Modelo de examen 3 de Álgebra

a) 1. Determinante. Desarrollando por la primera fila:

$$|A|=k\left|\begin{array}{cc}k& 0\\ 1& k\end{array}\right|-0+1\cdot \left|\begin{array}{cc}1& k\\ 0& 1\end{array}\right|=k\cdot k^2+1=k^3+1$$

2. Raíces reales. Por Ruffini, $k^3+1=(k+1)(k^2-k+1)$. El factor $k^2-k+1$ no tiene raíces reales (su discriminante es $1-4=-3<0$), así que $|A|=0⟺k=-1$.

3. Conclusión. $A$ tiene inversa si y solo si $|A|\ne 0$: $A$ no es invertible únicamente para $k=-1$.

b) 1. Matriz de adjuntos. Para $k\ne -1$ calculamos cada adjunto $A_{ij}=(-1{)}^{i+j}\cdot$(menor que queda al quitar la fila $i$ y la columna $j$):

$$\begin{array}{rlrlrl}{A}_{11}& =\left|\begin{array}{cc}k& 0\\ 1& k\end{array}\right|=k^2,& A_{12}& =-\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& k\end{array}\right|=-k,& A_{13}& =\left|\begin{array}{cc}1& k\\ 0& 1\end{array}\right|=1,\\ A_{21}& =-\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& k\end{array}\right|=1,& A_{22}& =\left|\begin{array}{cc}k& 1\\ 0& k\end{array}\right|=k^2,& A_{23}& =-\left|\begin{array}{cc}k& 0\\ 0& 1\end{array}\right|=-k,\\ A_{31}& =\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ k& 0\end{array}\right|=-k,& A_{32}& =-\left|\begin{array}{cc}k& 1\\ 1& 0\end{array}\right|=1,& A_{33}& =\left|\begin{array}{cc}k& 0\\ 1& k\end{array}\right|=k^2\end{array}$$

2. Inversa. $A^{-1}=\frac{1}{|A|}(\mathrm{Adj}(A){)}^t$, es decir, se traspone la matriz de adjuntos y se divide entre el determinante:

$$\mathrm{Adj}(A)=\left(\begin{array}{ccc}{k}^2& -k& 1\\ 1& k^2& -k\\ -k& 1& k^2\end{array}\right),A^{-1}=\frac{1}{k^3+1}\left(\begin{array}{ccc}{k}^2& 1& -k\\ -k& k^2& 1\\ 1& -k& k^2\end{array}\right)(k\ne -1)$$

3. Comprobación. Para $k=1$ la fórmula da $A^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ -1& 1& 1\\ 1& -1& 1\end{array}\right)$, y al multiplicar por $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$ se obtiene $I$. También se ve que para $k=0$ la fórmula da la matriz de c).

c) 1. Potencias. Para $k=0$, $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$ y, multiplicando filas por columnas,

$$A^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right),A^3=A^{2}A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=I$$

2. Inversa. De $A^3=I$ se obtiene $A\cdot A^2=I$ y $A^2\cdot A=I$, luego $A$ es invertible y

$$A^{-1}=A^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$$

3. Potencia alta. Las potencias se repiten de 3 en 3. Como $2027=3\cdot 675+2$,

$$A^{2027}=(A^3{)}^{675}{A}^2=I^{675}{A}^2=A^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$$

d) 1. Despejar. $A$ y $A^2$ son invertibles, con $A^{-1}=A^2$ y $(A^2{)}^{-1}=A$ (porque $A^2\cdot A=I$). Multiplicamos $AX{A}^2=B$ por $A^{-1}$ por la izquierda y por $(A^2{)}^{-1}$ por la derecha:

$$X=A^{-1}B(A^2{)}^{-1}=A^{2}BA$$

2. Cálculo.

$$A^{2}B=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& -1\\ 3& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& -1\\ 3& 0& 1\\ 1& 2& 0\end{array}\right)$$

$$X=(A^{2}B)A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& -1\\ 3& 0& 1\\ 1& 2& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 0& 1& 3\\ 2& 0& 1\end{array}\right)$$

3. Comprobación. $AX=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ 1& -1& 0\\ 0& 1& 3\end{array}\right)$ y $(AX)A^2=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& -1\\ 3& 0& 1\end{array}\right)=B$.

