IB Aplicaciones e Interpretación NM · Variable aleatoria continua y distribución normal · Apartado 1 de 3

Variable aleatoria continua y función de densidad

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Una variable aleatoria continua mide cosas como un tiempo, una masa o una estatura: puede tomar cualquier valor de un intervalo. Para ella no se reparte la probabilidad valor a valor, sino por zonas: la probabilidad de que $X$ caiga entre dos valores es el área bajo una curva, la función de densidad. Esta idea es la base de la distribución normal, que ocupa el resto del tema.

Discreta frente a continua

Una variable aleatoria discreta toma valores aislados que se pueden contar: el número de caras en 10 lanzamientos, el número de averías de un mes. Se le puede dar probabilidad a cada valor: $P (X = 3) = 0, 2$ , por ejemplo.

Entre dos estaturas distintas, por próximas que estén, siempre cabe otra. Por eso no se puede listar los valores posibles y asignarles probabilidades que sumen 1, como se hace con una variable discreta. Hace falta otra herramienta.

De los histogramas a la función de densidad

Mide la estatura de muchas personas y agrúpalas en intervalos. En un histograma, la altura de cada barra se ajusta de modo que el área de la barra sea la frecuencia relativa de su intervalo; así, el área total de todas las barras vale 1. Si el número de personas crece y los intervalos se estrechan, el borde superior del histograma se va suavizando hasta parecerse a una curva.

Curva de densidad con forma de campana asimétrica, con la cola derecha más larga, entre los valores a y b: el área sombreada entre x0 y x1 es la probabilidad P(x0 < X < x1) y el área total bajo la curva vale 1

Cuanto más alta es la curva en una zona, más probable es que $X$ caiga allí. Pero ojo: la altura de $f$ no es una probabilidad. Lo que es probabilidad es el área. (Una altura puede incluso superar 1 si la zona es muy estrecha.)

Si la curva es una figura sencilla, el área se calcula con geometría: un rectángulo, un triángulo, un trapecio. Si la curva es la campana de la normal, no hay fórmula elemental y se le pide el área a la calculadora; eso se verá en el apartado de cálculos con la normal.

Probabilidad en un punto y desigualdades

Un solo valor $x = a$ es un segmento sin anchura: el área bajo la curva sobre él es cero.

La intuición: nadie mide una estatura «exactamente» $170$ cm con infinitos decimales; lo que tiene sentido preguntar es la probabilidad de estar entre $169, 5$ y $170, 5$ . Esto es distinto de lo que ocurre con una variable discreta, donde $P (X = 3)$ sí puede valer algo, y $P (X < 3)$ y $P (X \leq 3)$ sí son diferentes.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Espera de un autobús

El tiempo $X$ , en minutos, que espera un viajero en una parada hasta que llega el autobús puede ser cualquier valor entre 0 y 20. Todos los instantes son igual de probables, de modo que la función de densidad es una constante $f (x) = k$ para $0 \leq x \leq 20$ y $f (x) = 0$ fuera de ese intervalo.

a) Halla el valor de $k$ .

b) Calcula la probabilidad de esperar entre 5 y 12 minutos.

c) Calcula la probabilidad de esperar exactamente 8 minutos.

Solución

a) La gráfica es un rectángulo de base 20 y altura $k$ . El área total debe ser 1: $20 \cdot k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{20}$

b) La zona entre 5 y 12 es un rectángulo de base $12 - 5 = 7$ y altura $\frac{1}{20}$ : $P (5 < X < 12) = 7 \cdot \frac{1}{20} = \frac{7}{20} = 0, 35$

c) $X$ es continua y el valor 8 es un solo punto: el área sobre él es cero. $P (X = 8) = 0$

Ejemplo 2 Medio

Una densidad triangular

La duración $X$ , en horas, de una pieza de un sensor es una variable continua con función de densidad

$f (x) = {k x 0 si 0 \leq x \leq 4 en otro caso$

donde $k$ es una constante positiva.

a) Dibuja la gráfica de $f$ y halla $k$ .

b) Calcula $P (X < 2)$ .

c) Calcula $P (X > 3)$ .

d) Calcula $P (1 \leq X \leq 3)$ .

Gráfica de f(x) = kx entre 0 y 4: un segmento recto que sube desde el origen hasta el punto (4, 1/2) y cae en vertical hasta el eje; el triángulo sombreado bajo la recta tiene área total 1

Solución

a) La gráfica es una recta que parte del origen y llega hasta el punto $(4, 4 k)$ : el área bajo ella es un triángulo de base 4 y altura $4 k$ . Su área debe ser 1: $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 k = 1 \Rightarrow 8 k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{8}$ La altura en $x = 4$ es $\frac{1}{2}$ .

