IB Análisis y Enfoques NS · Regresión y correlación · Apartado 1 de 3

Distribuciones bidimensionales y diagramas de dispersión

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Cuando de cada individuo tienes dos datos, $(x, y)$ , el primer paso es dibujarlos como puntos en el plano y calcular su punto medio $(x ˉ, y ˉ)$ . La nube de puntos te dice a simple vista si las dos variables parecen relacionadas. En el examen del IB se pide dibujarla o leerla, hallar el punto medio y las desviaciones típicas, casi siempre con la calculadora de pantalla gráfica (CPG) en la Prueba 2.

Datos por parejas

En el tema anterior cada individuo aportaba un valor. Ahora cada individuo aporta dos: las horas de estudio y la nota, la altura y el peso, el precio de un producto y las unidades vendidas. Se habla de una distribución bidimensional, y cada observación es una pareja $(x_{i}, y_{i})$ .

Los datos suelen darse en una tabla con una fila por individuo:

Alumno	Horas de estudio $x$	Nota $y$
1	1	2
2	2	4
3	2	3
4	3	5

Si se repite una misma pareja, la tabla puede llevar una tercera columna con la frecuencia $f_{i}$ (cuántos individuos tienen esa pareja). Entonces el total de individuos es $N = \sum f_{i}$ .

Conviene elegir quién es $x$ y quién es $y$ . Se llama variable independiente a la que se usa para explicar o predecir (va en el eje horizontal) y variable dependiente a la que se quiere explicar (va en el eje vertical). Por ejemplo, las horas de estudio explican la nota, y no al revés.

El diagrama de dispersión

Diagrama de dispersión de las horas de estudio por semana y la nota de 8 alumnos, con los puntos subiendo de izquierda a derecha y el punto medio marcado en naranja

En la figura, los ocho alumnos (los cuatro de la tabla y otros cuatro) tienden a sacar mejor nota cuanto más estudian: la nube sube hacia la derecha. Esa lectura es cualitativa; en el apartado siguiente la medirás con un número.

Qué fijarte al leer una nube:

Dirección: si sube, a más $x$ suele corresponder más $y$ ; si baja, al revés.
Dispersión: cuanto más estrecha es la banda de puntos, más clara es la relación.
Puntos atípicos: un punto muy alejado del resto conviene señalarlo, porque tira de todos los cálculos que vienen después.

El punto medio

Es el punto donde la nube «se equilibra»: si cada punto pesara lo mismo, ese sería su centro. No tiene por qué ser uno de los datos. Más adelante verás que la recta de regresión siempre pasa por él, así que es el punto de apoyo de las predicciones.

Medias y desviaciones típicas de cada variable

Cada variable, por separado, se describe con su media y su desviación típica, igual que en el tema 12:

La segunda forma de cada fórmula (media de los cuadrados menos cuadrado de la media) es la más cómoda a mano, porque solo necesitas las sumas $\sum f_{i} x_{i}$ , $\sum f_{i} x_{i}^{2}$ , $\sum f_{i} y_{i}$ y $\sum f_{i} y_{i}^{2}$ . Una tabla de cálculo con una columna por suma lo organiza bien.

Estos parámetros se usan después para interpretar la correlación: una variable con $σ$ pequeña casi no cambia, así que difícilmente explicará nada.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Punto medio de kilómetros y minutos

Una ciclista anota los kilómetros recorridos, $x$ , y los minutos que ha tardado, $y$ , en seis salidas:

$x$ (km)	2	4	6	8	10	12
$y$ (min)	9	11	12	16	17	19

a) Halla el punto medio $(x ˉ, y ˉ)$ .

b) ¿Coincide con alguna de las seis salidas?

Solución

a) Las sumas son $\sum x = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = 42$ y $\sum y = 9 + 11 + 12 + 16 + 17 + 19 = 84$ . Con $n = 6$ :

$x ˉ = \frac{42}{6} = 7, y ˉ = \frac{84}{6} = 14$

El punto medio es $(7, 14)$ .

b) No hay ninguna salida con $x = 7$ , así que el punto medio no es uno de los datos. Está dentro de la nube, a la altura de la mitad de la serie.

Ejemplo 2 Medio

Parámetros con una tabla de frecuencias

En un taller de piano se anota, para diez alumnos, las horas de práctica semanales $x$ y el número de piezas aprendidas en el trimestre $y$ :

$x$ (horas)	$y$ (piezas)	Alumnos $f$
1	3	2
3	4	3
5	8	3
7	9	2

a) Halla el número total de alumnos.

b) Halla el punto medio.

c) Halla las desviaciones típicas $σ_{x}$ y $σ_{y}$ .

