IB Análisis y Enfoques NS · Regresión y correlación · Cierre del tema

Ejercicios IB del tema 13

21 ejercicios con solución · Por Álvaro López

Ejercicios de exámenes del IB agrupados por tipo y, dentro de cada tipo, de menos a más difícil. Intenta cada uno antes de abrir la solución.

Nivel

Prueba

Soluciones

Diagramas de dispersión y tipo de correlación

Ejercicio 1 MedioIB · P2 TZ1 Mayo 2021

La siguiente tabla muestra los datos recogidos para un experimento

$x$	3.3	6.9	11.9	13.4	17.8	19.6	21.8	25.3
$y$	6.3	8.1	8.4	11.6	10.3	12.9	13.1	17.3

Los datos también se representan en el siguiente diagrama de dispersión.

diagrama de dispersión con cuadrícula. Eje x de 0 a 30 con marcas cada 5 (5, 10, 15, 20, 25, 30); eje y de 0 a 25 con marcas cada 5 (5, 10, 15, 20, 25). Ocho puntos pequeños: (3,3; 6,3), (6,9; 8,1), (11,9; 8,4), (13,4; 11,6), (17,8; 10,3), (19,6; 12,9), (21,8; 13,1), (25,3; 17,3). Los puntos siguen una tendencia creciente. Sin recta dibujada. La relación entre $x$ e $y$ se puede modelizar mediante la recta de regresión de ecuación $y = a x + b$ , donde $a, b \in R$ .

a) Escriba el valor de $a$ y el valor de $b$ .

b) Use el modelo para predecir el valor de $y$ cuando $x = 18$ .

c) Escriba los valores de $x ˉ$ e $y ˉ$ .

d) Dibuje la recta de mejor ajuste en el diagrama de dispersión.

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a) Con la regresión lineal de la CPG: $a = 0, 43316 \dots \approx 0, 433, b = 4, 50265 \dots \approx 4, 50.$

b) $y = 0, 43316 \cdot 18 + 4, 50265 \approx 12, 3$ .

c) Las medias son $x ˉ = \frac{3 , 3 + 6 , 9 + 11 , 9 + 13 , 4 + 17 , 8 + 19 , 6 + 21 , 8 + 25 , 3}{8} = \frac{120}{8} = 15, y ˉ = \frac{6 , 3 + 8 , 1 + 8 , 4 + 11 , 6 + 10 , 3 + 12 , 9 + 13 , 1 + 17 , 3}{8} = \frac{88}{8} = 11.$

d) 1. La recta de regresión pasa siempre por el punto medio $M (x ˉ, y ˉ) = (15, 11)$ . 2. Su ordenada en el origen es $4, 50$ : pasa por $(0; 4, 50)$ . 3. Con esos dos puntos trazamos la recta; al llegar a $x = 30$ vale $0, 433 \cdot 30 + 4, 50 \approx 17, 5$ .

el mismo diagrama de dispersión (ejes x de 0 a 30 y y de 0 a 25, los ocho puntos) con la recta y=0,433x+4,50 dibujada en trazo grueso desde (0; 4,50) hasta (30; 17,5), pasando por el punto M(15, 11) marcado y rotulado «M». Resultado: a) $a \approx 0, 433$ , $b \approx 4, 50$ ; b) $y \approx 12, 3$ ; c) $x ˉ = 15$ , $y ˉ = 11$ ; d) recta $y = 0, 433 x + 4, 50$ que pasa por $M (15, 11)$ y por $(0; 4, 50)$

Coeficiente de correlación r

Ejercicio 2 MedioIB · P2 TZ1 Mayo 2016 NM

La masa $M$ de una sustancia en descomposición se mide a intervalos de un minuto. Los puntos $(t, ln M)$ se trazan para $0 \leq t \leq 10$ , donde $t$ es en minutos. La recta de mejor ajuste está dibujada. Esto se muestra en el siguiente diagrama.

$diagrama de dispersión. Eje horizontal t (minutos) con marcas en 0, 2, 4, 6, 8 y 10; eje vertical \ln M con marcas en 3,5, 4, 4,5 y una ruptura de escala cerca del origen (el eje empieza en torno a 3,3). Once puntos pequeños, uno por cada t=0,1,\dots,10, casi alineados y decrecientes: aproximadamente (0;4{,}67), (1;4{,}55), (2;4{,}43), (3;4{,}31), (4;4{,}19), (5;4{,}07), (6;3{,}95), (7;3{,}83), (8;3{,}71), (9;3{,}59) y (10;3{,}47). Una recta de mejor ajuste que pasa por esos puntos, empezando en (0;4{,}67) sobre el eje vertical y terminando en (10;3{,}47).$ El coeficiente de correlación para este modelo lineal es $r = - 0, 998$ .

a) Exprese con dos palabras que describan la correlación lineal entre $ln M$ y $t$ .

b) La ecuación de la recta de mejor ajuste es $ln M = - 0, 12 t + 4, 67$ . Sabiendo que $M = a \cdot b^{t}$ , encuentre el valor de $b$ .

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Resultado: a) fuerte y negativa; b) $b = 0, 887$

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a) 1. El coeficiente $r = - 0, 998$ tiene módulo muy cercano a $1$ , así que la correlación es fuerte, y su signo es negativo, así que es negativa: al aumentar $t$ , disminuye $ln M$ .

b) 2. Tomamos exponenciales en la recta de mejor ajuste: $M = e^{- 0, 12 t + 4, 67} = e^{4, 67} \cdot (e^{- 0, 12})^{t} .$ 3. Comparando con $M = a \cdot b^{t}$ : $b = e^{- 0, 12} \approx 0, 887$ (y $a = e^{4, 67} \approx 107$ ). Como $b < 1$ , la masa decrece exponencialmente, de acuerdo con la descomposición.

