiene el mismo signo que la covarianza. Y el cociente no cambia si cambias de unidades o si desplazas los datos (sumarles una constante), así que $r$ compara relaciones de cualquier tipo de magnitud.

Para poner nombre a la fuerza se usa una escala orientativa, que conviene saber de memoria:

Los cortes no son sagrados: $r=0,74$ y $r=0,76$ describen casi lo mismo. Lo que debes hacer en una respuesta es juntar sentido y fuerza: «correlación positiva fuerte», «correlación negativa débil». Y, si el enunciado lo pide, hacerlo en el contexto: «a más horas de entrenamiento, el tiempo en la prueba tiende a ser menor, con una relación fuerte».

Correlación no implica causalidad

Que dos variables estén fuertemente correlacionadas significa que varían a la vez, no que una produzca la otra. Hay tres explicaciones posibles cuando $|r|$ es grande:

• $x$ influye en $y$ (causa directa);
• $y$ influye en $x$ (o se influyen mutuamente);
• una tercera variable influye en las dos, o la coincidencia es casual.

Un ejemplo clásico: en verano suben a la vez las ventas de helados y los casos de quemaduras solares. Su correlación es positiva y fuerte, pero comer helado no quema la piel: ambas dependen de la temperatura y de las horas de sol. En el examen, la fórmula correcta es «existe una correlación…», nunca «$x$ provoca $y$» a partir de $r$ solamente.