Ejercicios IB del tema 13

a) 1. $H_0$: el destino de vacaciones preferido es independiente del género.

b) 2. Hay $5$ destinos y $2$ géneros (hombres y mujeres): $$\nu =(5-1)(2-1)=4.$$

c) 3. El valor crítico de ${\chi }^2$ para $\nu =4$ al nivel de significación del $5\%$ (la tabla de la distribución ${\chi }^2$ o la calculadora, con área $0,05$ en la cola derecha) es $${\chi }_{\text{crit}}^2=9,49.$$

d) 4. Comparamos: ${\chi }_{\text{calc}}^2=8,73<9,49={\chi }_{\text{crit}}^2$. 5. Por tanto no se rechaza $H_0$: no hay evidencia, al $5\%$, de que el destino preferido dependa del género.

Resultado: a) $H_0$: el destino es independiente del género; b) $4$; c) $9,49$; d) como $8,73<9,49$, no se rechaza $H_0$

a) 1. $H_0$: el color del coche es independiente del sexo del conductor.

b) 2. Hay $5$ colores y $2$ sexos: $$\nu =(5-1)(2-1)=4.$$

c) 3. Valor crítico para $\nu =4$ y nivel del $5\%$ (cola derecha $0,05$): $${\chi }_{\text{crit}}^2=9,49.$$

d) 4. Comparamos: ${\chi }_{\text{calc}}^2=8,73<9,49$. 5. No se rechaza $H_0$ (hablando con rigor, no hay evidencia suficiente para rechazarla): al nivel del $5\%$ no se ha podido probar que el color del coche dependa del sexo del conductor.

Resultado: a) $H_0$: el color del coche es independiente del sexo del conductor; b) $4$; c) $9,49$; d) como $8,73<9,49$, no se rechaza $H_0$

a) (i) 1. La prueba ${\chi }^2$ de independencia parte de que no hay relación entre las variables:

$H_0$: el tipo de café que se bebe es independiente del sexo del entrevistado.

(ii) 2. $H_1$: el tipo de café que se bebe depende del sexo del entrevistado.

b) 3. La tabla de contingencia tiene $2$ filas (hombres y mujeres) y $5$ columnas (tipos de café). Los grados de libertad son $$\nu =(\text{filas}-1)(\text{columnas}-1)=(2-1)(5-1)=4.$$

c) 4. Con $\nu =4$ y un nivel de significación del $5\%$, el valor crítico (tablas o calculadora, ${\chi }^2$ inversa con área $0,05$ a la derecha) es $${\chi }_{\text{crit}}^2=9,49.$$

d) 5. Comparamos el estadístico con el valor crítico: ${\chi }_{\text{calc}}^2=8,73<9,49={\chi }_{\text{crit}}^2$. 6. Por tanto no se rechaza $H_0$: no hay evidencia suficiente, al $5\%$, de que el tipo de café dependa del sexo. Con estos datos, el tipo de café que bebe una persona es independiente de su sexo.

Resultado: a) (i) $H_0$: el tipo de café es independiente del sexo; (ii) $H_1$: el tipo de café depende del sexo; b) $4$; c) $9,49$; d) como $8,73<9,49$, no se rechaza $H_0$: el tipo de café es independiente del sexo

a) 1. $H_0$: el tipo de música elegida es independiente de la edad.

b) 2. Hay $3$ grupos de edad y $3$ tipos de música: $\nu =(3-1)(3-1)=4$.

c) 3. Con la calculadora, prueba ${\chi }^2$ de independencia con la matriz observada de $3\times 3$ (sin la fila y la columna de totales): $${\chi }_{\text{calc}}^2=51,6.$$

d) 4. Para $\nu =4$ y nivel del $5\%$, el valor crítico es $9,49$. 5. Como $51,6>9,49$ (y $p\approx 1,7\times 10^{-10}<0,05$), se rechaza $H_0$: hay evidencia de que el tipo de música favorito depende de la edad.

Resultado: a) $H_0$: el tipo de música es independiente de la edad; b) $4$; c) $51,6$; d) como $51,6>9,49$, se rechaza $H_0$

a) 1. La prueba ${\chi }^2$ de independencia contrasta si dos variables categóricas están relacionadas. Aquí, que los examinadores no difieran en su nivel de premios significa que el resultado no depende del examinador.