Resultado: a) fuerte y negativa; b) $b = 0, 887$

Ejercicio 3 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2017 NM

Jim calentó un líquido hasta hervir. Midió la temperatura del líquido mientras se enfriaba. La siguiente tabla muestra su temperatura, $d$ grados Celsius, $t$ minutos después de hervida.

$t$ (min)	0	4	8	12	16	20
$d$ (°C)	105	98.4	85.4	74.8	68.7	62.1

a) (i) Escriba la variable independiente.

(ii) Anote la temperatura de ebullición del líquido.

Jim cree que la relación entre $d$ y $t$ puede modelarse mediante una ecuación de regresión lineal.

b) Jim describe la correlación como muy fuerte. Haz un círculo alrededor del valor que mejor represente el coeficiente de correlación.

$0.992$	$0.251$	$0$	$- 0.251$	$- 0.992$

c) El modelo de Jim es $d = - 2.24 t + 105$ , para $0 \leq t \leq 20$ . Use su modelo para predecir la disminución de la temperatura para cualquier intervalo de 2 minutos.

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Resultado: a) (i) $t$ ; (ii) $105^{\circ} C$ ; b) $r = - 0, 992$ (correlación fuerte y negativa); c) disminuye $4, 48^{\circ} C$

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a) (i) La variable independiente es el tiempo $t$ (es la que fija Jim al medir; la temperatura $d$ depende de ella).

(ii) El líquido empieza a enfriarse justo cuando acaba de hervir, es decir, en $t = 0$ . Allí la tabla da $d = 105$ , así que la temperatura de ebullición es $105^{\circ} C$ .

b) 1. La temperatura baja al aumentar el tiempo, así que la correlación es negativa: descartamos los valores positivos y el $0$ . 2. Muy fuerte significa que $∣ r ∣$ está muy cerca de $1$ . Entre $- 0, 251$ y $- 0, 992$ elegimos $- 0, 992$ .

c) 1. La pendiente del modelo es $- 2, 24$ : por cada minuto la temperatura baja $2, 24^{\circ} C$ . 2. En un intervalo de 2 minutos la variación es $- 2, 24 \cdot 2 = - 4, 48$ , es decir, la temperatura disminuye $4, 48^{\circ} C$ .

Resultado: a) (i) $t$ ; (ii) $105^{\circ} C$ ; b) $r = - 0, 992$ (correlación fuerte y negativa); c) disminuye $4, 48^{\circ} C$

Recta de regresión y predicciones

Ejercicio 4 BásicoIB · P2 TZ0 Noviembre 2019 NM

La siguiente tabla muestra el número de mensajes, $M$ , que seis adolescentes elegidos al azar enviaron durante el mes de octubre. La tabla también muestra el tiempo, $T$ , que hablaron por teléfono a lo largo de ese mismo mes.

Tiempo que hablaron por teléfono ( $T$ minutos)	50	55	105	128	155	200
Número de mensajes ( $M$ )	358	340	740	731	800	992

La relación entre estas variables se puede modelizar mediante la ecuación de regresión $M = a T + b$ .

a) Escriba el valor de $a$ y el de $b$ .

b) Utilice su ecuación de regresión para predecir el número de mensajes enviados por un adolescente que habló por teléfono 154 minutos en octubre.

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Resultado: a) $a \approx 4, 30$ , $b \approx 163$ ; b) $M \approx 826$ mensajes

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a) Con la regresión lineal de $M$ sobre $T$ en la CPG: $a = 4, 3016 \dots \approx 4, 30, b = 163, 331 \dots \approx 163.$

b) Sustituimos $T = 154$ en la recta, sin redondear los coeficientes: $M = 4, 3016 \cdot 154 + 163, 331 \approx 825, 8.$ El número de mensajes es entero, así que la predicción es de unos $826$ mensajes.

Resultado: a) $a \approx 4, 30$ , $b \approx 163$ ; b) $M \approx 826$ mensajes

Ejercicio 5 BásicoIB · P2 TZ0 Noviembre 2022

La siguiente tabla muestra las notas de un examen de Matemáticas ( $x$ ) y las notas de un examen de Ciencias ( $y$ ) que ha obtenido un grupo de ocho alumnos.

Notas de Matemáticas ( $x$ )	64	68	72	75	80	82	85	86
Notas de Ciencias ( $y$ )	67	72	77	76	84	83	89	91

Para estos datos, la recta de regresión de $y$ sobre $x$ se puede escribir de la forma $y = a x + b$ .

a) Halle el valor de $a$ y el valor de $b$ .

b) Escriba el valor del coeficiente de correlación momento-producto de Pearson ( $r$ ).

c) Utilice la ecuación de su recta de regresión para predecir la nota que obtendrá en el examen de Ciencias un alumno que haya obtenido una nota de 78 en el examen de Matemáticas. Exprese la respuesta redondeando al número entero más próximo.

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Resultado: a) $a \approx 1, 01$ , $b \approx 2, 45$ ; b) $r \approx 0, 981$ ; c) $y \approx 81$

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a) Con la regresión lineal de $y$ sobre $x$ en la CPG: $a = 1, 01206 \dots \approx 1, 01, b = 2, 45230 \dots \approx 2, 45.$

b) El coeficiente de correlación es $r = 0, 98146 \dots \approx 0, 981$ : correlación positiva muy fuerte.

c) Sustituimos $x = 78$ en la recta (sin redondear $a$ y $b$ ): $y = 1, 01206 \cdot 78 + 2, 45230 \approx 81, 39.$ Redondeando al entero más próximo, la nota prevista es $81$ .

Resultado: a) $a \approx 1, 01$ , $b \approx 2, 45$ ; b) $r \approx 0, 981$ ; c) $y \approx 81$

Ejercicio 6 MedioIB · P2 TZ2 Mayo 2017 NM

En la siguiente tabla se muestra la temperatura máxima $T$ , en grados Celsius, que se registró en un parque en seis días elegidos al azar. La tabla también muestra el número de visitantes, $N$ , que acudieron al parque cada uno de esos seis días.

