Modelo de examen 3 de Geometría

a) ${\vec{d}}_r=(1,1,1)$ y ${\vec{d}}_s=(0,1,1)$ no son proporcionales. ${\vec{d}}_r\times {\vec{d}}_s=(1\cdot 1-1\cdot 1,1\cdot 0-1\cdot 1,1\cdot 1-1\cdot 0)=(0,-1,1)$ y $\overrightarrow{PQ}=(-1,1,0)$, con $P(1,0,0)$ y $Q(0,1,0)$. El producto mixto es $(0,-1,1)\cdot (-1,1,0)=-1\ne 0$: las rectas se cruzan.

b) $d(r,s)=\frac{|-1|}{|(0,-1,1)|}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

c) Puntos genéricos. $X=(1+\lambda ,\lambda ,\lambda )$ e $Y=(0,1+\mu ,\mu )$, con $\overrightarrow{XY}=(-1-\lambda ,1+\mu -\lambda ,\mu -\lambda )$.

• Perpendicular a ${\vec{d}}_r$: $-1-\lambda +1+\mu -\lambda +\mu -\lambda =2\mu -3\lambda =0$.
• Perpendicular a ${\vec{d}}_s$: $1+\mu -\lambda +\mu -\lambda =1+2\mu -2\lambda =0$.

De la primera, $\mu =\frac{3}{2}\lambda$. En la segunda: $1+3\lambda -2\lambda =1+\lambda =0\Rightarrow \lambda =-1$ y $\mu =-\frac{3}{2}$. Los pies son

$$X=(0,-1,-1)Y=\left(0,-\frac{1}{2},-\frac{3}{2}\right)$$

Comprobación: $\overrightarrow{XY}=\left(0,\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$ es proporcional a ${\vec{d}}_r\times {\vec{d}}_s$ y su módulo es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ✓.

d) El normal es ${\vec{d}}_r\times {\vec{d}}_s$, proporcional a $(0,1,-1)$. El plano es $y-z+D=0$ y con $P(1,0,0)$: $D=0$. La ecuación es $y-z=0$. Comprobación: $r$ está en el plano (sus puntos cumplen $y=z=\lambda$) y ${\vec{d}}_s\cdot (0,1,-1)=0$ (paralelo a $s$).

Para el examen: la distancia de $Q$ a este plano, $\frac{|1|}{\sqrt{2}}$, confirma el resultado de b).

a) ${\vec{n}}_1\times {\vec{n}}_2=(1,-1,1)\times (1,1,-1)=((-1)(-1)-1\cdot 1,1\cdot 1-1\cdot (-1),1\cdot 1-(-1)\cdot 1)=(0,2,2)$, proporcional a $(0,1,1)$. El vector director pedido es $(0,1,1)$.

b) El haz es $\alpha (x-y+z-1)+\beta (x+y-z-3)=0$. Con el origen: $-\alpha -3\beta =0\Rightarrow \alpha =-3\beta$. Tomando $\beta =1$:

$$-3(x-y+z-1)+(x+y-z-3)=-2x+4y-4z=0⟹x-2y+2z=0$$

La tupla es $(1,-2,2,0)$. Comprobación: la recta pasa por $(2,0,-1)$ ($x=2$, $y=0$, $z=y-1$), que cumple $2-0-2=0$ ✓.

c) El normal del haz es $\alpha (1,-1,1)+\beta (1,1,-1)=(\alpha +\beta ,-\alpha +\beta ,\alpha -\beta )$. Paralelo al eje $OZ$ (de director $(0,0,1)$) exige que la tercera componente sea $0$: $\alpha -\beta =0$, luego $\alpha =\beta =1$:

$$(x-y+z-1)+(x+y-z-3)=2x-4=0⟹x-2=0$$

La tupla es $(1,0,0,-2)$.

d) Los normales son $(1,-2,2)$, de módulo $3$, y $(1,0,0)$:

$$\cos \theta =\frac{|1|}{3\cdot 1}=\frac{1}{3}$$

Para el examen: si la condición hace que sea $\alpha =0$ o $\beta =0$, el plano del haz es uno de los dos planos que definen la recta, y es un resultado válido.

a) $\overrightarrow{AB}=(-1,1,0)$ y $\overrightarrow{AC}=(-1,0,1)$, con $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(1,1,1)$. El plano es $x+y+z+D=0$ y con $A$: $D=-1$. La ecuación es $x+y+z-1=0$.

b) El área es $\frac{1}{2}|(1,1,1)|=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

c) Un punto de $r$ es $D=(t,t,t)$, con $\overrightarrow{AD}=(t-1,t,t)$. El producto mixto es

$$\left|\begin{array}{ccc}-1& 1& 0\\ -1& 0& 1\\ t-1& t& t\end{array}\right|=-1\cdot (0-t)-1\cdot (-t-(t-1))+0=t+2t-1=3t-1$$

El volumen es $\frac{|3t-1|}{6}=\frac{1}{2}\Rightarrow |3t-1|=3$. Entonces $3t-1=3$ o $3t-1=-3$: $t=\frac{4}{3}$ o $t=-\frac{2}{3}$. Los puntos son $\left(\frac{4}{3},\frac{4}{3},\frac{4}{3}\right)$ y $\left(-\frac{2}{3},-\frac{2}{3},-\frac{2}{3}\right)$.

d) $h=\frac{3V}{\text{aˊrea base}}=\frac{3/2}{\sqrt{3}/2}=\sqrt{3}$. Comprobación con la distancia al plano: para $t=\frac{4}{3}$, $\frac{|4-1|}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$; para $t=-\frac{2}{3}$, $\frac{|-2-1|}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$ ✓. La altura es la misma en los dos casos.

Para el examen: al imponer un volumen aparece un valor absoluto y por tanto dos soluciones; el enunciado dice «los puntos», en plural, como pista.

a) El normal del plano es el director de la recta: $2x+y+2z+D=0$. Con $P$: $6+1+8+D=0\Rightarrow D=-15$. La ecuación es $2x+y+2z-15=0$.

b) La proyección es el corte de $r$ con ese plano. Los puntos de $r$ son $(2+2\lambda ,\lambda ,1+2\lambda )$:

$$2(2+2\lambda )+\lambda +2(1+2\lambda )-15=9\lambda -9=0\Rightarrow \lambda =1$$

La proyección es $Q=(4,1,3)$. Comprobación: $\overrightarrow{PQ}=(1,0,-1)$ y $\overrightarrow{PQ}\cdot \vec{d}=2+0-2=0$ ✓.

c) $P^{\prime }=2Q-P=(8-3,2-1,6-4)=(5,1,2)$.

d) $d(P,r)=|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{1+0+1}=\sqrt{2}$. Comprobación con el producto vectorial: con $A(2,0,1)$, $\overrightarrow{AP}=(1,1,3)$ y $\overrightarrow{AP}\times \vec{d}=(1\cdot 2-3\cdot 1,3\cdot 2-1\cdot 2,1\cdot 1-1\cdot 2)=(-1,4,-1)$, de módulo $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$; dividido por $|\vec{d}|=3$ da $\sqrt{2}$ ✓.

Para el examen: hacer primero el plano perpendicular (apartado a) ahorra trabajo: es el mismo plano que se usa para proyectar en b).