$H_0$: el resultado del examen (crédito, aprobado o suspendido) es independiente del examinador.

b) 2. La tabla de contingencia tiene $3$ filas (examinadores) y $3$ columnas (resultados): $$\text{g.l.}=(3-1)(3-1)=4.$$

c) 3. La frecuencia esperada de una casilla es $$\frac{\text{total de la fila}\times \text{total de la columna}}{\text{total general}}=\frac{45\cdot 30}{135}=10.$$

d) 4. Se compara el valor $p$ con el nivel de significación: $0,0327<0,05$. 5. Como $p<\alpha$, se rechaza $H_0$ (no se acepta): hay evidencia, al $5\%$, de que el resultado depende del examinador, es decir, los examinadores difieren en su nivel de premios.

Resultado: a) $H_0$: el resultado es independiente del examinador; b) $4$; c) $10$; d) como $0,0327<0,05$, se rechaza $H_0$

a)

La prueba ${\chi }^2$ de independencia parte de que no hay relación entre las dos variables:

$H_0$: el sexo es independiente del campo profesional elegido.

Resultado: $H_0$: el sexo es independiente del campo profesional elegido

b)

1. Totales de la tabla: hombres $55+30+25=110$; ingeniería $55+35=90$; total $220$.
2. La frecuencia esperada de una casilla es $\frac{\text{total de la fila}\cdot \text{total de la columna}}{\text{total general}}$:

$$E=\frac{110\cdot 90}{220}=45.$$

Resultado: $45$ ingenieros hombres

c)

1. Es una tabla de $2$ filas y $3$ columnas, así que los grados de libertad son $(2-1)(3-1)=2$.
2. Con la calculadora, prueba ${\chi }^2$ de independencia con la matriz observada $\left(\begin{array}{ccc}55& 30& 25\\ 35& 45& 30\end{array}\right)$: ${\chi }^2\approx 7,899$ y $p\approx 0,0193$.

Resultado: $p\approx 0,0193$

d)

1. Se rechaza $H_0$ solo si $p<\alpha$. Aquí $\alpha =0,01$ y $p=0,0193>0,01$.
2. Por tanto, con un nivel de significación del $1\%$ no hay evidencia suficiente para rechazar $H_0$: Abhinav se equivoca al rechazarla (no se puede concluir que el sexo influya en el campo profesional).

Resultado: a) $H_0$: el sexo es independiente del campo profesional; b) $45$; c) $p\approx 0,0193$; d) como $p=0,0193>0,01$, no se debe rechazar $H_0$, así que Abhinav se equivoca

a)

La fila del grado $10$ suma $74$: $31+x+13=74$, luego $x=74-44=30$.

Comprobación con la columna del zumo: $34+30+35+36=135$.

Resultado: $x=30$

b)

La tabla tiene $4$ filas (grados) y $3$ columnas (bebidas):

$$\text{g.l.}=(4-1)(3-1)=6.$$

Resultado: $6$ grados de libertad

c)

Con la calculadora, prueba ${\chi }^2$ de independencia con la matriz observada de $4\times 3$ (sin los totales):

$$\left(\begin{array}{ccc}25& 34& 15\\ 31& 30& 13\\ 18& 35& 17\\ 9& 36& 26\end{array}\right)$$

Se obtiene ${\chi }^2\approx 18,96\approx 19,0$ (con $p\approx 0,00422$).

Resultado: ${\chi }^2\approx 19,0$

d)

1. Comparamos el estadístico con el valor crítico: $19,0>12,6$ (equivalentemente, $p=0,00422<0,05$).
2. Por tanto, se rechaza $H_0$: a un nivel del $5\%$ hay evidencia de que la bebida preferida no es independiente del grado.

Resultado: a) $x=30$; b) $6$; c) ${\chi }^2\approx 19,0$; d) como $19,0>12,6$, se rechaza $H_0$: la bebida preferida depende del grado

a)

$H_0$: el destino preferido es independiente de la edad del viajero.