Temperatura máxima ( $T$ )	4	5	17	31	29	11
Número de visitantes ( $N$ )	24	26	36	38	46	28

La relación entre ambas variables se puede modelizar por la ecuación de regresión $N = a T + b$ .

a) (i) Halle el valor de $a$ y de $b$ .

(ii) Escriba el valor de $r$ .

b) Utilice la ecuación de regresión para estimar el número de visitantes que habrá un día que la temperatura máxima sea de $1 5^{\circ} C$ .

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Resultado: a) (i) $a = 0, 667$ , $b = 22, 2$ ; (ii) $r = 0, 923$ ; b) $\approx 32$ visitantes

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a) (i) 1. Introducimos en la calculadora de pantalla gráfica (CPG) las temperaturas $T$ como lista de la variable independiente y los visitantes $N$ como lista de la variable dependiente. 2. Hacemos la regresión lineal $N = a T + b$ (ajuste por mínimos cuadrados de $N$ sobre $T$ ). La CPG da $a = 0, 667, b = 22, 2.$

(ii) 3. En el mismo cálculo la CPG proporciona el coeficiente de correlación de Pearson: $r = 0, 923$ . Es un valor cercano a $1$ : correlación lineal positiva y fuerte.

b) 4. Sustituimos $T = 15$ en la recta de regresión, usando los valores sin redondear de $a$ y $b$ : $N = 0, 667 \cdot 15 + 22, 2 \approx 32, 2.$ 5. El número de visitantes es entero, así que se estiman unos $32$ visitantes. Como $T = 15$ está dentro del rango de los datos ( $4 \leq T \leq 31$ ), es una interpolación y la estimación es razonablemente fiable.

Resultado: a) (i) $a = 0, 667$ , $b = 22, 2$ ; (ii) $r = 0, 923$ ; b) $\approx 32$ visitantes

Ejercicio 7 MedioIB · P2 TZ1 Mayo 2014 NM

La siguiente tabla muestra los pesos promedio ( $y$ kg) para alturas dadas ( $x$ cm) en una población de hombres.

Alturas ( $x$ cm)	165	170	175	180	185
Pesos ( $y$ kg)	67{,}8	70{,}0	72{,}7	75{,}5	77{,}2

a) La relación entre las variables está modelada por la recta de regresión $y = a x + b$ .

(i) Escriba el valor de $a$ y de $b$ .

(ii) Usando lo anterior, calcule el peso de un hombre cuya altura es de $172$ cm.

b) (i) Escriba el coeficiente de correlación.

(ii) Indique dos características de las siguientes que describan la correlación entre las variables.

Fuerte Cero Positiva

Negativa No correlación Débil

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Resultado: a) (i) $a = 0, 486$ , $b = - 12, 4$ ; (ii) $71, 2$ kg; b) (i) $r = 0, 997$ ; (ii) fuerte y positiva

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a) (i) 1. Con la calculadora de pantalla gráfica (CPG) introducimos las alturas como $x$ y los pesos como $y$ y hacemos la regresión lineal: $a = 0, 486, b = - 12, 4.$

(ii) 2. Sustituimos $x = 172$ (valores sin redondear de $a$ y $b$ ): $y = 0, 486 \cdot 172 - 12, 41 \approx 71, 2 kg .$

b) (i) 3. La CPG da el coeficiente de correlación $r = 0, 997$ .

(ii) 4. Como $r = 0, 997$ está muy cerca de $1$ , la correlación es fuerte (módulo próximo a $1$ ) y positiva (signo de $r$ positivo: a mayor altura, mayor peso).

Resultado: a) (i) $a = 0, 486$ , $b = - 12, 4$ ; (ii) $71, 2$ kg; b) (i) $r = 0, 997$ ; (ii) fuerte y positiva

Ejercicio 8 MedioIB · P2 TZ2 Mayo 2014 NM

La siguiente tabla muestra la cantidad de combustible ( $y$ litros) que consume un coche para recorrer determinadas distancias ( $x$ km).

Distancia ( $x$ km)	40	75	120	150	195
Cantidad de combustible ( $y$ litros)	3{,}6	6{,}5	9{,}9	13{,}1	16{,}2

Se puede elaborar un modelo para estos datos mediante la recta de regresión cuya ecuación es $y = a x + b$ .

a) (i) Escriba el valor de $a$ y el de $b$ .

(ii) Explique qué representa la pendiente $a$ .

b) Utilice el modelo para estimar la cantidad de combustible que consumiría el coche si se condujera durante $110$ km.

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Resultado: a) (i) $a = 0, 0824$ , $b = 0, 306$ ; (ii) consumo en litros por kilómetro; b) $9, 37$ litros

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a) (i) 1. Con la calculadora de pantalla gráfica (CPG) hacemos la regresión lineal de $y$ sobre $x$ : $a = 0, 0824, b = 0, 306.$

(ii) 2. La pendiente $a$ indica cuántos litros más se consumen por cada kilómetro adicional recorrido: el coche gasta unos $0, 0824$ litros por kilómetro (aproximadamente $8, 24$ litros cada $100$ km).

b) 3. Sustituimos $x = 110$ con los valores sin redondear: $y = 0, 08236 \cdot 110 + 0, 3062 \approx 9, 37 litros .$ Como $110$ está dentro del rango de distancias de los datos ( $40 \leq x \leq 195$ ), la estimación es una interpolación.

Resultado: a) (i) $a = 0, 0824$ , $b = 0, 306$ ; (ii) consumo en litros por kilómetro; b) $9, 37$ litros

Ejercicio 9 MedioIB · P2 TZ0 Noviembre 2014 NM

La siguiente tabla muestra la puntuación del Diploma, $x$ , y la nota en el ingreso a la universidad, $y$ , que han obtenido siete alumnos del Diploma del IB.

Puntuación del Diploma ( $x$ )	28	30	27	31	32	25	27
Nota en el ingreso ( $y$ )	73{,}9	78{,}1	70{,}2	82{,}2	85{,}5	62{,}7	69{,}4

a) Halle el coeficiente de correlación.

