Cálculos con la distribución normal: probabilidades y valores inversos

La variable es $X\sim \mathrm{N}(35,6^2)$, con $\mu =35$ y $\sigma =6$.

a) Se pide $P(30<X<40)$, el área central. Con la CPG, límite inferior 30, límite superior 40, $\sigma =6$ y $\mu =35$: $$P(30<X<40)=0,595$$

b) Se pide la cola derecha $P(X>45)$. Como no hay límite superior, se usa uno muy lejano, por ejemplo $35+5\cdot 6=65$: $$P(X>45)=0,0478$$

c) Cola izquierda $P(X<28)$, con límite inferior muy lejano, por ejemplo $35-5\cdot 6=5$: $$P(X<28)=0,122$$

Los tres valores son coherentes con la campana: el intervalo de 30 a 40 está centrado en la media y contiene más de la mitad del área, y las dos colas son pequeñas.

Es $X\sim \mathrm{N}(250,4^2)$.

a) Se busca $m$ con $P(X<m)=0,15$. Es un cálculo inverso con el área a la izquierda, $0,15$. Con la normal inversa de la CPG, $\mu =250$ y $\sigma =4$: $$m=245,85\dots \approx 246\text{g}$$ Es menor que la media, como debe ser porque el área a la izquierda es menor que $0,5$.

b) Se busca $k$ con $P(X>k)=0,02$, es decir, $P(X<k)=1-0,02=0,98$. Con la normal inversa: $$k=258,21\dots \approx 258\text{g}$$

c) Se calcula primero la probabilidad de un paquete de menos de 245 g, $P(X<245)=0,10565\dots$. El número $Y$ de paquetes de menos de 245 g entre 800 sigue una binomial $\mathrm{B}(800,0,10565\dots )$, de modo que $$\mathrm{E}(Y)=800\cdot 0,10565\dots =84,5$$ Se esperan unos 84 o 85 paquetes; no hace falta redondear a un entero.

a) Se conoce $P(X<740)=0,04$ con $\mu =750$. Para tipificar, se halla el valor $z$ que deja a su izquierda un área de $0,04$, con la normal inversa de la CPG para la normal estándar: $$z=-1,7507\dots$$ Es negativo, como corresponde a un valor por debajo de la media. Se plantea $$\frac{740-750}{\sigma }=-1,7507\dots \Rightarrow \sigma =\frac{-10}{-1,7507\dots }=5,71\text{ml}$$

b) Con la misma $\sigma$ y la media ${\mu }^{\prime }$ nueva se cumple $P(X<740)=0,01$. El valor de $z$ para un área izquierda de $0,01$ es $$z=-2,3263\dots$$ Entonces $$\frac{740-{\mu }^{\prime }}{5,7120\dots }=-2,3263\dots \Rightarrow {\mu }^{\prime }=740+2,3263\dots \cdot 5,7120\dots =753,29\dots \approx 753\text{ml}$$ Se sube un poco la media, como se esperaba si se quieren menos botellas con poco volumen.

c) La variable ahora es $X\sim \mathrm{N}({\mu }^{\prime },{\sigma }^2)$ con ${\mu }^{\prime }=753,29\dots$ y $\sigma =5,7120\dots$. Se pide la cola derecha $P(X>760)$. Con la CPG, usando límite inferior 760 y un límite superior muy lejano: $$P(X>760)=0,120$$

En el examen: cuando se desconoce un parámetro, los puntos se ganan al plantear la ecuación con la puntuación $z$ (por ejemplo $\frac{740-750}{\sigma }=z$) y al obtener $z$ con la normal inversa estándar; un valor de $\sigma$ pegado sin esa ecuación puede perder puntos de método. Comprueba el signo de $z$, usa $\sigma$ sin redondear en los apartados siguientes y da las respuestas con 3 cifras significativas y con unidades.