Resultado: $H_0$: el destino preferido es independiente de la edad

b)

La edad tiene $4$ categorías y el destino $5$, así que la tabla de contingencia es de $4\times 5$:

$$\text{g.l.}=(4-1)(5-1)=12.$$

Resultado: $12$ grados de libertad

c)

Se rechaza $H_0$ cuando el estadístico supera el valor crítico (o, lo que es lo mismo, cuando cae en la región de rechazo):

$${\chi }_{\text{calc}}^2>21,026.$$

Resultado: se rechaza $H_0$ para ${\chi }^2>21,026$

d)

1. Viajeros de $61$ años o más: $285$. Viajeros que prefieren Tokio: $420$. Total: $1200$.
2. Frecuencia esperada:

$$E=\frac{285\cdot 420}{1200}=99,75\approx 99,8.$$

Resultado: a) $H_0$: el destino preferido es independiente de la edad; b) $12$; c) se rechaza $H_0$ cuando ${\chi }^2>21,026$; d) $99,8$ viajeros

a)

1. Mujeres: $93$. Documentales: $54$. Total: $180$.
2. Frecuencia esperada:

$$E=\frac{93\cdot 54}{180}=27,9.$$

Resultado: $27,9$ mujeres

b)

Tabla de $2\times 4$ (sin los totales): con la calculadora, prueba ${\chi }^2$ de independencia con la matriz $\left(\begin{array}{cccc}20& 24& 32& 11\\ 18& 30& 20& 25\end{array}\right)$. Se obtiene ${\chi }^2\approx 8,80$, con $3$ grados de libertad, y el valor $p\approx 0,0321$.

Resultado: $p\approx 0,0321$

c)

1. $H_0$: el tipo de programa preferido es independiente del sexo.
2. Como $p=0,0321<0,05$, se rechaza $H_0$: a un nivel del $5\%$ hay evidencia de que el tipo de programa de TV preferido depende del sexo.

Resultado: a) $27,9$ mujeres; b) $p\approx 0,0321$; c) como $p<0,05$, se rechaza $H_0$ (el programa preferido no es independiente del sexo)

a)

1. Pacientes infectados: $100$. Planta Nightingale: $330$. Total: $1000$.
2. Frecuencia esperada:

$$E=\frac{100\cdot 330}{1000}=33.$$

Resultado: $33$ pacientes

b)

Con la calculadora, prueba ${\chi }^2$ de independencia con la matriz $\left(\begin{array}{cccc}44& 27& 13& 16\\ 281& 303& 182& 134\end{array}\right)$ ($2\times 4$, $3$ grados de libertad):

$${\chi }^2\approx 8,215\approx 8,21.$$

(El valor $p$ asociado es $\approx 0,0418$.)

Resultado: ${\chi }^2\approx 8,21$

c)

1. Comparamos con el valor crítico: $8,215>7,815$ (equivalentemente, $p\approx 0,0418<0,05$).
2. Se rechaza $H_0$: a un nivel del $5\%$ hay evidencia de que contraer una infección depende de la planta en la que se ingresa.

Resultado: a) $33$; b) ${\chi }^2\approx 8,21$; c) como $8,21>7,815$, se rechaza $H_0$

a)

$H_0$: el tipo de baile latino preferido es independiente de la edad (de ser de $20$ años o menos o de más de $20$).

Resultado: $H_0$: el baile preferido es independiente de la edad

b)

1. Más de $20$ años: $20+17+18+15=70$. Rumba: $12+18=30$. Total: $150$.
2. Frecuencia esperada:

$$E=\frac{70\cdot 30}{150}=14.$$

Resultado: $14$ espectadores

c)

Con la calculadora, prueba ${\chi }^2$ de independencia con la matriz $\left(\begin{array}{cccc}35& 23& 12& 10\\ 20& 17& 18& 15\end{array}\right)$ ($3$ grados de libertad): ${\chi }^2\approx 6,55$ y $p\approx 0,0876$.

Resultado: $p\approx 0,0876$

d)

1. Como $p=0,0876>0,05$, no se rechaza $H_0$.
2. No hay evidencia suficiente, al nivel del $5\%$, para rechazar la independencia: la afirmación del productor está justificada (los datos son compatibles con que el baile preferido no dependa de la edad).

Resultado: a) $H_0$: el baile preferido es independiente de la edad; b) $14$; c) $p\approx 0,0876$; d) como $p>0,05$, no se rechaza $H_0$, así que la afirmación está justificada

a)

Chicos: $15+15+10=40$. Chicas: $10+10+30=50$. Total: $40+50=90$.

Resultado: $90$ estudiantes

b)

$H_0$: el sexo y la bebida preferida son independientes.

Resultado: $H_0$: el sexo y la bebida preferida son independientes

c)

Con la calculadora, prueba ${\chi }^2$ de independencia con la matriz $\left(\begin{array}{ccc}15& 15& 10\\ 10& 10& 30\end{array}\right)$ ($2$ grados de libertad):

$${\chi }^2=11,025\approx 11,0(p\approx 0,00404).$$

Resultado: ${\chi }^2\approx 11,0$

d)

1. Comparamos con el valor crítico: $11,025>5,99$.
2. Se rechaza $H_0$: a un nivel del $5\%$ hay evidencia de que la bebida preferida depende del sexo.