Para los siguientes apartados, el área bajo $f$ desde 0 hasta un valor $t$ (con $0 \leq t \leq 4$ ) es un triángulo de base $t$ y altura $\frac{t}{8}$ : $a ˊ rea (0 \to t) = \frac{1}{2} \cdot t \cdot \frac{t}{8} = \frac{t ^{2}}{16}$

b) $P (X < 2) = \frac{2 ^{2}}{16} = \frac{1}{4}$ .

c) Es más fácil por el complementario: $P (X > 3) = 1 - P (X \leq 3) = 1 - \frac{3 ^{2}}{16} = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$

d) El área entre 1 y 3 es la de 0 a 3 menos la de 0 a 1: $P (1 \leq X \leq 3) = \frac{9}{16} - \frac{1}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

Ejemplo 3 Difícil

De un histograma a una densidad

Se ha medido el tiempo $X$ , en minutos, que tardan 100 clientes en ser atendidos en una oficina. Los datos se agrupan así:

Tiempo (min)	$0 \leq x < 10$	$10 \leq x < 20$	$20 \leq x < 40$	$40 \leq x < 60$	$60 \leq x < 100$
Clientes	12	30	36	18	4

Se dibuja un histograma en el que el área de cada barra es la frecuencia relativa de su intervalo (altura de la barra = frecuencia relativa dividida entre la anchura del intervalo). Ese histograma se usa como función de densidad de $X$ y se supone que dentro de cada intervalo los clientes se reparten de modo uniforme.

a) Halla la altura de la barra del intervalo $20 \leq x < 40$ .

b) Estima $P (15 < X < 50)$ .

c) Estima la mediana del tiempo de atención, es decir, el valor $m$ tal que $P (X < m) = 0, 5$ .

Solución

Las frecuencias relativas son $0, 12$ , $0, 30$ , $0, 36$ , $0, 18$ y $0, 04$ (suman 1, como debe ser para el área total).

a) La barra de $20 \leq x < 40$ tiene área $0, 36$ y anchura $40 - 20 = 20$ . Su altura es $\frac{0 , 36}{20} = 0, 018$ Las alturas de las demás barras son $0, 012$ , $0, 03$ , $0, 009$ y $0, 001$ .

b) Se suman las áreas de la parte de cada barra que cae entre 15 y 50:

de 15 a 20 (en la barra $[10, 20 [$ ): $5 \cdot 0, 03 = 0, 15$
de 20 a 40 (toda la barra): $0, 36$
de 40 a 50 (media barra $[40, 60 [$ ): $10 \cdot 0, 009 = 0, 09$

$P (15 < X < 50) \approx 0, 15 + 0, 36 + 0, 09 = 0, 60$

c) Las áreas acumuladas son $0, 12$ hasta 10, $0, 42$ hasta 20 y $0, 78$ hasta 40. La mediana está por tanto en $[20, 40 [$ . Faltan $0, 5 - 0, 42 = 0, 08$ de área, y cada minuto de esa barra aporta $0, 018$ : $m = 20 + \frac{0 , 08}{0 , 018} = 24, 4 min$ (Hay que comprobar que $24, 4$ cae dentro del intervalo $[20, 40 [$ : sí.)

En el examen: cuando te den un histograma, calcula siempre el área de las barras (base por altura) y no uses la altura directamente como probabilidad. Escribe cada área parcial, súmalas y da la respuesta con 3 cifras significativas y unidades. Si te piden una probabilidad en un punto, la respuesta es 0.

Errores típicos

Resumen

Una variable aleatoria continua toma cualquier valor de un intervalo (se mide); una discreta toma valores aislados (se cuenta).
Su probabilidad la da la función de densidad $f$ : $P (x_{0} < X < x_{1})$ es el área bajo la curva entre $x_{0}$ y $x_{1}$ , y el área total vale 1.
La altura de $f$ no es una probabilidad; el área sí.
Para una variable continua, $P (X = a) = 0$ ; por tanto $P (X < a) = P (X \leq a)$ y $P (X > a) = 1 - P (X \leq a)$ .
Si la curva es una figura sencilla, el área se calcula con geometría; si es una campana normal, con la CPG.

Sigue estudiando

Clases de matemáticas en Aldaia y online

¿Quieres que lo trabajemos juntos?

Primera consulta gratuita: vemos tu nivel, el examen que te espera y montamos un plan. Álvaro responde por WhatsApp.

Escribir por WhatsApp