Esta relación se puede modelizar mediante una recta de regresión cuya ecuación es $y = a x + b$ .

b) Escriba el valor de $a$ y el de $b$ .

Rita obtuvo una puntuación de $26$ en el Diploma del IB.

c) Utilice la recta de regresión para estimar la nota que obtendrá Rita en el ingreso a la universidad.

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Resultado: a) $r = 0, 996$ ; b) $a = 3, 15$ , $b = - 15, 4$ ; c) $66, 5$

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a) 1. Con la calculadora de pantalla gráfica (CPG) introducimos las puntuaciones como $x$ y las notas de ingreso como $y$ . La regresión lineal da el coeficiente de correlación $r = 0, 996$ (correlación positiva muy fuerte).

b) 2. La recta de regresión de $y$ sobre $x$ es $y = a x + b$ con $a = 3, 15, b = - 15, 4.$

c) 3. Sustituimos $x = 26$ (valores sin redondear de $a$ y $b$ ): $y = 3, 1504 \cdot 26 - 15, 439 \approx 66, 5.$ La nota estimada para Rita es $66, 5$ . Como $26$ está dentro del rango de los datos ( $25 \leq x \leq 32$ ), es una interpolación fiable.

Resultado: a) $r = 0, 996$ ; b) $a = 3, 15$ , $b = - 15, 4$ ; c) $66, 5$

Ejercicio 10 MedioIB · P2 TZ2 Mayo 2018 NM

La siguiente tabla muestra el peso medio, $y$ kg, de niños que tienen $x$ años.

Edad ( $x$ años)	1{,}25	2{,}25	3{,}5	4{,}4	5{,}85
Peso ( $y$ kg)	10	13	14	17	19

La relación que existe entre estas variables está modelizada por la recta de regresión cuya ecuación es $y = a x + b$ .

a) (i) Halle el valor de $a$ y el de $b$ .

(ii) Escriba el coeficiente de correlación.

b) Utilice esta ecuación para estimar el peso medio de un niño que tiene $1, 95$ años.

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Resultado: a) (i) $a = 1, 92$ , $b = 7, 98$ ; (ii) $r = 0, 985$ ; b) $11, 7$ kg

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a) (i) 1. Con la calculadora de pantalla gráfica (CPG), regresión lineal de $y$ (peso) sobre $x$ (edad): $a = 1, 92, b = 7, 98.$

(ii) 2. El coeficiente de correlación que da la CPG es $r = 0, 985$ .

b) 3. Sustituimos $x = 1, 95$ con los valores sin redondear: $y = 1, 91966 \cdot 1, 95 + 7, 97717 \approx 11, 7 kg .$ Como $1, 95$ está dentro del rango de edades de los datos, la estimación es una interpolación.

Resultado: a) (i) $a = 1, 92$ , $b = 7, 98$ ; (ii) $r = 0, 985$ ; b) $11, 7$ kg

Ejercicio 11 MedioIB · P2 TZ1 Mayo 2015 NM

La siguiente tabla muestra la cantidad promedio de horas por día que se pasan viendo televisión siete madres y el hijo menor de cada madre.

Horas por día que una madre ve televisión ( $x$ )	2{,}5	3{,}0	3{,}2	3{,}3	4{,}0	4{,}5	5{,}8
Horas por día que su hijo ve televisión ( $y$ )	1{,}8	2{,}2	2{,}6	2{,}5	3{,}0	3{,}2	3{,}5

La relación puede ser modelada por la recta de regresión con la ecuación $y = a x + b$ .

a) (i) Encuentre el coeficiente de correlación.

(ii) Escriba el valor de $a$ y de $b$ .

Elizabeth mira televisión por un promedio de $3, 7$ horas por día.

b) Use su recta de regresión para predecir el número promedio de horas de televisión que ve por día el hijo menor de Elizabeth. Dé su respuesta correcta con una cifra decimal.

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Resultado: a) (i) $r = 0, 947$ ; (ii) $a = 0, 501$ , $b = 0, 804$ ; b) $2, 7$ horas por día

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a) (i) 1. Con la calculadora de pantalla gráfica (CPG) introducimos las horas de las madres como $x$ y las de sus hijos como $y$ . El coeficiente de correlación es $r = 0, 947$ (correlación positiva fuerte).

(ii) 2. La regresión lineal de $y$ sobre $x$ da $a = 0, 501, b = 0, 804.$

b) 3. Sustituimos $x = 3, 7$ con los valores sin redondear de $a$ y $b$ : $y = 0, 50096 \cdot 3, 7 + 0, 80354 \approx 2, 657.$ 4. Con una cifra decimal: $2, 7$ horas por día.

Resultado: a) (i) $r = 0, 947$ ; (ii) $a = 0, 501$ , $b = 0, 804$ ; b) $2, 7$ horas por día

Ejercicio 12 MedioIB · P2 TZ2 Mayo 2015 NM

La siguiente tabla muestra las ventas, $y$ millones de dólares, de una compañía, $x$ años después que se abrió.

Tiempo después que se abrió ( $x$ años)	2	4	6	8	10
Ventas ( $y$ millones de dólares)	12	20	30	36	52

La relación entre las variables se modela por la recta de regresión con ecuación $y = a x + b$ .

a) (i) Escriba el valor de $a$ y el de $b$ .

(ii) Escriba el valor de $r$ .

b) Usando lo anterior, estime las ventas en millones de dólares después de siete años.

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Resultado: a) (i) $a = 4, 8$ , $b = 1, 2$ ; (ii) $r = 0, 988$ ; b) $34, 8$ millones de dólares

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a) (i) 1. Con la calculadora de pantalla gráfica (CPG), regresión lineal de $y$ sobre $x$ : $a = 4, 8, b = 1, 2.$

(ii) 2. El coeficiente de correlación es $r = 0, 988$ (correlación positiva muy fuerte).

b) 3. Sustituimos $x = 7$ : $y = 4, 8 \cdot 7 + 1, 2 = 34, 8.$ Las ventas estimadas a los siete años son de $34, 8$ millones de dólares (interpolación, pues $2 \leq 7 \leq 10$ ).

