IB Aplicaciones e Interpretación NM · Pruebas chi cuadrado y t de Student · Apartado 2 de 3

Prueba chi cuadrado de bondad de ajuste

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

La prueba de bondad de ajuste responde a una pregunta: ¿los datos que he recogido encajan con una distribución que alguien afirma? Un dado que se supone equilibrado, unas proporciones anunciadas por un fabricante, un reparto uniforme de llamadas a lo largo de la semana. Comparas las frecuencias observadas con las que esperarías si la afirmación fuera cierta, las resumes en el estadístico $χ^{2}$ y decides con el valor $p$ . En el examen del IB te piden plantear las hipótesis, hallar las frecuencias esperadas y los grados de libertad, leer $χ^{2}$ y $p$ en la calculadora y concluir en el contexto del problema.

Qué se contrasta

En la prueba de independencia tenías una tabla con dos variables. Aquí hay una sola variable categórica, con $n$ categorías, y una distribución propuesta de antemano que se quiere comprobar.

La distribución propuesta puede ser uniforme (todas las categorías igual de probables) o con proporciones dadas (por ejemplo, 50 %, 30 % y 20 %).

Frecuencias esperadas

Si $H_{0}$ es cierta y la muestra tiene $N$ datos en total, la frecuencia esperada de cada categoría es $N$ por la probabilidad que $H_{0}$ le asigna.

El estadístico, los grados de libertad y la decisión

Con $χ_{calc}^{2}$ y los grados de libertad, se decide de dos formas equivalentes, ambas a un nivel de significación $α$ (normalmente 5 %, es decir, $α = 0, 05$ ):

Con el valor $p$ : si $p < α$ , se rechaza $H_{0}$ ; si $p \geq α$ , no se rechaza.
Con el valor crítico: si $χ_{calc}^{2}$ supera el valor crítico de la distribución $χ^{2}$ con esos grados de libertad, se rechaza $H_{0}$ . Es la misma regla, porque el valor crítico es el que deja a su derecha un área $α$ .

Densidad de la distribución chi cuadrado con 3 grados de libertad, asimétrica y con cola larga a la derecha: el valor crítico 7,81 deja a su derecha un área de 0,05, zona de rechazo de H₀, y a su izquierda no se rechaza H₀

La cola es siempre la derecha: la prueba rechaza solo cuando $χ_{calc}^{2}$ es grande, porque un valor muy pequeño indica un ajuste casi perfecto, no un desajuste.

Método · Cómo se hace una prueba de bondad de ajuste

Escribe $H_{0}$ y $H_{1}$ en el contexto del problema, y anota el nivel de significación.
Calcula las frecuencias esperadas: $f_{e} = N \cdot p_{i}$ (o $N / n$ si es uniforme). Comprueba que suman $N$ .
Comprueba que todas las frecuencias esperadas son al menos 5. Si alguna es menor, la aproximación no es fiable: el enunciado suele indicar que se agrupen categorías.
Anota los grados de libertad, $n - 1$ .
Con la calculadora, introduce las frecuencias observadas y las esperadas y pide la prueba de bondad de ajuste con esos grados de libertad. Anota $χ_{calc}^{2}$ y $p$ .
Compara $p$ con el nivel de significación (o $χ_{calc}^{2}$ con el valor crítico) y decide: se rechaza o no se rechaza $H_{0}$ .
Redacta la conclusión en el contexto: qué se puede afirmar sobre el dado, el reparto o las proporciones.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Un dado de seis caras

Un alumno sospecha que un dado de seis caras está trucado. Lo lanza 120 veces y obtiene las siguientes frecuencias:

Cara	1	2	3	4	5	6
Frecuencia	15	22	18	25	17	23

Realiza una prueba chi cuadrado de bondad de ajuste, al nivel de significación del 5 %, para decidir si el dado es equilibrado.

a) Escribe las hipótesis y halla la frecuencia esperada de cada cara.

b) Indica los grados de libertad.

c) Halla $χ_{calc}^{2}$ y el valor $p$ .

d) Concluye en el contexto.