Para el examen: en a) hay que justificar que $k^2-k+1$ no se anula (discriminante negativo); decir solo «$k=-1$» sin factorizar deja la respuesta incompleta. En b) no olvides trasponer la matriz de adjuntos ni indicar para qué $k$ vale la fórmula. En c) se pide usar $A^3=I$: la inversa sale de $A\cdot A^2=I$, sin adjuntos. En d) cada inversa se multiplica por el lado en que está su factor; escribir $X=B{A}^{-1}{A}^{-2}$ es el error más caro.

a) 1. Matrices del sistema. La matriz de coeficientes $A$ es $4\times 3$ y la ampliada $A^{\ast }$ es $4\times 4$:

$$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 2& 0& 2\\ 2& 3& m& m+2\\ 0& 1& m-2& m^2\end{array}\right)$$

Como $A$ solo tiene 3 columnas, $\mathrm{rg}(A)\le 3$. Si $|A^{\ast }|\ne 0$, entonces $\mathrm{rg}(A^{\ast })=4\ne \mathrm{rg}(A)$ y el sistema es incompatible. Por eso se empieza calculando $|A^{\ast }|$.

2. Hacer ceros. Con operaciones que no cambian el determinante ni el rango: $F_2\to F_2-F_1$, $F_3\to F_3-F_1-F_2$ (con las filas originales) y $F_4\to F_4-F_2+F_1$:

• $F_2-F_1=(0,1,-1|1)$;
• $F_3-F_1-F_2=(0,0,m-1|m-1)$;
• $F_4-F_2+F_1=(0,0,m-1|m^2-1)$.

$$A^{\ast }\sim \left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 1& -1& 1\\ 0& 0& m-1& m-1\\ 0& 0& m-1& m^2-1\end{array}\right)$$

3. Determinante de $A^{\ast }$. Desarrollando dos veces por la primera columna:

$$|A^{\ast }|=1\cdot 1\cdot \left|\begin{array}{cc}m-1& m-1\\ m-1& m^2-1\end{array}\right|=(m-1)(m^2-1)-(m-1{)}^2=(m-1)(m^2-m)=m(m-1{)}^2$$

Se anula para $m=0$ y para $m=1$.

4. Caso $m\ne 0$ y $m\ne 1$. $|A^{\ast }|\ne 0$, luego $\mathrm{rg}(A^{\ast })=4$, mientras que $\mathrm{rg}(A)\le 3$. Por el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es incompatible (SI: no tiene solución).

5. Caso $m=0$. El menor de $A$ formado por las tres primeras filas vale

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 0\\ 2& 3& m\end{array}\right|=1\cdot 2m-1\cdot m+1\cdot (3-4)=m-1$$

que para $m=0$ es $-1\ne 0$: $\mathrm{rg}(A)=3$. Como $|A^{\ast }|=0$, $\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$. Así $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=3=$ número de incógnitas: el sistema es compatible determinado (SCD: una única solución).

6. Caso $m=1$. Las filas 3 y 4 de la matriz escalonada son nulas (también en la columna de términos independientes, porque $m-1=0$ y $m^2-1=0$). Quedan dos filas no nulas: $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=2<3$. El sistema es compatible indeterminado (SCI: infinitas soluciones), con $3-2=1$ parámetro.

b) Solo es SCD para $m=0$. La matriz escalonada da el sistema equivalente

$$\{\begin{array}{rl}x+y+z& =1\\ y-z& =1\\ -z& =-1\\ -z& =-1\end{array}$$

De donde $z=1$, $y=1+z=2$ y $x=1-y-z=-2$. Comprobación en el sistema original con $m=0$: $-2+2+1=1$; $-2+4=2$; $-4+6+0=2$; $2+(-2)\cdot 1=0=0^2$. La solución es $(x,y,z)=(-2,2,1)$.

c) Para $m=1$ quedan dos ecuaciones independientes:

$$\{\begin{array}{rl}x+y+z& =1\\ y-z& =1\end{array}$$

Tomamos $z=t$ (el menor $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right|=1\ne 0$ usa las columnas de $x$ e $y$). Entonces $y=1+t$ y $x=1-(1+t)-t=-2t$. Comprobación en la tercera ecuación original con $m=1$: $2(-2t)+3(1+t)+t=3=m+2$. Correcto.

La solución es $(x,y,z)=(-2t,1+t,t)$ con $t\in \mathbb{R}$.

