Matemáticas II · Modelos de examen de Geometría

Modelo de examen 2 de Geometría

4 problemas con solución · Por Álvaro López

Idea clave

Cuatro problemas de 2,5 puntos con el formato de la PAU: los problemas 1 y 2 forman la opción A y los problemas 3 y 4 la opción B, así que elige una opción y resuelve sus dos problemas con unos 25 minutos para cada uno. Escribe cada paso con su justificación antes de abrir la solución, porque en el examen se puntúa el razonamiento tanto como el resultado.

Problemas

Intenta cada problema en 25 minutos, como en la prueba, antes de mirar la solución.

Soluciones

Problema 1 DifícilTipo PAU · 2,5 puntosOpción A

Opción A. Se consideran el plano $π : 2 x + 2 y + z - 1 = 0$ , el punto $P (2, 1, 4)$ y la recta $s : (x, y, z) = (2, 1, 4) + λ (1, - 1, 0)$ .

a) Halla la proyección ortogonal de $P$ sobre $π$ . (0,75 puntos)

b) Halla el simétrico de $P$ respecto de $π$ . (0,5 puntos)

c) Justifica que $s$ es paralela a $π$ y halla el punto con $λ = 2$ de la proyección ortogonal de $s$ sobre $π$ , escrita como (proyección de $P$ ) $+ λ (1, - 1, 0)$ . (0,75 puntos)

d) Calcula el coseno del ángulo que forman $π$ y el plano $z = 0$ . (0,5 puntos)

Solución paso a paso

a) La recta perpendicular a $π$ por $P$ es $(2 + 2 t, 1 + 2 t, 4 + t)$ . En $π$ :

$2 (2 + 2 t) + 2 (1 + 2 t) + (4 + t) - 1 = 9 + 9 t = 0 \Rightarrow t = - 1$

La proyección es $Q = (0, - 1, 3)$ . Comprobación: $0 - 2 + 3 - 1 = 0$ ✓.

b) $P^{'} = 2 Q - P = (0 - 2, - 2 - 1, 6 - 4) = (- 2, - 3, 2)$ .

c) $d \cdot n = (1, - 1, 0) \cdot (2, 2, 1) = 2 - 2 = 0$ y el punto $P$ de $s$ no está en $π$ (en $P$ la ecuación vale $9 \neq = 0$ ): $s$ es paralela a $π$ . Entonces su proyección es la recta paralela a $s$ por $Q$ : $(0, - 1, 3) + λ (1, - 1, 0)$ . Con $λ = 2$ : $(2, - 3, 3)$ . Comprobación: $4 - 6 + 3 - 1 = 0$ ✓.

d) Los normales son $(2, 2, 1)$ , de módulo $3$ , y $(0, 0, 1)$ :

$cos θ = \frac{∣1∣}{3 \cdot 1} = \frac{1}{3}$

Para el examen: en c) la clave es justificar que la recta es paralela al plano; así se proyecta con un solo punto.

Problema 2 DifícilTipo PAU · 2,5 puntosOpción A

Opción A. Se considera el triángulo de vértices $A (0, 0, 0)$ , $B (2, 2, 1)$ y $C (2, - 1, 2)$ .

a) Calcula el coseno del ángulo del triángulo en el vértice $A$ . (0,5 puntos)

b) Calcula el área del triángulo. (0,75 puntos)

c) Calcula la altura del triángulo respecto del lado $B C$ . (0,75 puntos)

d) Calcula el coseno del ángulo que forma el plano del triángulo con el plano $z = 0$ . (0,5 puntos)

Solución paso a paso

a) $A B = (2, 2, 1)$ y $A C = (2, - 1, 2)$ tienen módulo $3$ cada uno y $A B \cdot A C = 4 - 2 + 2 = 4$ . Entonces $cos A = \frac{4}{9}$ .

b) $A B \times A C = (2 \cdot 2 - 1 \cdot (- 1), 1 \cdot 2 - 2 \cdot 2, 2 \cdot (- 1) - 2 \cdot 2) = (5, - 2, - 6)$ , de módulo $25 + 4 + 36 = 65$ . El área es $\frac{65}{2}$ .

c) $B C = (0, - 3, 1)$ , con $∣ B C ∣ = 10$ . La altura es

$h = \frac{2 \cdot a ˊ rea}{∣ B C ∣} = \frac{65}{10} = \frac{13}{2} = \frac{26}{2}$

d) El normal del plano del triángulo es $(5, - 2, - 6)$ y el de $z = 0$ es $(0, 0, 1)$ :

$cos θ = \frac{∣ - 6∣}{65 \cdot 1} = \frac{6}{65} = \frac{6 65}{65}$

Para el examen: el producto vectorial de b) se reutiliza en d) como vector normal; calcúlalo una sola vez.