Resultado: a) $90$; b) $H_0$: el sexo y la bebida preferida son independientes; c) ${\chi }^2\approx 11,0$; d) como $11,0>5,99$, se rechaza $H_0$

a)

$H_0$: el país elegido para los estudios universitarios es independiente del género.

Resultado: $H_0$: el país elegido es independiente del género

b)

La tabla tiene $2$ filas y $3$ columnas: $\text{g.l.}=(2-1)(3-1)=2$.

Resultado: $2$ grados de libertad

c)

Con la calculadora, prueba ${\chi }^2$ de independencia con la matriz $\left(\begin{array}{ccc}55& 26& 40\\ 25& 31& 41\end{array}\right)$:

(i) ${\chi }^2\approx 9,17$.

(ii) $p\approx 0,0102$.

Resultado: (i) ${\chi }^2\approx 9,17$; (ii) $p\approx 0,0102$

d)

1. Comparamos con el valor crítico: $9,17<9,210$ (equivalentemente, $p=0,0102>0,01$).
2. No se rechaza $H_0$ (se acepta): al nivel del $1\%$ no hay evidencia suficiente de que el país elegido dependa del género.

Resultado: a) $H_0$: el país elegido es independiente del género; b) $2$; c) (i) ${\chi }^2\approx 9,17$, (ii) $p\approx 0,0102$; d) como $9,17<9,210$ (o $p>0,01$), se acepta $H_0$

a) 1. Si $H_0$ es cierta (forma de ir al colegio independiente del sexo), la frecuencia esperada de cada casilla es $$E=\frac{\text{total de la fila}\cdot \text{total de la columna}}{\text{total general}}.$$ 2. Chicas que van en transporte público: fila «Chicas» ($48$) y columna «Transporte público» ($30$): $$E=\frac{48\cdot 30}{100}=14,4.$$

b) 3. Calculamos con el mismo método todas las frecuencias esperadas:

4. Aplicamos ${\chi }^2=\sum \frac{(O-E{)}^2}{E}$ a las ocho casillas (o, directamente, la prueba ${\chi }^2$ de independencia de la calculadora de pantalla gráfica con la matriz de frecuencias observadas): $${\chi }^2=\frac{(18-12,96{)}^2}{12,96}+\frac{(13-14,4{)}^2}{14,4}+\cdots +\frac{(16-9,88{)}^2}{9,88}\approx 12,955.$$ Es decir, ${\chi }^2\approx 13,0$.

c) 5. Regla de decisión: se rechaza $H_0$ si ${\chi }_{\text{calc}}^2>{\chi }_{\text{crit}}^2$. 6. Aquí $12,955>7,815$, así que se rechaza $H_0$ (no se acepta). Hay evidencia, al nivel del $5\%$, de que la forma de ir al colegio depende del sexo del alumno.

Resultado: a) $14,4$; b) ${\chi }^2\approx 13,0$; c) como $12,955>7,815$, se rechaza $H_0$: la forma de ir al colegio depende del sexo

a) 1. La hipótesis nula afirma que no hay relación entre las variables:

$H_0$: la elección de la merienda matutina es independiente del género del estudiante.

b) 2. Hay $3$ meriendas (manzana, ensalada de frutas, batido) y $2$ géneros. Los grados de libertad son $$\nu =(\text{filas}-1)(\text{columnas}-1)=(3-1)(2-1)=2.$$

c) 3. Total de estudiantes: $350$; mujeres: $210$; batidos: $150$. Con la fórmula de la frecuencia esperada bajo $H_0$: $$E=\frac{210\cdot 150}{350}=90.$$ Se esperan $90$ mujeres que eligen batido.

d) 4. Comparamos el estadístico con el valor crítico: ${\chi }_{\text{calc}}^2=3,576<5,99$. 5. Como no supera el valor crítico, no se rechaza $H_0$. Con un nivel de significación del $5\%$ no hay evidencia suficiente de relación: la elección de la merienda matutina es independiente del género de los estudiantes.