Resultado: a) (i) $a = 4, 8$ , $b = 1, 2$ ; (ii) $r = 0, 988$ ; b) $34, 8$ millones de dólares

Ejercicio 13 MedioIB · P2 TZ2 Mayo 2019 NM

Un grupo de 7 hombres adultos querían saber si existía una relación entre su índice de masa corporal (IMC) y el perímetro de su cintura. Para ello, se midió el perímetro de su cintura (en centímetros) y se calculó su IMC. La siguiente tabla muestra los resultados.

Cintura ( $x$ cm)	58	63	75	82	93	98	105
IMC ( $y$ )	19	20	22	23	25	24	26

La relación que existe entre $x$ e $y$ se puede modelizar mediante la ecuación de regresión $y = a x + b$ .

a) (i) Escriba el valor de $a$ y el de $b$ .

(ii) Halle el coeficiente de correlación.

b) Utilice la ecuación de regresión para estimar el IMC de un hombre adulto que tenga un perímetro de cintura de 95 cm.

Ver resultado

Resultado: a) (i) $a \approx 0, 141$ , $b \approx 11, 1$ ; (ii) $r \approx 0, 978$ ; b) IMC $\approx 24, 5$

Ver proceso y resultado

a) (i) Con la regresión lineal de la CPG para los siete pares de datos: $a = 0, 14112 \dots \approx 0, 141, b = 11, 1424 \dots \approx 11, 1.$

(ii) La CPG también da $r = 0, 97756 \dots \approx 0, 978$ : correlación positiva muy fuerte.

b) Sustituimos $x = 95$ en la recta de regresión (sin redondear $a$ y $b$ ): $y = 0, 14112 \cdot 95 + 11, 1424 \approx 24, 5.$ Como $95$ está dentro del rango de datos ( $58$ a $105$ ), es una interpolación y la estimación es fiable.

Resultado: a) (i) $a \approx 0, 141$ , $b \approx 11, 1$ ; (ii) $r \approx 0, 978$ ; b) IMC $\approx 24, 5$

Ejercicio 14 MedioIB · P2 TZ0 Noviembre 2018 NM

La siguiente tabla muestra la longitud de mano y altura que tienen cinco deportistas de un equipo deportivo.

Longitud de la mano ( $x$ cm)	21,0	21,9	21,0	20,3	20,8
Altura ( $y$ cm)	178,3	185,0	177,1	169.0	174,6

La relación que existe entre $x$ e $y$ se puede modelizar mediante una recta de regresión cuya ecuación es $y = a x + b$ .

a) (i) Halle el valor de $a$ y el de $b$ .

(ii) Escriba el coeficiente de correlación.

b) La longitud de la mano de otro deportista de este mismo equipo es de 21,5 cm.

Utilice la ecuación de regresión para estimar la altura de este deportista.

Ver resultado

Resultado: a) (i) $a \approx 9, 91$ , $b \approx - 31, 3$ ; (ii) $r \approx 0, 986$ ; b) $\approx 181, 8$ cm

Ver proceso y resultado

a) (i) Introducimos los cinco pares en la CPG y hacemos la regresión lineal de $y$ sobre $x$ : $a = 9, 9104 \dots \approx 9, 91, b = - 31, 3194 \dots \approx - 31, 3.$

(ii) El coeficiente de correlación es $r = 0, 98642 \dots \approx 0, 986$ : correlación positiva muy fuerte.

b) Sustituimos $x = 21, 5$ en la recta (con $a$ y $b$ sin redondear): $y = 9, 9104 \cdot 21, 5 - 31, 3194 \approx 181, 8.$ La altura estimada es $181, 8$ cm. Es una interpolación: $21, 5$ está entre $20, 3$ y $21, 9$ .

Resultado: a) (i) $a \approx 9, 91$ , $b \approx - 31, 3$ ; (ii) $r \approx 0, 986$ ; b) $\approx 181, 8$ cm

Ejercicio 15 MedioIB · P2 TZ2 Mayo 2021

En una cafetería, el tiempo de espera desde que uno pide un café hasta que se lo sirven depende del número de clientes que ya han pedido un café y están esperando a que se lo sirvan. Sarah, que es cliente habitual, va a la cafetería cinco días seguidos. La siguiente tabla muestra el número de clientes ( $x$ ) que han pedido un café antes que Sarah y están esperando a que se lo sirvan, y el tiempo de espera de Sarah ( $y$ minutos).

Número de clientes ( $x$ )	3	9	11	10	5
Tiempo de espera de Sarah ( $y$ )	6	10	12	11	6

La relación entre $x$ e $y$ se puede modelizar mediante una recta de regresión de $y$ sobre $x$ , de ecuación $y = a x + b$ .

a) (i) Halle el valor de $a$ y el valor de $b$ .

(ii) Escriba el valor del coeficiente de correlación momento-producto de Pearson ( $r$ ).

b) Interprete, en el contexto de la pregunta, el valor de $a$ que halló en el subapartado (a)(i)

Sarah acude a esa cafetería unos días más tarde para pedir un café. Hay siete clientes que ya han pedido un café y están esperando a que se lo sirvan.

c) Utilice el resultado del subapartado (a)(i) para estimar el tiempo de espera que tendrá Sarah hasta que le sirvan el café.

