La distribución normal: media, desviación típica y tipificación

a) La campana es simétrica respecto a la media $\mu =40$, así que la mitad del área queda a la derecha: $$P(X>40)=\frac{1}{2}$$

b) El intervalo $30<X<50$ es $\mu -2\sigma <X<\mu +2\sigma$, porque $40-2\cdot 5=30$ y $40+2\cdot 5=50$. Por la regla 68-95-99,7 la probabilidad debe rondar 0,95. La CPG da: $$P(30<X<50)=0,954$$

c) Por simetría, la probabilidad que queda fuera de $\mu \pm 2\sigma$ se reparte a partes iguales entre las dos colas: $(1-0,954)/2\approx 0,023$. La CPG da con más precisión: $$P(X>50)=0,0228$$

a) $z=\frac{88-72}{8}=\frac{16}{8}=2$. La nota 88 está 2 desviaciones típicas por encima de la media.

b) $z=\frac{60-72}{8}=\frac{-12}{8}=-\frac{3}{2}$. La nota 60 está una desviación típica y media por debajo de la media.

c) Se despeja $x=\mu +z\sigma =72+(-0,5)\cdot 8=68$.

d) Como $z=2$, esta probabilidad coincide con $P(Z<2)$ en la normal estándar. La CPG da: $$P(X<88)=0,977$$ Interpretación: aproximadamente el 97,7 % de las personas que hacen la prueba obtienen menos de 88 puntos. Es coherente con la regla 68-95-99,7: por debajo de $\mu +2\sigma$ queda el 95 % central más la mitad del 5 % restante, es decir, un 97,5 % aproximado.

e) Se introducen los límites 60 y 80, la media 72 y la desviación típica 8 (no 64). La CPG da: $$P(60<X<80)=0,775$$

a) Se tipifica cada nota con su propia media y desviación típica: $$z_M=\frac{68-60}{6}=\frac{4}{3}\approx 1,33z_F=\frac{75-65}{10}=1$$

b) Con la CPG, introduciendo la media y la desviación típica de cada asignatura: $$P(M<68)=0,909P(F<75)=0,841$$ Es decir, supera al 90,9 % del grupo en Matemáticas y al 84,1 % en Física.

c) En Física tiene 10 puntos más que la media y en Matemáticas solo 8, pero las notas de Física están más dispersas ($\sigma =10$ frente a $\sigma =6$). Si se compara en desviaciones típicas, $z_M=\frac{4}{3}>z_F=1$: su nota de Matemáticas está relativamente más arriba. Ha destacado más en Matemáticas, y el porcentaje de alumnos a los que supera (90,9 % frente a 84,1 %) lo confirma.

d) Los límites son $48=60-2\cdot 6$ y $72=60+2\cdot 6$, es decir, $\mu \pm 2\sigma$. La CPG da: $$P(48<M<72)=0,954$$ que es el valor preciso de la regla del 95 %.

En el examen: cuando se pide comparar dos valores de distribuciones distintas, comparar las diferencias con la media no basta: hay que calcular los valores tipificados (o las probabilidades) y comparar esos números, y concluir en el contexto de las asignaturas. Escribe siempre qué media y desviación típica has usado en cada cálculo.