Solución

a) $H_{0}$ : el dado es equilibrado (cada cara tiene probabilidad $\frac{1}{6}$ ). $H_{1}$ : el dado no es equilibrado.

Si es equilibrado, la frecuencia esperada de cada cara es $f_{e} = \frac{120}{6} = 20$ Es mayor que 5, así que se puede aplicar la prueba.

b) Hay 6 categorías: $gl = 6 - 1 = 5$ .

c) Se suman las contribuciones de las seis caras: $χ_{calc}^{2} = \frac{( 15 - 20 ) ^{2} + ( 22 - 20 ) ^{2} + ( 18 - 20 ) ^{2} + ( 25 - 20 ) ^{2} + ( 17 - 20 ) ^{2} + ( 23 - 20 ) ^{2}}{20} = \frac{76}{20} = 3, 80$ La calculadora, con las listas observada y esperada y 5 grados de libertad, da $χ^{2} = 3, 80$ y $p = 0, 579$ .

d) Como $p = 0, 579 > 0, 05$ , no se rechaza $H_{0}$ . (Con el valor crítico es lo mismo: $3, 80 < 11, 07$ , que es el valor crítico para 5 grados de libertad al 5 %.) No hay evidencia suficiente para afirmar que el dado esté trucado: las diferencias observadas son compatibles con el azar.

Ejemplo 2 Medio

Proporciones anunciadas de caramelos

Un fabricante anuncia que, en cada bolsa de caramelos, el 50 % son rojos, el 30 % verdes y el 20 % amarillos. Una cliente abre bolsas, junta 200 caramelos y cuenta 126 rojos, 46 verdes y 28 amarillos. Quiere saber, al nivel de significación del 5 %, si los datos son coherentes con lo que anuncia el fabricante.

a) Escribe las hipótesis y calcula las frecuencias esperadas de rojos, verdes y amarillos.

b) Indica los grados de libertad.

c) Halla $χ_{calc}^{2}$ y el valor $p$ .

d) Concluye en el contexto.

Solución

a) $H_{0}$ : las proporciones son las anunciadas (0,5; 0,3 y 0,2). $H_{1}$ : las proporciones no son las anunciadas.

Las frecuencias esperadas salen de multiplicar el total por cada proporción: $f_{e} (rojo) = 200 \cdot 0, 5 = 100 f_{e} (verde) = 200 \cdot 0, 3 = 60 f_{e} (amarillo) = 200 \cdot 0, 2 = 40$ Suman 200 y todas son mayores que 5.

b) Hay 3 categorías: $gl = 3 - 1 = 2$ .

c) $χ_{calc}^{2} = \frac{( 126 - 100 ) ^{2}}{100} + \frac{( 46 - 60 ) ^{2}}{60} + \frac{( 28 - 40 ) ^{2}}{40} = 6, 76 + 3, 267 + 3, 6 = 13, 6$ La calculadora da $χ^{2} = 13, 6$ y $p = 0, 00110$ .

d) Como $p = 0, 00110 < 0, 05$ , se rechaza $H_{0}$ . (El valor crítico para 2 grados de libertad al 5 % es $5, 99$ , y $13, 6 > 5, 99$ .) Hay evidencia de que las proporciones de colores de las bolsas no son las que anuncia el fabricante. Los rojos aparecen bastante más de lo esperado, y los verdes y amarillos, menos.