Ver resultado

Resultado: a) (i) $a \approx 0, 805$ , $b \approx 2, 88$ ; (ii) $r \approx 0, 978$ ; b) cada cliente más que espera añade unos $0, 805$ minutos al tiempo de espera; c) $\approx 8, 52$ minutos

Ver proceso y resultado

a) (i) Regresión lineal de $y$ sobre $x$ con la CPG: $a = 0, 80508 \dots \approx 0, 805, b = 2, 88135 \dots \approx 2, 88.$

(ii) El coeficiente de Pearson es $r = 0, 97777 \dots \approx 0, 978$ : correlación positiva muy fuerte.

b) La pendiente $a \approx 0, 805$ es la razón de cambio del tiempo de espera respecto al número de clientes: por cada cliente más que espera su café antes que Sarah, el tiempo de espera aumenta, por término medio, unos $0, 805$ minutos.

c) Sustituimos $x = 7$ en la recta de regresión: $y = 0, 80508 \cdot 7 + 2, 88135 \approx 8, 52.$ Sarah esperará unos $8, 52$ minutos (interpolación: $7$ está entre $3$ y $11$ ).

Resultado: a) (i) $a \approx 0, 805$ , $b \approx 2, 88$ ; (ii) $r \approx 0, 978$ ; b) cada cliente más que espera añade unos $0, 805$ minutos al tiempo de espera; c) $\approx 8, 52$ minutos

Ejercicio 16 DifícilIB · P2 TZ1 Mayo 2018 NM

La siguiente tabla muestra los valores de $ln x$ y $ln y$ .

$ln x$	1{,}10	2{,}08	4{,}30	6{,}03
$ln y$	5{,}63	5{,}22	4{,}18	3{,}41

La relación entre $ln x$ y $ln y$ puede ser modelada por la ecuación de regresión $ln y = a ln x + b$ .

a) Encuentre el valor de $a$ y de $b$ .

b) Use la ecuación de regresión para estimar el valor de $y$ cuando $x = 3, 57$ .

La relación entre $x$ e $y$ se puede modelar usando la fórmula $y = k x^{n}$ , donde $k \neq = 0$ , $n \neq = 0$ , $n \neq = 1$ .

c) Expresando $ln y$ en función de $ln x$ , encuentre el valor de $n$ y de $k$ .

Ver resultado

Resultado: a) $a = - 0, 454$ , $b = 6, 14$ ; b) $y \approx 261$ ; c) $n = - 0, 454$ , $k = 465$

Ver proceso y resultado

a) 1. Con la calculadora de pantalla gráfica (CPG) hacemos la regresión lineal de $ln y$ (variable dependiente) sobre $ln x$ (independiente): $a = - 0, 454, b = 6, 14.$

b) 2. Para $x = 3, 57$ calculamos $ln x = ln 3, 57 \approx 1, 2726$ y lo sustituimos en la recta (valores sin redondear de $a$ y $b$ ): $ln y = - 0, 45362 \cdot 1, 2726 + 6, 14210 \approx 5, 565.$ 3. Deshacemos el logaritmo: $y = e^{5, 565} \approx 261$ .

c) 4. Tomamos logaritmos neperianos en $y = k x^{n}$ : $ln y = ln (k x^{n}) = ln k + n ln x .$ 5. Comparando con $ln y = a ln x + b$ : la pendiente es $n = a$ y la ordenada en el origen es $ln k = b$ . Por tanto $n = - 0, 454, k = e^{b} = e^{6, 1421} \approx 465.$

Resultado: a) $a = - 0, 454$ , $b = 6, 14$ ; b) $y \approx 261$ ; c) $n = - 0, 454$ , $k = 465$

Ejercicio 17 DifícilIB · P2 TZ1 Mayo 2019 NM

Un rompecabezas consta de muchas piezas de diferentes formas que se unen para formar una imagen.

Jill está haciendo un rompecabezas de 1000 piezas. Ella comenzó clasificando las piezas del borde y las piezas interiores. Seis veces se detuvo y contó cuántas de cada tipo había encontrado. La siguiente tabla indica esta información.

Piezas del borde (x)	16	31	39	55	84	115
Piezas interiores (y)	89	239	297	402	580	802

Jill modela la relación entre estas variables usando la ecuación de regresión $y = a x + b$ .

a) Escriba el valor de $a$ y de $b$ .

b) Use el modelo para predecir cuántas piezas de borde había encontrado cuando había ordenado un total de 750 piezas.

Ver resultado

Resultado: a) $a \approx 6, 93$ , $b \approx 8, 81$ ; b) $\approx 93$ piezas de borde

Ver proceso y resultado

a) Con la regresión lineal de $y$ sobre $x$ de la CPG: $a = 6, 9298 \dots \approx 6, 93, b = 8, 8077 \dots \approx 8, 81.$

b) 1. El total de piezas ordenadas es la suma de las de borde y las interiores: $x + y = 750$ , de donde $y = 750 - x$ . 2. Imponemos que el punto cumpla además el modelo, $y = a x + b$ : $750 - x = 6, 9298 x + 8, 8077 \Rightarrow 741, 1923 = 7, 9298 x \Rightarrow x \approx 93, 47.$ (Es el corte de las rectas $y = a x + b$ e $y = 750 - x$ en la CPG.) 3. Las piezas son un número entero: había encontrado unas $93$ piezas de borde.

Resultado: a) $a \approx 6, 93$ , $b \approx 8, 81$ ; b) $\approx 93$ piezas de borde

Problemas de contexto con varios apartados

Ejercicio 18 DifícilIB · P2 TZ0 Noviembre 2015 NM

Un grupo ecologista va anotando el número de coyotes y de zorros que hay en una reserva natural al cabo de $t$ años, empezando el 1 de enero de 1995. Sea $c$ el número de coyotes que hay en la reserva al cabo de $t$ años. La siguiente tabla muestra el número de coyotes que hay al cabo de $t$ años.

años transcurridos ( $t$ )	0	2	10	15	19
número de coyotes ( $c$ )	115	197	265	320	406

La relación entre estas variables se puede modelizar mediante la ecuación de regresión $c = a t + b$ .

a) Halle el valor de $a$ y el de $b$ .

b) Utilice la ecuación de regresión para estimar el número de coyotes que había en la reserva cuando $t = 7$ .

