Matemáticas II · Modelos de examen de Geometría

Modelo de examen 1 de Geometría

4 problemas con solución · Por Álvaro López

Idea clave

Cuatro problemas de 2,5 puntos con el formato de la PAU: los problemas 1 y 2 forman la opción A y los problemas 3 y 4 la opción B, así que elige una opción y resuelve sus dos problemas con unos 25 minutos para cada uno. Escribe cada paso con su justificación antes de abrir la solución, porque en el examen se puntúa el razonamiento tanto como el resultado.

Problemas

Intenta cada problema en 25 minutos, como en la prueba, antes de mirar la solución.

Soluciones

Problema 1 DifícilTipo PAU · 2,5 puntosOpción A

Opción A. Se consideran las rectas

$r : (x, y, z) = (0, 1, 1) + λ (1, 1, 0) s : (x, y, z) = (1, m, 0) + μ (1, 0, 1)$

donde $m$ es un parámetro real.

a) Estudia la posición relativa de $r$ y $s$ según los valores de $m$ . (0,75 puntos)

b) Para el valor de $m$ en que se cortan, halla el punto de corte. (0,5 puntos)

c) Para ese mismo valor de $m$ , halla la ecuación del plano que contiene a las dos rectas, como la tupla $(A, B, C, D)$ con coeficientes enteros coprimos y primer coeficiente positivo. (0,75 puntos)

d) Para $m = 0$ , calcula la distancia entre $r$ y $s$ . (0,5 puntos)

Solución paso a paso

a) Directores. $d_{r} = (1, 1, 0)$ y $d_{s} = (1, 0, 1)$ no son proporcionales, para ningún $m$ . Entonces solo pueden ser secantes o cruzarse, y se decide con el producto mixto. Con $P (0, 1, 1)$ y $Q (1, m, 0)$ , $P Q = (1, m - 1, - 1)$ :

$111 10 m - 1 01 - 1 = 1 \cdot (0 - (m - 1)) - 1 \cdot (- 1 - 1) + 0 = - m + 1 + 2 = 3 - m$

Si $m = 3$ , el producto mixto es $0$ : las rectas son secantes.
Si $m \neq = 3$ , no es cero: las rectas se cruzan.

b) Con $m = 3$ : $r$ es $(λ, 1 + λ, 1)$ y $s$ es $(1 + μ, 3, μ)$ . Igualando: $z$ da $μ = 1$ ; $y$ da $1 + λ = 3$ , luego $λ = 2$ ; $x$ : $λ = 2 = 1 + μ$ ✓. El punto de corte es $(2, 3, 1)$ .

c) El normal es $d_{r} \times d_{s} = (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0, 0 \cdot 1 - 1 \cdot 1, 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = (1, - 1, - 1)$ . El plano es $x - y - z + D = 0$ y con $P (0, 1, 1)$ : $- 1 - 1 + D = 0 \Rightarrow D = 2$ . La ecuación es $x - y - z + 2 = 0$ . Comprobación: $Q (1, 3, 0)$ da $1 - 3 + 2 = 0$ ✓ y el punto de corte $(2, 3, 1)$ da $2 - 3 - 1 + 2 = 0$ ✓.

d) Con $m = 0$ : $P Q = (1, - 1, - 1)$ y el producto mixto vale $3 - 0 = 3$ . Como $∣ d_{r} \times d_{s} ∣ = 3$ , la distancia es

$d (r, s) = \frac{∣3∣}{3} = 3$

Para el examen: en a) justifica primero que los directores no son paralelos; sin eso no queda cerrado el razonamiento.