Resultado: a) $H_0$: la merienda matutina es independiente del género; b) $2$; c) $90$; d) como $3,576<5,99$, no se rechaza $H_0$: la merienda no depende del género

a) 1. $H_0$: el rendimiento del cultivo es independiente de la marca de fertilizante.

b) 2. Tabla de $3$ filas (rendimientos) y $3$ columnas (marcas): $$\nu =(3-1)(3-1)=4.$$

c) 3. Para $\nu =4$ y nivel de significación del $1\%$ (cola derecha $0,01$) el valor crítico es $${\chi }_{\text{crit}}^2=13,277.$$

d) 4. Cultivos de rendimiento medio (total $50$) con fertilizante C (total $40$), sobre $120$ cultivos: $$E=\frac{50\cdot 40}{120}=16,\overline{6}\approx 17.$$

e) 5. Con la calculadora de pantalla gráfica, prueba ${\chi }^2$ de independencia con la matriz de frecuencias observadas ($3\times 3$):

(i) ${\chi }_{\text{calc}}^2\approx 3,86$ (exacto: $3,8613\dots$).

(ii) $p\approx 0,425$.

f) 6. ${\chi }_{\text{calc}}^2=3,86<13,277$ y, equivalentemente, $p=0,425>0,01$. 7. No se rechaza $H_0$: al nivel del $1\%$ no hay evidencia de que el rendimiento dependa de la marca de fertilizante.

Resultado: a) $H_0$: el rendimiento es independiente del fertilizante; b) $4$; c) $13,277$; d) $16,67\approx 17$; e) (i) $3,86$; (ii) $0,425$; f) no se rechaza $H_0$ ($3,86<13,277$; $p>0,01$)

a) 1. $H_0$: el estilo de natación preferido es independiente del género del espectador.

b) 2. Hay $4$ estilos y $2$ géneros: $$\nu =(4-1)(2-1)=3.$$

c) 3. Introducimos la tabla de frecuencias observadas ($4\times 2$) como matriz en la calculadora de pantalla gráfica y realizamos la prueba ${\chi }^2$ de independencia. También se puede hacer a mano: los totales son $60$ hombres y $120$ mujeres, y los totales por estilo son $35,50,45,50$. Las frecuencias esperadas son, por ejemplo, $E=\frac{35\cdot 60}{180}=11,67$ para hombres y estilo libre. La suma de $\frac{(O-E{)}^2}{E}$ da $${\chi }_{\text{calc}}^2\approx 16,4(16,43\dots ).$$

d) 4. Comparamos con el valor crítico: $16,4>7,815$. 5. Se rechaza $H_0$: al nivel del $5\%$ hay evidencia de que el estilo de natación preferido depende del género.

Resultado: a) $H_0$: el estilo preferido es independiente del género; b) $3$; c) ${\chi }_{\text{calc}}^2\approx 16,4$; d) como $16,4>7,815$, se rechaza $H_0$

a) 1. $H_0$: la elección de la profesión (ingeniería, medicina o derecho) es independiente del sexo de la persona.

b) 2. $3$ profesiones y $2$ sexos: $$\nu =(3-1)(2-1)=2.$$

c) 3. Total $400$; mujeres $180$; ingenieros (ambos sexos) $80$. Frecuencia esperada de ingenieras bajo $H_0$: $$E=\frac{180\cdot 80}{400}=36.$$

d) 4. Comparamos el valor $p$ con el nivel de significación: $p=0,0634>0,05$. 5. No se rechaza $H_0$: al nivel del $5\%$ no hay evidencia suficiente de que la profesión elegida dependa del sexo.

Resultado: a) $H_0$: la profesión elegida es independiente del sexo; b) $2$; c) $36$; d) no se rechaza $H_0$ ($p=0,0634>0,05$)

a) 1. La tabla tiene $3$ filas (edades) y $4$ columnas (bebidas): $$\nu =(3-1)(4-1)=6.$$

b) 2. $H_0$: la bebida preferida para desayunar es independiente de la edad.

c) 3. Con $\nu =6$ y nivel de significación del $5\%$, el valor crítico es $${\chi }_{\text{crit}}^2=12,6.$$

d) 4. El estadístico es ${\chi }_{\text{calc}}^2=146$, mucho mayor que el valor crítico $12,6$. 5. De forma equivalente, el valor $p=6,62\times 10^{-29}$ es menor que $\alpha =0,05$. 6. Se rechaza $H_0$: al nivel del $5\%$ hay evidencia de que la bebida elegida para desayunar depende de la edad.