Para el examen: con más ecuaciones que incógnitas, el determinante que decide es el de la ampliada: si no es cero, el sistema es incompatible sin más cálculos. El error típico es estudiar solo un menor $3\times 3$ de $A$ y declarar SCD cuando no se anula, olvidando la cuarta ecuación. Da los dos rangos en cada caso y cita el teorema de Rouché-Frobenius.

a) 1. Compatible. Un sistema homogéneo siempre tiene la solución trivial $x=y=z=w=0$. Dicho con rangos: la columna de términos independientes es nula, así que $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })$.

2. Infinitas soluciones. La matriz de coeficientes $A$ es $3\times 4$, luego $\mathrm{rg}(A)\le 3<4=$ número de incógnitas. Por el teorema de Rouché-Frobenius el sistema es compatible indeterminado (SCI: infinitas soluciones) para todo $\lambda$; en particular tiene soluciones distintas de la trivial.

b) 1. Escalonar. Hacemos $F_2\to F_2-F_1$ y $F_3\to F_3-2F_1$:

$$A\sim \left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& \lambda -1& 0& 1\\ 0& \lambda -1& \lambda -1& 1\end{array}\right)$$

y después $F_3\to F_3-F_2$:

$$A\sim \left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& \lambda -1& 0& 1\\ 0& 0& \lambda -1& 0\end{array}\right)$$

2. Caso $\lambda \ne 1$. Las tres filas son no nulas y escalonadas (la tercera tiene su primer elemento no nulo en la columna 3, la segunda en la columna 2). Equivalentemente, el menor de las columnas 1, 2 y 3 vale $1\cdot (\lambda -1)\cdot (\lambda -1)=(\lambda -1{)}^2\ne 0$. Luego $\mathrm{rg}(A)=3$ y la solución tiene $4-3=1$ parámetro.

3. Caso $\lambda =1$. La matriz queda $\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$, con dos filas no nulas: $\mathrm{rg}(A)=2$ y la solución tiene $4-2=2$ parámetros.

c) Para $\lambda =1$ el sistema equivale a

$$\{\begin{array}{rl}x+y+z+w& =0\\ w& =0\end{array}$$

Con $y=s$ y $z=t$: $w=0$ y $x=-s-t$. Comprobación en la tercera ecuación original ($2x+2y+2z+3w=0$): $2(-s-t)+2s+2t+0=0$. La solución es

$$(x,y,z,w)=(-s-t,s,t,0),s,t\in \mathbb{R}$$

d) Para $\lambda \ne 1$ usamos la forma escalonada de b), con $w=t$:

1. Tercera fila: $(\lambda -1)z=0$ y, como $\lambda -1\ne 0$, $z=0$.

2. Segunda fila: $(\lambda -1)y+t=0$, luego $y=\frac{-t}{\lambda -1}$ (se puede dividir porque $\lambda \ne 1$).

3. Primera fila: $x=-y-z-w=\frac{t}{\lambda -1}-t=\frac{t-(\lambda -1)t}{\lambda -1}=\frac{(2-\lambda )t}{\lambda -1}$.

$$(x,y,z,w)=\left(\frac{(2-\lambda )t}{\lambda -1},\frac{-t}{\lambda -1},0,t\right),t\in \mathbb{R}$$

4. Comprobación con $\lambda =2$: la fórmula da $(0,-t,0,t)$, y en el sistema $x+2y+z+2w=-2t+2t=0$ y $2x+3y+3z+3w=-3t+3t=0$. Correcto.

Para el examen: en a) basta con un argumento de rangos ($\mathrm{rg}(A)\le 3<4$), sin calcular nada; es medio punto que se pierde por ponerse a resolver. En b) no confundas «tiene soluciones no triviales» (siempre, aquí) con el número de parámetros, que depende de $\lambda$. En d) indica que divides entre $\lambda -1$ porque $\lambda \ne 1$.

a) 1. Escalonar. Con $F_2\to F_2-F_1$ y $F_3\to F_3-F_1-F_2$ (operaciones que no cambian el determinante), la tercera fila queda $(2-1-1,a+1-1-a,3-a-1)=(0,0,2-a)$:

$$|M|=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& a\\ 0& a-1& 1-a\\ 0& 0& 2-a\end{array}\right|=(a-1)(2-a)$$

(el determinante de una matriz triangular es el producto de la diagonal).