Problema 3 DifícilTipo PAU · 2,5 puntosOpción B

Opción B. Se consideran los puntos $A (1, 2, 3)$ y $B (3, 0, 2)$ .

a) Calcula la distancia entre $A$ y $B$ . (0,25 puntos)

b) Halla el plano mediador del segmento $A B$ , como la tupla $(A, B, C, D)$ con coeficientes enteros coprimos y primer coeficiente positivo. (0,75 puntos)

c) Halla el punto del eje $O Z$ que equidista de $A$ y de $B$ . (0,75 puntos)

d) Halla el punto de la recta $r : (x, y, z) = λ (1, 1, 1)$ que equidista de $A$ y de $B$ . (0,75 puntos)

Solución paso a paso

a) $A B = (2, - 2, - 1)$ y $d = 4 + 4 + 1 = 3$ .

b) El punto medio es $M (2, 1, \frac{5}{2})$ y el normal es $A B = (2, - 2, - 1)$ . El plano es $2 x - 2 y - z + D = 0$ ; con $M$ : $4 - 2 - \frac{5}{2} + D = 0 \Rightarrow D = \frac{1}{2}$ . Multiplicando por $2$ : $4 x - 4 y - 2 z + 1 = 0$ . Comprobación: $A$ da $4 - 8 - 6 + 1 = - 9$ y $B$ da $12 - 0 - 4 + 1 = 9$ : valores opuestos.

c) Los puntos que equidistan de $A$ y de $B$ están en el plano mediador. En el eje $O Z$ ( $x = y = 0$ ): $- 2 z + 1 = 0 \Rightarrow z = \frac{1}{2}$ . El punto es $(0, 0, \frac{1}{2})$ . Comprobación: con $Z (0, 0, \frac{1}{2})$ , $∣ Z A ∣^{2} = 1 + 4 + (\frac{5}{2})^{2} = \frac{45}{4}$ y $∣ Z B ∣^{2} = 9 + 0 + (\frac{3}{2})^{2} = \frac{45}{4}$ ✓.

d) Los puntos de $r$ son $(λ, λ, λ)$ . En el plano mediador: $4 λ - 4 λ - 2 λ + 1 = 0 \Rightarrow λ = \frac{1}{2}$ . El punto es $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ .

Para el examen: equidistar de dos puntos es pertenecer a su plano mediador; así evitas plantear raíces cuadradas.

Problema 4 DifícilTipo PAU · 2,5 puntosOpción B

Opción B. Sobre un tejado plano de ecuación $3 x + 2 y + 6 z = 42$ (con las coordenadas en metros y $z$ la altura) se instala una chimenea vertical, modelada por la recta $r : (x, y, z) = (2, 3, 0) + λ (0, 0, 1)$ , que arranca del suelo ( $z = 0$ ).

a) Halla el punto en que la chimenea toca el tejado. (0,5 puntos)

b) Calcula el coseno del ángulo que forma el tejado con el suelo. (0,5 puntos)

c) Calcula la distancia del origen al plano del tejado. (0,75 puntos)

d) Halla el punto del tejado más cercano al origen. (0,75 puntos)

Solución paso a paso

a) Los puntos de $r$ son $(2, 3, λ)$ . En el plano: $6 + 6 + 6 λ = 42 \Rightarrow λ = 5$ . El punto es $(2, 3, 5)$ : la chimenea mide $5$ metros.

b) Los normales son $(3, 2, 6)$ , de módulo $9 + 4 + 36 = 7$ , y $(0, 0, 1)$ :

$cos θ = \frac{6}{7 \cdot 1} = \frac{6}{7}$

c) $d = \frac{∣0 + 0 + 0 - 42∣}{7} = 6$ metros.

d) La perpendicular al tejado por el origen es $(3 t, 2 t, 6 t)$ . En el plano: $9 t + 4 t + 36 t = 49 t = 42 \Rightarrow t = \frac{6}{7}$ . El punto más cercano es

$(\frac{18}{7}, \frac{12}{7}, \frac{36}{7})$

Comprobación: su distancia al origen es $\frac{6}{7} ∣ (3, 2, 6) ∣ = 6$ ✓.

Para el examen: si el enunciado dice «punto más cercano», piensa en la proyección ortogonal: recta perpendicular y corte con el plano.

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