Resultado: a) $6$; b) $H_0$: la bebida para desayunar es independiente de la edad; c) $12,6$; d) se rechaza $H_0$ (porque $146>12,6$, o porque $p<0,05$)

a) 1. $H_0$: la altura de las plantas es independiente del uso de fertilizante.

$H_1$: la altura de las plantas depende del uso de fertilizante (el fertilizante tiene efecto).

b) 2. Frecuencia esperada $=\frac{\text{total de la fila}\times \text{total de la columna}}{\text{total general}}$. 3. Plantas con más de $75$ cm: $115+80=195$. Plantas fertilizadas: $115+45+20=180$. Total: $195+110+55=360$. $$E=\frac{195\cdot 180}{360}=97,5.$$

c) 4. Con la calculadora, prueba ${\chi }^2$ de independencia con la matriz observada de $3\times 2$: $${\chi }_{\text{calc}}^2=14,0$$ (valor sin redondear $14,009\dots$).

d) 5. $\nu =(3-1)(2-1)=2$.

e) 6. Para $\nu =2$ y nivel de significación del $1\%$: ${\chi }_{\text{crit}}^2=9,21$.

f) 7. Como ${\chi }_{\text{calc}}^2=14,0>9,21={\chi }_{\text{crit}}^2$, se rechaza $H_0$ (equivalentemente, $p=0,000908<0,01$). 8. Hay evidencia, al $1\%$, de que la altura depende del fertilizante: la afirmación del fabricante está justificada.

Resultado: a) $H_0$: la altura es independiente del fertilizante; $H_1$: la altura depende del fertilizante; b) $97,5$; c) $14,0$; d) $2$; e) $9,21$; f) se rechaza $H_0$ ($14,0>9,21$): la afirmación está justificada

a) 1. Total de varones: $14+6+8=28$.

b) 2. Total de alumnos que prefieren azul: $14+31=45$; total general: $100$. $$E=\frac{28\cdot 45}{100}=12,6.$$

c) (i) 3. $H_0$: el color de coche preferido es independiente del género.

(ii) 4. La tabla tiene $2$ filas y $3$ columnas: $\nu =(2-1)(3-1)=2$.

(iii) 5. Para $\nu =2$ y nivel del $5\%$: ${\chi }_{\text{crit}}^2=5,99$.

(iv) 6. Como ${\chi }_{\text{calc}}^2=1,367<5,99$ (el valor $p$ es $0,505>0,05$), no se rechaza $H_0$. 7. Se acepta $H_0$: los datos no muestran, al $5\%$, una diferencia entre varones y mujeres en el color de coche preferido; la diferencia aparente puede deberse al azar.

Resultado: a) $28$; b) $12,6$; c) (i) $H_0$: el color preferido es independiente del género; (ii) $2$; (iii) $5,99$; (iv) como $1,367<5,99$, no se rechaza $H_0$

a) 1. $H_0$: el tamaño del perro que pasea por el parque es independiente del momento del día.

b) 2. Con la calculadora, prueba ${\chi }^2$ de independencia con la matriz de $3\times 3$ de los datos: $${\chi }_{\text{calc}}^2=4,33$$ (valor sin redondear $4,328\dots$; $p=0,363$).

c) 3. La tabla tiene $3$ filas y $3$ columnas: $$\nu =(3-1)(3-1)=2\cdot 2=4.$$

d) 4. Como $4,33<9,488$, el estadístico no supera el valor crítico, así que no se rechaza $H_0$. 5. Conclusión: con un nivel del $5\%$ no hay evidencia de relación entre el tamaño de los perros y el momento del día; son independientes.

Resultado: a) $H_0$: el tamaño del perro es independiente del momento del día; b) $4,33$; c) $(3-1)(3-1)=4$; d) como $4,33<9,488$, no se rechaza $H_0$

a) 1. Ignorando la edad, sumamos las filas de cada género:

Hombres: $22+36=58$; $65+54=119$; $90+67=157$; $35+17=52$.

Mujeres: $22+64=86$; $59+39=98$; $82+38=120$; $15+46=61$.

Comprobación: total de hombres $386$, de mujeres $365$, general $751$.

b) 2. $H_0$: el tipo de programa más visto es independiente del género.

$H_1$: el tipo de programa más visto depende del género.

c) 3. Mujeres: $365$. Columna «Comedia»: $119+98=217$. $$E=\frac{365\cdot 217}{751}=105,5\dots \approx 105.$$

d) 4. Con la calculadora, prueba ${\chi }^2$ de independencia con la matriz observada de $2\times 4$: $${\chi }_{\text{calc}}^2=12,6$$ (valor sin redondear $12,558\dots$).

e) (i) 5. $\nu =(2-1)(4-1)=3$.