2. Rango. Si $a\ne 1$ y $a\ne 2$, $|M|\ne 0$ y $\mathrm{rg}(M)=3$. Para $a=1$ y para $a=2$, $|M|=0$; el menor $\left|\begin{array}{cc}1& a\\ 2& 3\end{array}\right|=3-2a$ (filas 1 y 3, columnas 1 y 3) vale $1$ para $a=1$ y $-1$ para $a=2$, así que $\mathrm{rg}(M)=2$ en los dos casos.

b) 1. Escalonar la ampliada con las mismas operaciones. La columna de términos independientes pasa a ser $(1,b-1,1-1-b)=(1,b-1,-b)$:

$$M^{\ast }\sim \left(\begin{array}{cccc}1& 1& a& 1\\ 0& a-1& 1-a& b-1\\ 0& 0& 2-a& -b\end{array}\right)$$

2. Caso $a\ne 1$ y $a\ne 2$. $\mathrm{rg}(M)=\mathrm{rg}(M^{\ast })=3=$ número de incógnitas: SCD (una única solución) para cualquier $b$.

3. Caso $a=1$. La segunda fila queda $(0,0,0|b-1)$ y la tercera $(0,0,1|-b)$. Las filas 1 y 3 dan $\mathrm{rg}(M)=2$.

• Si $b\ne 1$, la segunda fila es la ecuación imposible $0=b-1\ne 0$: $\mathrm{rg}(M^{\ast })=3\ne \mathrm{rg}(M)$, el sistema es incompatible (SI).
• Si $b=1$, la segunda fila es nula: $\mathrm{rg}(M^{\ast })=2=\mathrm{rg}(M)<3$, el sistema es compatible indeterminado (SCI) con un parámetro.

4. Caso $a=2$. La segunda fila queda $(0,1,-1|b-1)$ y la tercera $(0,0,0|-b)$, y $\mathrm{rg}(M)=2$.

• Si $b\ne 0$, la tercera fila es $0=-b\ne 0$: SI.
• Si $b=0$, la tercera fila es nula: $\mathrm{rg}(M^{\ast })=2=\mathrm{rg}(M)<3$, SCI.

c) 1. Inversa. Para $a=0$, $M=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 2& 1& 3\end{array}\right)$ y $|M|=(0-1)(2-0)=-2\ne 0$. La matriz de adjuntos y la inversa son

$$\mathrm{Adj}(M)=\left(\begin{array}{ccc}-1& -1& 1\\ -3& 3& 1\\ 1& -1& -1\end{array}\right),M^{-1}=\frac{1}{-2}\left(\begin{array}{ccc}-1& -3& 1\\ -1& 3& -1\\ 1& 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& -\frac{3}{2}& \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)$$

2. Solución. El sistema es $MX=C$ con $C=\left(\begin{array}{c}1\\ b\\ 1\end{array}\right)$; multiplicando por $M^{-1}$ por la izquierda, $X=M^{-1}C$:

$$X=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}+\frac{3b}{2}-\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}-\frac{3b}{2}+\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}-\frac{b}{2}+\frac{1}{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{3b}{2}\\ 1-\frac{3b}{2}\\ -\frac{b}{2}\end{array}\right)$$

3. Comprobación en la tercera ecuación ($2x+y+3z=1$): $3b+1-\frac{3b}{2}-\frac{3b}{2}=1$. Correcto.

d) 1. Resolución. Para $a=2$ y $b=0$ quedan las dos primeras filas de la escalonada:

$$\{\begin{array}{rl}x+y+2z& =1\\ y-z& =-1\end{array}$$

Con $z=t$: $y=t-1$ y $x=1-(t-1)-2t=2-3t$. La solución general es $(x,y,z)=(2-3t,t-1,t)$ con $t\in \mathbb{R}$.

2. Condición añadida. $x+y+z=(2-3t)+(t-1)+t=1-t=0⟺t=1$, que da $(x,y,z)=(-1,0,1)$. Comprobación en el sistema original con $a=2$, $b=0$: $-1+0+2=1$; $-1+0+1=0$; $-2+0+3=1$.

Para el examen: con dos parámetros, la tabla final debe cubrir todos los pares $(a,b)$; es habitual olvidar que para $a\ne 1,2$ el sistema es SCD sea cual sea $b$. En c) se pide expresamente usar $M^{-1}$: resolver por Cramer no da la puntuación completa. Comprueba siempre la solución en una ecuación que no hayas usado.