Modelo de examen 2 de Álgebra

a) 1. Determinante de $-2A^{-1}$. Multiplicar una matriz de orden 3 por un número $\lambda$ multiplica las tres filas por $\lambda$, así que el determinante queda multiplicado por ${\lambda }^3$. Además, de $A{A}^{-1}=I$ se obtiene $|A||A^{-1}|=1$, es decir, $|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$:

$$|-2A^{-1}|=(-2{)}^3|A^{-1}|=\frac{-8}{-2}=4$$

2. Determinante de $A^t{A}^3$. El determinante de un producto es el producto de los determinantes y $|A^t|=|A|$:

$$|A^t{A}^3|=|A^t||A{|}^3=|A{|}^4=(-2{)}^4=16$$

b) Llamamos $D=\left|\begin{array}{c}{F}_3\\ F_1+F_2\\ 2F_2-F_3\end{array}\right|$ (escribimos las filas una debajo de otra). Transformamos las filas con operaciones que no cambian el determinante o que cambian de forma controlada:

1. Fila 3 + fila 1 (no cambia el determinante): $2F_2-F_3+F_3=2F_2$.

$$D=\left|\begin{array}{c}{F}_3\\ F_1+F_2\\ 2F_2\end{array}\right|=2\left|\begin{array}{c}{F}_3\\ F_1+F_2\\ F_2\end{array}\right|$$

(el factor $2$ de una fila sale fuera del determinante).

2. Fila 2 − fila 3 (no cambia el determinante): $F_1+F_2-F_2=F_1$.

$$D=2\left|\begin{array}{c}{F}_3\\ F_1\\ F_2\end{array}\right|$$

3. Reordenar las filas. Cada intercambio de dos filas cambia el signo. Intercambiando las filas 1 y 2 se pasa de $(F_3,F_1,F_2)$ a $(F_1,F_3,F_2)$, e intercambiando después las filas 2 y 3 se llega a $(F_1,F_2,F_3)$: son dos cambios de signo, que se anulan. Por tanto

$$D=2|A|=2\cdot (-2)=-4$$

c) 1. Un menor de orden 2 no nulo. Con las filas 1 y 2 y las columnas 1 y 3:

$$\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ -2& 1\end{array}\right|=1+2=3\ne 0$$

No depende de $k$, así que $\mathrm{rg}(B)\ge 2$ para todo $k$. Como $B$ tiene 3 filas, $\mathrm{rg}(B)\le 3$.

2. Menor de orden 3 con las tres primeras columnas. Desarrollando por la primera fila:

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ -2& k& 1\\ 0& -1& k\end{array}\right|=(k^2+1)-2(-2k)+1\cdot 2=k^2+4k+3=(k+1)(k+3)$$

Si $k\ne -1$ y $k\ne -3$, este menor es distinto de cero y $\mathrm{rg}(B)=3$.

3. Caso $k=-1$. El menor anterior se anula, pero hay que mirar los otros menores de orden 3. Con las columnas 1, 2 y 4:

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ -2& k& 1\\ 0& -1& 1\end{array}\right|=(k+1)-2(-2)+(-1)\cdot 2=k+3$$

que para $k=-1$ vale $2\ne 0$. Luego $\mathrm{rg}(B)=3$ también para $k=-1$.

4. Caso $k=-3$. Orlamos el menor $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ -2& 1\end{array}\right|\ne 0$ (filas 1 y 2, columnas 1 y 3) con la fila 3 y con cada una de las columnas que faltan:

• con la columna 2: es el menor de las columnas 1, 2 y 3, que vale $(k+1)(k+3)=0$;
• con la columna 4:

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ -2& 1& 1\\ 0& k& 1\end{array}\right|=(1-k)-(-2)+(-1)(-2k)=k+3=0$$

Los dos menores orlados son nulos, así que $\mathrm{rg}(B)=2$.

5. Conclusión. $\mathrm{rg}(B)=2$ si $k=-3$ y $\mathrm{rg}(B)=3$ para cualquier otro valor de $k$ (incluido $k=-1$).

Para el examen: en a) y b) escribe cada propiedad que usas ($|\lambda A|={\lambda }^3|A|$, $|A^{-1}|=1/|A|$, cambio de signo al permutar filas); un resultado sin justificar no puntúa. En c) el error típico es concluir que el rango es 2 para $k=-1$ y $k=-3$ por anularse un solo menor: en una matriz $3\times 4$ hay que comprobar los menores orlados antes de bajar el rango.

a) 1. Matrices del sistema. La matriz de coeficientes $A$ y la ampliada $A^{\ast }$ son

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 3\\ -2& m& 2\\ 2& 3& m+1\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 3& -2\\ -2& m& 2& 1\\ 2& 3& m+1& -1\end{array}\right)$$

2. Determinante de $A$. Desarrollando por la primera fila:

$$\begin{array}{rl}|A|& =1\cdot (m(m+1)-6)-1\cdot (-2(m+1)-4)+3\cdot (-6-2m)\\ & =m^2+m-6+2m+6-18-6m=m^2-3m-18=(m-6)(m+3)\end{array}$$

Se anula para $m=6$ y para $m=-3$.

