Prueba chi cuadrado de independencia

Hipótesis: $H_0$: desayunar y ser puntual son independientes; $H_1$: no son independientes. Hay 2 filas y 2 columnas, así que $\text{gl}=(2-1)(2-1)=1$.

a) Totales: la fila «desayunan» suma $100$, la columna «puntuales» suma $78+52=130$ y $n=200$. $$f_e=\frac{100\cdot 130}{200}=65$$

b) Las otras frecuencias esperadas son $35$ (desayunan, no puntuales), $65$ (no desayunan, puntuales) y $35$ (no desayunan, no puntuales). Entonces $${\chi }_{\text{calc}}^2=\frac{(78-65{)}^2}{65}+\frac{(22-35{)}^2}{35}+\frac{(52-65{)}^2}{65}+\frac{(48-35{)}^2}{35}=2,6+4,829+2,6+4,829=14,9$$

c) Con 1 grado de libertad, la CPG da $p=0,000116$.

d) Como $p=0,000116<0,05$ (equivalentemente, $14,9>3,84$, el valor crítico para $\text{gl}=1$ y $\alpha =0,05$), se rechaza $H_0$. Hay evidencia de que desayunar y llegar puntual están relacionados.

$H_0$: el tipo de libro es independiente del grupo de edad; $H_1$: depende del grupo de edad.

a) Totales: cada fila suma $100$; la columna de divulgación suma $45+35=80$. $$f_e=\frac{100\cdot 80}{200}=40$$

b) Hay 2 filas y 3 columnas: $\text{gl}=(2-1)(3-1)=2$.

c) Las frecuencias esperadas son $25$, $40$ y $35$ en cada fila (los totales de columna son $50$, $80$ y $70$, y las dos filas suman lo mismo). Por tanto $${\chi }_{\text{calc}}^2=\frac{(30-25{)}^2}{25}+\frac{(45-40{)}^2}{40}+\frac{(25-35{)}^2}{35}+\frac{(20-25{)}^2}{25}+\frac{(35-40{)}^2}{40}+\frac{(45-35{)}^2}{35}$$ $$=1+0,625+2,857+1+0,625+2,857=8,96$$

d) Con $\text{gl}=2$, la CPG da $p=0,0113$.

e) Como $8,96<9,21$, o también $p=0,0113>0,01$, no se rechaza $H_0$ al $1\%$. Con estos datos no hay evidencia suficiente, a ese nivel, de que el tipo de libro dependa de la edad.

Observa que la conclusión es distinta con $\alpha =0,05$: el valor crítico sería $5,99$, y como $8,96>5,99$ ($p<0,05$) sí se rechazaría. La decisión depende del nivel de significación elegido antes de mirar los datos.

a) $H_0$: el medio de transporte es independiente de la franja de edad. $H_1$: el medio de transporte depende de la franja de edad.

b) Los totales de fila son $100$, $120$ y $140$; los de columna, $70$, $80$, $100$ y $110$; $n=360$. Para la celda pedida: $$f_e=\frac{140\cdot 110}{360}=42,8$$

c) Hay 3 filas y 4 columnas: $\text{gl}=(3-1)(4-1)=6$.

d) Se calculan las frecuencias esperadas de las 12 celdas y se suma $(f_o-f_e{)}^2/f_e$. Con la CPG, a partir de la tabla de observados: $${\chi }_{\text{calc}}^2=15,9$$ Se comprueba que todas las frecuencias esperadas son mayores que $5$ (la menor es $19,4$), así que la prueba es válida.

e) Con $\text{gl}=6$, $p=0,0140$.

f) Como $p=0,0140<0,05$ (o también $15,9>12,6$, valor crítico para $\text{gl}=6$ y $\alpha =0,05$), se rechaza $H_0$. Hay evidencia de que el medio de transporte está relacionado con la edad.

g) Las aportaciones de las celdas se obtienen con $(f_o-f_e{)}^2/f_e$. La mayor corresponde a «menos de 30 años» y «autobús»: $f_e=\frac{100\cdot 80}{360}=22,2$, y $$\frac{(34-22,2{)}^2}{22,2}=6,24$$ Los jóvenes usan el autobús bastante más de lo que correspondería si no hubiera relación. Le sigue «menos de 30 años» y «a pie», con $3,65$ (usan menos de lo esperado).

En el examen: puntúan la elección de las hipótesis con las variables en palabras, los grados de libertad, la comparación explícita entre $p$ y $\alpha$ (o entre ${\chi }_{\text{calc}}^2$ y el valor crítico) y la conclusión en contexto. Escribir solo «se rechaza $H_0$» sin decir qué significa para las variables suele costar el último punto.