Problema 2 DifícilTipo PAU · 2,5 puntosOpción A

Opción A. Se consideran la recta $r : (x, y, z) = (1, 0, 2) + λ (1, m, - 1)$ y el plano $π : x + 2 y + z = k$ , donde $m$ y $k$ son parámetros reales.

a) Halla los valores de $m$ y de $k$ para los que $r$ está contenida en $π$ , como la tupla $(m, k)$ . (0,75 puntos)

b) Para $m = 0$ y $k = 5$ , calcula la distancia entre $r$ y $π$ . (0,75 puntos)

c) Para $m = 1$ y $k = 7$ , halla el punto de corte de $r$ y $π$ . (0,5 puntos)

d) Para $m = 1$ , calcula el seno del ángulo que forman $r$ y $π$ . (0,5 puntos)

Solución paso a paso

a) Sustituimos el punto genérico $(1 + λ, mλ, 2 - λ)$ en el plano:

$(1 + λ) + 2 mλ + (2 - λ) = 3 + 2 mλ = k$

La recta está contenida si se cumple para todo $λ$ : el coeficiente de $λ$ debe ser cero ( $m = 0$ ) y el término constante igual a $k$ ( $k = 3$ ). Así $(m, k) = (0, 3)$ . (Con vectores: $d \cdot n = 1 + 2 m - 1 = 2 m = 0$ y $P (1, 0, 2) \in π ⟺ 3 = k$ .)

b) Con $m = 0$ y $k = 5$ : $3 = 5$ es imposible, luego $r$ es paralela a $π$ ( $d \cdot n = 0$ y $P \in / π$ ). La distancia es la de $P (1, 0, 2)$ al plano $x + 2 y + z - 5 = 0$ :

$d = \frac{∣1 + 0 + 2 - 5∣}{1 + 4 + 1} = \frac{2}{6} = \frac{6}{3}$

c) Con $m = 1$ y $k = 7$ : $3 + 2 λ = 7 \Rightarrow λ = 2$ y el punto es $(1 + 2, 2, 2 - 2) = (3, 2, 0)$ . Comprobación en $π$ : $3 + 4 + 0 = 7$ ✓.

d) Con $m = 1$ : $d = (1, 1, - 1)$ , $n = (1, 2, 1)$ , $d \cdot n = 1 + 2 - 1 = 2$ , $∣ d ∣ = 3$ y $∣ n ∣ = 6$ . Entonces

$sin θ = \frac{∣ d \cdot n ∣}{∣ d ∣ ∣ n ∣} = \frac{2}{18} = \frac{2}{3}$

Para el examen: al sustituir queda una ecuación $aλ = b$ : con $a \neq = 0$ hay un punto de corte; con $a = 0$ y $b = 0$ , la recta está contenida; con $a = 0$ y $b \neq = 0$ , es paralela. Escríbelo así y puntúas el apartado entero.

Problema 3 DifícilTipo PAU · 2,5 puntosOpción B

Opción B. Se consideran los puntos $A (1, 0, 0)$ , $B (0, 2, 0)$ , $C (0, 0, 2)$ y $D (1, 1, m)$ , con $m$ un parámetro real.

a) Halla la ecuación del plano que contiene a $A$ , $B$ y $C$ , como la tupla $(A, B, C, D)$ con coeficientes enteros coprimos y primer coeficiente positivo. (0,5 puntos)

b) Calcula el área del triángulo $A B C$ . (0,5 puntos)

c) Halla el valor de $m$ para que los cuatro puntos sean coplanarios. (0,5 puntos)

d) Para $m = 2$ , calcula la distancia de $D$ al plano $A B C$ y el volumen del tetraedro $A B C D$ , como la tupla (distancia, volumen). (1 punto)

Solución paso a paso

a) $A B = (- 1, 2, 0)$ y $A C = (- 1, 0, 2)$ , con

$A B \times A C = (2 \cdot 2 - 0 \cdot 0, 0 \cdot (- 1) - (- 1) \cdot 2, (- 1) \cdot 0 - 2 \cdot (- 1)) = (4, 2, 2)$

proporcional a $(2, 1, 1)$ . El plano es $2 x + y + z + D = 0$ y con $A$ : $2 + D = 0 \Rightarrow D = - 2$ . La ecuación es $2 x + y + z - 2 = 0$ . Comprobación: $B$ da $0 + 2 + 0 - 2 = 0$ ✓ y $C$ da $0 + 0 + 2 - 2 = 0$ ✓.

b) El área es $\frac{1}{2} ∣ (4, 2, 2) ∣ = \frac{1}{2} 16 + 4 + 4 = \frac{1}{2} 24 = 6$ .