(ii) 6. Para $\nu =3$ y nivel del $5\%$: ${\chi }_{\text{crit}}^2=7,81$.

(iii) 7. Como $12,6>7,81$ (y $p=0,00570<0,05$), se rechaza $H_0$: hay evidencia de que el tipo de programa más visto depende del género.

Resultado: a) tabla de $2\times 4$ con los totales por género; b) $H_0$: el tipo de programa es independiente del género; $H_1$: depende del género; c) $105$; d) $12,6$; e) (i) $3$; (ii) $7,81$; (iii) como $12,6>7,81$, se rechaza $H_0$

a) 1. $H_0$: la edad del cliente (adulto o niño) es independiente del plato elegido.

b) 2. La tabla tiene $2$ filas y $3$ columnas: $$\text{g.l.}=(2-1)(3-1)=2.$$

c) 3. Esperado de niños que eligen marisco $=\frac{\text{total nin˜os}\times \text{total marisco}}{\text{total}}$: $$\frac{69\cdot 67}{150}=30,82\dots \approx 31.$$

d) 4. Con la calculadora de pantalla gráfica, prueba ${\chi }^2$ de independencia con la matriz de frecuencias observadas ($2\times 3$):

(i) ${\chi }^2=2,66$ (sin redondear, $2,6575$).

(ii) $p=0,265$.

e) 5. El estadístico es menor que el valor crítico: $2,66<4,605$ (equivalentemente, $p=0,265>0,10$). 6. No se rechaza $H_0$: no hay evidencia, al $10\%$, de que el plato elegido dependa de la edad del cliente.

f) 7. (i) Hay $81$ adultos entre $150$ clientes: $$P(\text{adulto})=\frac{81}{150}=0,54.$$

8. (ii) Por el principio de inclusión-exclusión, restando los adultos que eligieron marisco ($32$): $$P(\text{adulto o marisco})=\frac{81+67-32}{150}=\frac{116}{150}=0,773.$$

9. (iii) Dado que es niño, el espacio muestral son los $69$ niños; de ellos, $20+14=34$ eligieron pasta o pescado: $$P(\text{pasta o pescado}\mid \text{nin˜o})=\frac{34}{69}=0,493.$$

Resultado: a) $H_0$: la edad es independiente del plato elegido; b) $2$; c) $30,82\approx 31$; d) (i) $2,66$; (ii) $0,265$; e) no se rechaza $H_0$ ($2,66<4,605$); f) (i) $0,54$; (ii) $0,773$; (iii) $0,493$

a) 1. $H_0$: el idioma que estudia el alumno es independiente de su sexo.

b) 2. La tabla tiene $2$ filas (sexo) y $3$ columnas (idioma): $$\text{g.l.}=(2-1)(3-1)=2.$$

c) 3. (i) Frecuencia esperada de mujeres que estudian chino: $$\frac{43\cdot 42}{110}=16,418\dots \approx 16,4.$$ (La calculadora la muestra en la matriz de frecuencias esperadas al realizar la prueba ${\chi }^2$.)

4. (ii) Con la calculadora de pantalla gráfica, prueba ${\chi }^2$ de independencia con la matriz observada $2\times 3$: ${\chi }^2=8,69$ (sin redondear, $8,685$).

d) 5. Se compara con el valor crítico: $8,69>5,99$. 6. Se rechaza $H_0$: hay evidencia, al nivel del $5\%$, de que el idioma elegido depende del sexo del alumno.

e) 7. (i) No estudian español $110-22=88$ alumnos: $$P(\text{no espan˜ol})=\frac{88}{110}=0,8.$$

8. (ii) El segundo alumno es otro distinto, de modo que no se repone el primero: quedan $109$ alumnos y $87$ que no estudian español: $$P(\text{ninguno estudia espan˜ol})=\frac{88}{110}\cdot \frac{87}{109}=0,639.$$

9. (iii) «Al menos una mujer» es el complementario de «los dos son hombres» (hay $67$ hombres): $$P=1-\frac{67}{110}\cdot \frac{66}{109}=1-0,369=0,631.$$