Ejemplo 3 Difícil

Preferencias en un comedor escolar: el nivel de significación importa

En un comedor escolar hay cuatro menús. El encargado cree que las preferencias de los 200 alumnos que comen allí están en la proporción $1 : 2 : 3 : 4$ (menú A : menú B : menú C : menú D). Un día se anota la elección de cada alumno. Los menús A, B y C fueron elegidos por 28, 30 y 54 alumnos, respectivamente. Todos los alumnos eligieron un menú.

a) Halla cuántos alumnos eligieron el menú D.

b) Calcula las frecuencias esperadas de los cuatro menús si el encargado tiene razón.

c) Indica los grados de libertad.

d) Halla $χ_{calc}^{2}$ .

e) Halla el valor $p$ .

f) Para cada nivel de significación, 5 % y 10 %, indica si se rechaza o no la hipótesis nula de que las preferencias siguen la proporción $1 : 2 : 3 : 4$ .

Solución

a) Los 200 alumnos eligieron algún menú, así que el menú D lo eligieron $200 - (28 + 30 + 54) = 88$

b) La proporción $1 : 2 : 3 : 4$ suma $1 + 2 + 3 + 4 = 10$ , así que las probabilidades según el encargado son $0, 1$ , $0, 2$ , $0, 3$ y $0, 4$ . Las frecuencias esperadas son $f_{e} = 200 \cdot (0, 1; 0, 2; 0, 3; 0, 4) = (20, 40, 60, 80)$ Todas son mayores que 5.

c) Hay 4 categorías: $gl = 4 - 1 = 3$ . Las hipótesis son $H_{0}$ : las preferencias siguen la proporción $1 : 2 : 3 : 4$ ; $H_{1}$ : no la siguen.

d) $χ_{calc}^{2} = \frac{( 28 - 20 ) ^{2}}{20} + \frac{( 30 - 40 ) ^{2}}{40} + \frac{( 54 - 60 ) ^{2}}{60} + \frac{( 88 - 80 ) ^{2}}{80} = 3, 2 + 2, 5 + 0, 6 + 0, 8 = 7, 1$

e) Con 3 grados de libertad, la calculadora da $p = 0, 0688$ .

f) Se compara $p = 0, 0688$ con cada nivel:

Al 5 %: $0, 0688 > 0, 05$ , luego no se rechaza $H_{0}$ . (Valor crítico $7, 81 > 7, 1$ .)
Al 10 %: $0, 0688 < 0, 10$ , luego se rechaza $H_{0}$ . (Valor crítico $6, 25 < 7, 1$ .)

La conclusión depende del nivel elegido: con un riesgo de error del 5 % no hay evidencia suficiente contra el encargado; aceptando un riesgo del 10 %, sí la hay. Un valor $p$ así de cercano a los umbrales indica un caso dudoso, y conviene recoger más datos antes de decidir.

En el examen: el nivel de significación se fija antes de ver los datos y viene en el enunciado; no lo elijas tú para que salga la conclusión que te conviene. Se puntúa escribir las hipótesis, las frecuencias esperadas, los grados de libertad, el valor $p$ y la comparación explícita $p$ con $α$ , y terminar con una conclusión en el contexto («los datos no se ajustan a la proporción del encargado»), no solo «se rechaza $H_{0}$ ».

Errores típicos

Resumen

Bondad de ajuste: una variable con $n$ categorías y una distribución propuesta. $H_{0}$ : los datos siguen esa distribución; $H_{1}$ : no la siguen.
Frecuencias esperadas: $f_{e} = N \cdot p_{i}$ (uniforme: $N / n$ ). Suman $N$ y deben ser todas $\geq 5$ .
Estadístico: $χ_{calc}^{2} = \sum \frac{( f _{o} - f _{e} ) ^{2}}{f _{e}}$ . Grados de libertad: $n - 1$ .
Se rechaza $H_{0}$ si $p < α$ (equivale a $χ_{calc}^{2} >$ valor crítico). Solo cuenta la cola derecha.
La CPG da $χ^{2}$ y $p$ a partir de las listas observada y esperada; el planteamiento lo escribes tú.
Concluye siempre en el contexto, y con $p \geq α$ di «no hay evidencia para rechazar $H_{0}$ », no «queda demostrado».

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