c) $D$ está en el plano si $2 \cdot 1 + 1 + m - 2 = 0 \Rightarrow m = - 1$ . (Con el producto mixto: $[A B, A C, A D] = 2 m + 2 = 0$ , el mismo valor.)

d) Con $m = 2$ , $D (1, 1, 2)$ . La distancia al plano $2 x + y + z - 2 = 0$ es

$d = \frac{∣2 + 1 + 2 - 2∣}{4 + 1 + 1} = \frac{3}{6} = \frac{6}{2}$

El volumen del tetraedro es un tercio de base por altura: $V = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot \frac{6}{2} = \frac{1}{3} \cdot 3 = 1$ . Comprobación con el producto mixto: $A D = (0, 1, 2)$ y $[A B, A C, A D] = 2 \cdot 2 + 2 = 6$ , luego $V = \frac{6}{6} = 1$ ✓.

Para el examen: si te da tiempo, calcula el volumen de las dos formas: coinciden si no hay errores y te ahorras dudas.

Problema 4 DifícilTipo PAU · 2,5 puntosOpción B

Opción B. Se considera el sistema formado por los tres planos

$π_{1} : x + y + z = 1 π_{2} : x + 2 y + m z = 2 π_{3} : x + m y + 2 z = 2$

donde $m$ es un parámetro real.

a) Clasifica el sistema según los valores de $m$ y describe la posición relativa de los tres planos en cada caso. Indica la clasificación como un diccionario con claves "m=0", "m=2" y "otro". (1 punto)

b) Para el valor de $m$ en que los tres planos tienen una recta común, escribe sus ecuaciones paramétricas tomando $z = t$ como parámetro. (0,75 puntos)

c) Para $m = 1$ , halla el punto de corte de los tres planos. (0,5 puntos)

d) Calcula la distancia del origen a la recta del apartado b). (0,25 puntos)

Solución paso a paso

a) Determinante.

$111 12 m 1 m 2 = 1 \cdot (4 - m^{2}) - 1 \cdot (2 - m) + 1 \cdot (m - 2) = - m^{2} + 2 m = - m (m - 2)$

Se anula para $m = 0$ y $m = 2$ .

$m = 0$ : los planos son $x + y + z = 1$ , $x + 2 y = 2$ , $x + 2 z = 2$ . $rg (M) = 2$ ( $∣ M ∣ = 0$ y hay dos filas independientes). La ampliada tiene rango $3$ : el sistema es incompatible (SI). Como los normales $(1, 1, 1)$ , $(1, 2, 0)$ y $(1, 0, 2)$ no son proporcionales dos a dos, los planos forman un prisma triangular.
$m = 2$ : las ecuaciones son $x + y + z = 1$ y $x + 2 y + 2 z = 2$ (repetida). $rg (M) = rg (M^{*}) = 2 < 3$ : SCI, los tres planos comparten una recta (dos de ellos coinciden en el sistema).
Otro valor: $∣ M ∣ \neq = 0$ , SCD: los tres planos se cortan en un punto.

b) Con $m = 2$ : restando $π_{1}$ a $π_{2}$ queda $y + z = 1$ , es decir, $y = 1 - z$ ; y de $π_{1}$ , $x = 1 - y - z = 0$ . Con $z = t$ la recta es

$x = 0, y = 1 - t, z = t$

c) Con $m = 1$ : $x + y + z = 1$ , $x + 2 y + z = 2$ , $x + y + 2 z = 2$ . Restando $π_{1}$ a $π_{2}$ : $y = 1$ ; a $π_{3}$ : $z = 1$ ; y entonces $x = - 1$ . El punto es $(- 1, 1, 1)$ .

d) La recta pasa por $A (0, 1, 0)$ con director $d = (0, - 1, 1)$ . $O A \times d = (0, 1, 0) \times (0, - 1, 1) = (1, 0, 0)$ , de módulo $1$ , y $∣ d ∣ = 2$ . La distancia es $\frac{1}{2} = \frac{2}{2}$ .

Para el examen: en a) no basta con los rangos: añade siempre la interpretación geométrica (prisma, recta común, punto).

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