3. Caso $m\ne 6$ y $m\ne -3$. $|A|\ne 0$, luego $\mathrm{rg}(A)=3=\mathrm{rg}(A^{\ast })=$ número de incógnitas. Por el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado (SCD: una única solución).

4. Caso $m=6$. $\mathrm{rg}(A)=2$, porque $|A|=0$ y $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ -2& 6\end{array}\right|=8\ne 0$. Orlamos ese menor con la columna de términos independientes:

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& -2\\ -2& 6& 1\\ 2& 3& -1\end{array}\right|=1\cdot (-6-3)-1\cdot (2-2)+(-2)\cdot (-6-12)=-9+36=27\ne 0$$

Luego $\mathrm{rg}(A^{\ast })=3\ne \mathrm{rg}(A)$: el sistema es incompatible (SI: no tiene solución).

5. Caso $m=-3$. $\mathrm{rg}(A)=2$, porque $|A|=0$ y $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ -2& -3\end{array}\right|=-1\ne 0$. Orlamos con la columna de términos independientes:

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& -2\\ -2& -3& 1\\ 2& 3& -1\end{array}\right|=1\cdot (3-3)-1\cdot (2-2)+(-2)\cdot (-6+6)=0$$

(la tercera fila de $A^{\ast }$, $(2,3,-2|-1)$, es la opuesta de la segunda). Luego $\mathrm{rg}(A^{\ast })=2=\mathrm{rg}(A)<3$: el sistema es compatible indeterminado (SCI: infinitas soluciones), con $3-2=1$ parámetro.

b) 1. Ecuaciones independientes. Para $m=-3$ la tercera ecuación es la segunda cambiada de signo, así que basta con las dos primeras:

$$\{\begin{array}{rl}x+y+3z& =-2\\ -2x-3y+2z& =1\end{array}$$

2. Parámetro. Tomamos $z=t$ (el menor no nulo usa las columnas de $x$ e $y$, así que esas dos incógnitas se pueden despejar):

$$\{\begin{array}{rl}x+y& =-2-3t\\ -2x-3y& =1-2t\end{array}$$

3. Resolución. Multiplicando la primera por 2 y sumando: $-y=-3-8t$, luego $y=3+8t$. Entonces $x=-2-3t-(3+8t)=-5-11t$.

4. Comprobación en la primera ecuación: $(-5-11t)+(3+8t)+3t=-2$. Correcto.

La solución es $(x,y,z)=(-5-11t,3+8t,t)$ con $t\in \mathbb{R}$.

c) Para $m=3$, $|A|=(3-6)(3+3)=-18\ne 0$: es un SCD y se puede aplicar la regla de Cramer al sistema

$$\{\begin{array}{rl}x+y+3z& =-2\\ -2x+3y+2z& =1\\ 2x+3y+4z& =-1\end{array}$$

$$x=\frac{\left|\begin{array}{ccc}-2& 1& 3\\ 1& 3& 2\\ -1& 3& 4\end{array}\right|}{-18}=\frac{0}{-18}=0,y=\frac{\left|\begin{array}{ccc}1& -2& 3\\ -2& 1& 2\\ 2& -1& 4\end{array}\right|}{-18}=\frac{-18}{-18}=1,z=\frac{\left|\begin{array}{ccc}1& 1& -2\\ -2& 3& 1\\ 2& 3& -1\end{array}\right|}{-18}=\frac{18}{-18}=-1$$

Comprobación: $0+1-3=-2$, $0+3-2=1$ y $0+3-4=-1$. La solución es $(x,y,z)=(0,1,-1)$.

Para el examen: la discusión exige dar los rangos de $A$ y de $A^{\ast }$ en cada caso y citar el teorema de Rouché-Frobenius; decir solo «$|A|=0$, luego no es SCD» no basta para distinguir SI de SCI. En b) indica qué ecuación eliminas y por qué, y en c) comprueba la solución en las tres ecuaciones.

a) 1. Planteamiento. El número total de entradas y la recaudación dan

$$\{\begin{array}{rl}x+y+z& =200\\ 9x+6y+3z& =1500\end{array}$$

La segunda ecuación se puede simplificar dividiendo entre 3: $3x+2y+z=500$.