Sea $f$ el número de zorros que hay en la reserva al cabo de $t$ años. Este número de zorros se puede modelizar mediante la ecuación $f = \frac{2000}{1 + 99 e ^{- k t}}$ , donde $k$ es una constante.

c) Halle el número de zorros que había en la reserva el 1 de enero de 1995.

d) Cinco años después, en la reserva había $64$ zorros. Halle $k$ .

e) ¿Durante qué año el número de coyotes fue el mismo que el número de zorros?

Ver resultado

Resultado: a) $a = 13, 4$ , $b = 137, 5$ ; b) $231$ coyotes; c) $20$ zorros; d) $k = 0, 237$ ; e) durante el año $2007$

Ver proceso y resultado

a) 1. Con la calculadora de pantalla gráfica (CPG), regresión lineal de $c$ sobre $t$ : $a = 13, 4, b = 137, 5.$

b) 2. Sustituimos $t = 7$ con los valores sin redondear: $c = 13, 3823 \cdot 7 + 137, 483 \approx 231.$ Se estiman $231$ coyotes.

c) 3. El 1 de enero de 1995 corresponde a $t = 0$ : $f (0) = \frac{2000}{1 + 99 e ^{0}} = \frac{2000}{100} = 20.$ Había $20$ zorros.

d) 4. Cinco años después, $t = 5$ y $f (5) = 64$ : $\frac{2000}{1 + 99 e ^{- 5 k}} = 64 \Rightarrow 1 + 99 e^{- 5 k} = \frac{2000}{64} = 31, 25 \Rightarrow e^{- 5 k} = \frac{30 , 25}{99} .$ 5. Tomamos logaritmos neperianos: $- 5 k = ln \frac{30 , 25}{99} \Rightarrow k = - \frac{1}{5} ln \frac{30 , 25}{99} \approx 0, 237.$

e) 6. Planteamos $c = f$ con los modelos de los apartados anteriores: $13, 3823 t + 137, 483 = \frac{2000}{1 + 99 e ^{- 0, 23712 t}} .$ 7. Resolvemos la ecuación con la CPG (buscando la intersección de las dos gráficas para $t > 0$ ): $t \approx 12, 0$ . 8. Han pasado unos $12, 0$ años desde el 1 de enero de 1995, así que el número de coyotes y de zorros coincidió durante el año $1995 + 12 = 2007$ .

Resultado: a) $a = 13, 4$ , $b = 137, 5$ ; b) $231$ coyotes; c) $20$ zorros; d) $k = 0, 237$ ; e) durante el año $2007$

Ejercicio 19 DifícilIB · P2 TZ2 Mayo 2016 NM

El precio de un coche de segunda mano depende, en parte, de la distancia que ha recorrido. La siguiente tabla muestra la distancia y el precio de siete coches, el 1 de enero de 2010.

Distancia, $x$ km	11 500	7500	13 600	10 800	9500	12 200	10 400
Precio, $y$ dólares	15 000	21 500	12 000	16 000	19 000	14 500	17 000

La relación que existe entre $x$ e $y$ se puede modelizar mediante la ecuación de regresión $y = a x + b$ .

a) (i) Halle el coeficiente de correlación.

(ii) Escriba el valor de $a$ y el de $b$ .

El 1 de enero de 2010, Lina compra un coche que ha recorrido 11 000 km.

b) Utilice la ecuación de regresión para estimar el precio del coche de Lina.

Dé la respuesta aproximando al múltiplo de 100 dólares más cercano.

El precio de los coches disminuye cada año un 5 %.

c) Calcule el precio del coche de Lina al cabo de 6 años.

Lina venderá el coche cuando su precio llegue a los 10 000 dólares.

d) Halle en qué año venderá Lina el coche.

Ver resultado

Resultado: a) (i) $r \approx - 0, 994$ ; (ii) $a \approx - 1, 58$ , $b \approx 33480$ ; b) $\approx 16100$ dólares; c) $\approx 11835$ dólares; d) en el año 2019

Ver proceso y resultado

a) (i) Introducimos los siete pares $(x, y)$ en la calculadora de pantalla gráfica (CPG) y pedimos la regresión lineal de $y$ sobre $x$ . El coeficiente de correlación es $r = - 0, 99435 \dots$ , es decir, $r \approx - 0, 994$ . Es muy cercano a $- 1$ : correlación negativa y muy fuerte (a más kilómetros, menor precio).

(ii) La misma regresión da la recta $y = a x + b$ con $a = - 1, 58095 \dots \approx - 1, 58, b = 33480, 3 \dots \approx 33 480.$

b) 1. Sustituimos $x = 11000$ en la recta: $y = - 1, 58095 \cdot 11000 + 33480, 3 \approx 16089, 8.$ 2. Aproximamos al múltiplo de 100 más cercano: $16100$ dólares.

c) 1. Una bajada del 5 % anual equivale a multiplicar por $0, 95$ cada año. 2. Partimos del precio estimado, $16100$ dólares, y pasan 6 años: $16100 \cdot 0, 9 5^{6} \approx 11835 d o ˊ lares .$

d) 1. Buscamos $n$ tal que $16100 \cdot 0, 9 5^{n} = 10000$ . 2. Dividimos y tomamos logaritmos: $0, 9 5^{n} = \frac{10 000}{16 100} \Rightarrow n = \frac{ln ( \frac{10 000}{16 100} )}{ln 0 , 95} \approx 9, 27.$ (También se obtiene cortando con la CPG la gráfica de $y = 16100 \cdot 0, 9 5^{x}$ con la recta $y = 10000$ .) 3. Al cabo de 9 años el precio es $16100 \cdot 0, 9 5^{9} \approx 10134 > 10000$ , y al cabo de 10 años es $\approx 9627 < 10000$ . El precio llega a $10000$ dólares durante el décimo año después del 1 de enero de 2010, es decir, en 2019.