Solución

a) $N = 2 + 3 + 3 + 2 = 10$ .

b) Se calculan las sumas con frecuencias:

$\sum f x = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 2 \cdot 7 = 40, \sum f y = 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 3 \cdot 8 + 2 \cdot 9 = 60$

Entonces $x ˉ = \frac{40}{10} = 4$ y $y ˉ = \frac{60}{10} = 6$ . El punto medio es $(4, 6)$ .

c) Se necesitan las sumas de cuadrados:

$\sum f x^{2} = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 9 + 3 \cdot 25 + 2 \cdot 49 = 202, \sum f y^{2} = 2 \cdot 9 + 3 \cdot 16 + 3 \cdot 64 + 2 \cdot 81 = 420$

Las varianzas son

$σ_{x}^{2} = \frac{202}{10} - 4^{2} = 4, 2, σ_{y}^{2} = \frac{420}{10} - 6^{2} = 6$

y por tanto

$σ_{x} = 4, 2 = \frac{105}{5} \approx 2, 05, σ_{y} = 6 \approx 2, 45$

Con la CPG, introduciendo $x$ , $y$ y las frecuencias en tres listas, se obtienen los mismos valores (lee $σ$ , no $s$ ).

Ejemplo 3 Difícil

Datos que faltan y un punto que se añade

Cinco comerciales de una empresa registran los anuncios que han publicado en una semana, $x$ , y las ventas conseguidas, $y$ (en miles de euros):

$x$	2	4	$a$	8	10
$y$	6	10	$b$	12	17

El punto medio de la distribución es $(6, 11)$ .

a) Halla $a$ y $b$ .

b) Halla $σ_{x}$ y $σ_{y}$ .

c) Se incorpora un sexto comercial con el punto $(12, 17)$ . Halla el nuevo punto medio.

Solución

a) Como $x ˉ = 6$ con $n = 5$ , la suma de las $x$ debe ser $5 \cdot 6 = 30$ :

$2 + 4 + a + 8 + 10 = 30 \Rightarrow a = 6$

Del mismo modo, $\sum y = 5 \cdot 11 = 55$ :

$6 + 10 + b + 12 + 17 = 55 \Rightarrow b = 10$

b) Con $a = 6$ , las desviaciones de las $x$ respecto a la media son $- 4, - 2, 0, 2, 4$ , luego

$σ_{x}^{2} = \frac{16 + 4 + 0 + 4 + 16}{5} = 8, σ_{x} = 8 = 22 \approx 2, 83$

Las desviaciones de las $y$ respecto a $11$ son $- 5, - 1, - 1, 1, 6$ :

$σ_{y}^{2} = \frac{25 + 1 + 1 + 1 + 36}{5} = \frac{64}{5}, σ_{y} = \frac{8}{5} = \frac{8 5}{5} \approx 3, 58$

c) Ahora hay $6$ puntos. Las sumas nuevas son $30 + 12 = 42$ y $55 + 17 = 72$ :

$x ˉ = \frac{42}{6} = 7, y ˉ = \frac{72}{6} = 12$

El nuevo punto medio es $(7, 12)$ : se ha desplazado hacia el punto añadido, que quedaba arriba y a la derecha de la nube.

En el examen: para despejar un dato desconocido a partir de una media, multiplica la media por $n$ para recuperar la suma total. Y cuando pidan la desviación típica con la CPG, comprueba si lees $σ_{x}$ (divide entre $n$ ) o $s_{x}$ (divide entre $n - 1$ ).

Errores típicos

Resumen

Una variable bidimensional da una pareja $(x, y)$ por individuo; $x$ es la variable que explica (eje horizontal) e $y$ la que se quiere explicar (eje vertical).
El diagrama de dispersión pinta cada pareja como un punto; su forma indica si la relación sube, baja o no existe.
El punto medio es $(x ˉ, y ˉ)$ , con las medias de cada variable; con frecuencias, se divide entre $N = \sum f_{i}$ .
$σ_{x} = \frac{\sum f _{i} x _{i}^{2}}{N} - x ˉ^{2}$ y análogamente $σ_{y}$ .
Con la CPG (Prueba 2) se obtienen medias y desviaciones típicas; lee $σ$ y no $s$ .

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