Resultado: a) $H_0$: el idioma es independiente del sexo; b) $2$; c) (i) $16,4$; (ii) $8,69$; d) se rechaza $H_0$ ($8,69>5,99$); e) (i) $0,8$; (ii) $0,639$; (iii) $0,631$

a) 1. (i) Hay $18$ respuestas de Cálculo entre $90$: $$P=\frac{18}{90}=0,2.$$

2. (ii) Respuestas satisfactorias de Cálculo: $10$: $$P=\frac{10}{90}=0,111.$$

3. (iii) Condicionada a Cálculo, el espacio muestral son sus $18$ respuestas: $$P=\frac{10}{18}=0,556.$$

b) 4. En Lógica hay $20$ respuestas, $6$ no satisfactorias. Se eligen dos sin reposición: $$P=\frac{6}{20}\cdot \frac{5}{19}=\frac{30}{380}=0,0789.$$

c) 5. $H_0$: la calidad de la respuesta (satisfactoria o no) es independiente de la pregunta (unidad) a la que corresponde.

d) 6. Esperado de satisfactorias en Cálculo: $$\frac{60\cdot 18}{90}=12.$$

e) 7. La tabla tiene $2$ filas y $4$ columnas: $$\text{g.l.}=(2-1)(4-1)=3.$$

f) 8. Con la calculadora de pantalla gráfica, prueba ${\chi }^2$ de independencia con la matriz observada $2\times 4$: ${\chi }^2=1,46$ (sin redondear, $1,4636$).

g) 9. Como $1,46<7,815$, no se rechaza $H_0$: no hay evidencia, al $5\%$, de que la calidad de la respuesta dependa de la pregunta.

Resultado: a) (i) $0,2$; (ii) $0,111$; (iii) $0,556$; b) $0,0789$; c) $H_0$: la calidad es independiente de la pregunta; d) $12$; e) $3$; f) $1,46$; g) no se rechaza $H_0$ ($1,46<7,815$)

a) 1. $H_0$: la elección de deporte es independiente del género.

b) 2. Esperado de futbolistas (mujeres que juegan al fútbol): $$\frac{85\cdot 48}{120}=34.$$

c) 3. Tabla $2\times 3$: $$\text{g.l.}=(2-1)(3-1)=2.$$

d) 4. Con $2$ grados de libertad y nivel del $5\%$, el valor crítico es ${\chi }_{\text{crit}}^2=5,99$.

e) 5. Con la calculadora de pantalla gráfica, prueba ${\chi }^2$ de independencia con la matriz observada $2\times 3$: ${\chi }_{\text{calc}}^2=2,42$ (sin redondear, $2,421$).

f) 6. Como $2,42<5,99$, no se rechaza $H_0$: no hay evidencia, al $5\%$, de que la elección de deporte dependa del género.

g) 7. (i) $P(\text{hombre})=\frac{35}{120}=0,292$.

8. (ii) $P(\text{tenis})=\frac{25}{120}=0,208$.

h) 9. (i) Dos estudiantes distintos, sin reposición ($48$ juegan al fútbol): $$P=\frac{48}{120}\cdot \frac{47}{119}=0,158.$$

10. (ii) No juegan al baloncesto $120-47=73$: $$P=\frac{73}{120}\cdot \frac{72}{119}=0,368.$$

Resultado: a) $H_0$: la elección de deporte es independiente del género; b) $34$; c) $2$; d) $5,99$; e) $2,42$; f) no se rechaza $H_0$ ($2,42<5,99$); g) (i) $0,292$; (ii) $0,208$; h) (i) $0,158$; (ii) $0,368$

a) 1. (i) No prefieren Zucos $400-120=280$ personas: $$P=\frac{280}{400}=0,7.$$

2. (ii) Condicionada a Montevideo (espacio muestral: $210$ personas), $57$ prefieren Chocos: $$P=\frac{57}{210}=0,271.$$

b) 3. Prefieren Fruti $180$ personas. Se eligen dos distintas (sin reposición): $$P=\frac{180}{400}\cdot \frac{179}{399}=0,202.$$

c) 4. $H_0$: la marca de cereal preferida es independiente de la ciudad.

d) 5. Tabla $2\times 3$: $\text{g.l.}=(2-1)(3-1)=2$.

e) 6. Esperado de personas de Montevideo que prefieren Zucos: $$\frac{210\cdot 120}{400}=63.$$

f) 7. Con la calculadora de pantalla gráfica, prueba ${\chi }^2$ de independencia con la matriz observada $2\times 3$: ${\chi }^2=39,3$ (sin redondear, $39,31$).