Resultado: a) (i) $r \approx - 0, 994$ ; (ii) $a \approx - 1, 58$ , $b \approx 33480$ ; b) $\approx 16100$ dólares; c) $\approx 11835$ dólares; d) en el año 2019

Ejercicio 20 DifícilIB · P2 TZ0 Noviembre 2021

En la academia de música de Lucy, ocho estudiantes hicieron su examen de diploma de piano y lograron puntuaciones sobre 150. Para sus registros, Lucy decidió anotar el número promedio de horas por semana que cada estudiante informó haber practicado en las semanas previas a su examen. Estos resultados se resumen en el cuadro que figura a continuación.

Tiempo medio de práctica semanal (h)	28	13	45	33	17	29	39	36
Puntuación de diploma (D)	115	82	120	116	79	101	110	121

a) Calcule el coeficiente de correlación, $r$ , momento producto de Pearson para estos datos.

b) La relación entre las variables puede ser modelada por la recta de regresión de ecuación $D = ah + b$ . Anote el valor de $a$ y el valor de $b$ .

c) Una de estas ocho estudiantes estaba decepcionada con su resultado y deseaba haber practicado más. Sobre la base de los datos dados, determine cómo su puntuación podría haber cambiado si hubiera practicado cinco horas adicionales por semana.

d) Lucy afirma que el número de horas que un estudiante practica tiene un efecto directo en su resultado final del diploma. Comente la validez de la afirmación de Lucy.

Lucy sospechaba que cada estudiante no había estado practicando tanto como informaron. Para compensar esto, Lucy dedujo un número fijo de horas por semana de cada uno de los estudiantes.

e) Indique cómo, en su caso, se vería afectado el valor de $r$ .

Ver resultado

Resultado: a) $r \approx 0, 884$ ; b) $a \approx 1, 37$ , $b \approx 64, 5$ ; c) la puntuación habría aumentado unos $6, 83$ puntos; d) la correlación no implica causalidad, así que la afirmación no queda demostrada; e) $r$ no cambia

Ver proceso y resultado

a) Con la CPG, regresión lineal de $D$ sobre $h$ con los ocho pares: $r = 0, 88353 \dots \approx 0, 884$ . Correlación positiva fuerte.

b) La misma regresión da $a = 1, 36609 \dots \approx 1, 37, b = 64, 5172 \dots \approx 64, 5.$

c) 1. En el modelo $D = ah + b$ , cada hora más de práctica semanal suma $a$ puntos a la puntuación. 2. Cinco horas más suponen un aumento de $5 a = 5 \cdot 1, 36609 \approx 6, 83$ puntos (con $a$ redondeado, $5 \cdot 1, 37 = 6, 85$ ). Es decir, su puntuación habría subido unos $6, 8$ puntos.

d) $r \approx 0, 884$ indica una fuerte correlación positiva entre las horas de práctica y la puntuación: los estudiantes que practican más tienden a sacar más nota. Pero una correlación, por fuerte que sea, solo muestra asociación; no demuestra que una variable cause la otra (puede haber otros factores, como el talento o la motivación). Por tanto, los datos no bastan para validar que practicar tenga un efecto directo en la puntuación.

e) Restar un número fijo de horas a todos los estudiantes desplaza todos los puntos horizontalmente la misma cantidad, sin cambiar su disposición relativa. El coeficiente de correlación no se ve afectado: $r$ sigue siendo $0, 884$ .

Otros: gráficos combinados y varias rectas

Ejercicio 21 DifícilIB · P1 TZ1 Mayo 2022

Se entrega una encuesta en una piscina a un adulto de cada familia. Se registra la edad del adulto, $a$ años, y de su hijo mayor, $c$ años. Las edades del hijo mayor se resumen en el siguiente diagrama de caja y bigotes.

diagrama de caja y bigotes horizontal con el título «edad hijo mayor (años)». Eje horizontal con las marcas 2, 6, 7, 10 y 18. Bigote izquierdo desde 2 hasta 6, caja desde 6 (primer cuartil) hasta 10 (tercer cuartil) con la mediana en 7, bigote derecho desde 10 hasta 18. Valores: mínimo 2, Q1 = 6, mediana = 7, Q3 = 10, máximo 18.

a) Encuentre el valor más grande de $c$ que no se consideraría un valor atípico.

La recta de regresión de $a$ sobre $c$ es $a = \frac{7}{4} c + 20$ . La recta de regresión de $c$ sobre $a$ es $c = \frac{1}{2} a - 9$ .

b) (i) Uno de los adultos encuestados tiene 42 años. Calcular la edad de su hijo mayor.

(ii) Encuentre la edad media de todos los adultos encuestados.

Ver resultado

Resultado: a) $c = 16$ ; b) (i) $12$ años; (ii) $34$ años

Ver proceso y resultado

a) 1. Del diagrama: $Q_{1} = 6$ y $Q_{3} = 10$ , luego el rango intercuartílico es $RIC = 10 - 6 = 4$ . 2. Un valor es atípico si supera $Q_{3} + 1, 5 \cdot RIC = 10 + 1, 5 \cdot 4 = 16$ . 3. El valor más grande de $c$ que no es atípico es $c = 16$ (el máximo $18$ sí lo es).

b) (i) Para estimar la edad del hijo a partir de la del adulto hay que usar la recta de $c$ sobre $a$ : $c = \frac{1}{2} \cdot 42 - 9 = 12 a n ˜ os .$

(ii) Las dos rectas de regresión pasan por el punto medio $(c ˉ, a ˉ)$ , así que ese punto cumple ambas ecuaciones. Sustituimos la segunda en la primera: $a = \frac{7}{4} (\frac{1}{2} a - 9) + 20 = \frac{7}{8} a - \frac{63}{4} + 20 \Rightarrow \frac{1}{8} a = \frac{17}{4} \Rightarrow a = 34.$ (Entonces $c ˉ = \frac{34}{2} - 9 = 8$ , y comprobamos $\frac{7}{4} \cdot 8 + 20 = 34$ .) La edad media de los adultos es $34$ años.

Resultado: a) $c = 16$ ; b) (i) $12$ años; (ii) $34$ años

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