2. Clasificación. La matriz de coeficientes es $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 3& 2& 1\end{array}\right)$ y su menor $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 3& 2\end{array}\right|=-1\ne 0$, así que $\mathrm{rg}(A)=2$. La ampliada tiene solo dos filas, luego también $\mathrm{rg}(A^{\ast })=2$. Como $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=2<3$ incógnitas, el sistema es compatible indeterminado (SCI): tiene infinitas soluciones, con un parámetro. Con estos datos no se puede saber cuántas entradas de cada tipo se vendieron.

b) 1. Resolución. Con $z=t$:

$$\{\begin{array}{rl}x+y& =200-t\\ 3x+2y& =500-t\end{array}$$

Restando a la segunda el doble de la primera: $x=500-t-400+2t=100+t$. Entonces $y=200-t-(100+t)=100-2t$.

$$(x,y,z)=(100+t,100-2t,t),t\in \mathbb{R}$$

2. Soluciones con sentido. Las tres cantidades deben ser enteros no negativos:

• $z=t\ge 0$ y entero;
• $y=100-2t\ge 0⟺t\le 50$;
• $x=100+t\ge 0$, que se cumple siempre que $t\ge 0$.

Por tanto $t\in \{0,1,2,\dots ,50\}$, y cada valor de $t$ da una venta distinta: hay 51 posibilidades.

c) El número de entradas infantiles es $z=t$, y su máximo es $t=50$. Entonces $x=150$, $y=0$, $z=50$: se vendieron 150 generales, ninguna reducida y 50 infantiles. Comprobación: $150+0+50=200$ entradas y $9\cdot 150+3\cdot 50=1350+150=1500$ euros.

d) La nueva condición es $y=2z$, es decir, $100-2t=2t$, de donde $t=25$. Se vendieron $x=125$ generales, $y=50$ reducidas y $z=25$ infantiles. Comprobación: $125+50+25=200$ y $9\cdot 125+6\cdot 50+3\cdot 25=1125+300+75=1500$ euros. Al añadir una ecuación independiente, el sistema pasa a ser compatible determinado y la venta queda fijada.

Para el examen: define las incógnitas con sus unidades antes de plantear y clasifica con los rangos, no solo «hay más incógnitas que ecuaciones» (un sistema así puede ser incompatible). En un SCI con contexto, la interpretación (enteros, no negativos, cuántas posibilidades) es parte de la nota: da siempre el intervalo de valores del parámetro que tiene sentido.

a) 1. Cálculo de $A^2$. Multiplicando filas por columnas:

$$A^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right)$$

y $A+2I=\left(\begin{array}{ccc}0+2& 1& 1\\ 1& 0+2& 1\\ 1& 1& 0+2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right)$. Son iguales: $A^2=A+2I$.

2. Inversa a partir de la igualdad. Pasando $A$ al primer miembro y sacando factor común $A$ por la izquierda:

$$A^2-A=2I⟺A(A-I)=2I⟺A\cdot \frac{1}{2}(A-I)=I$$

Como $A$ conmuta con $A-I$, también $\frac{1}{2}(A-I)\cdot A=I$. Por tanto $A$ es invertible y

$$A^{-1}=\frac{1}{2}(A-I)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 1& -1& 1\\ 1& 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$$

(Comprobación independiente: $|A|=0-1\cdot (0-1)+1\cdot (1-0)=2\ne 0$.)

b) 1. Despejar. Pasamos los términos con $X$ al primer miembro y sacamos $X$ factor común por la derecha (porque $X$ está a la derecha en $AX$):

$$AX-X=B⟺(A-I)X=B$$

Ojo: $AX-X=(A-I)X$, no $(A-1)X$; hay que escribir $I$.

2. Inversa de $A-I$. Por el apartado a), $(A-I)\cdot \frac{1}{2}A=\frac{1}{2}(A^2-A)=\frac{1}{2}\cdot 2I=I$, luego $A-I$ es invertible y $(A-I{)}^{-1}=\frac{1}{2}A$. Multiplicando por la izquierda:

$$X=(A-I{)}^{-1}B=\frac{1}{2}AB$$

$X$ tiene dimensión $3\times 2$, como $B$.

3. Cálculo.

$$AB=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\\ 2& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 4& -2\\ 2& 2\end{array}\right),X=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$$

4. Comprobación. $AX=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 2& 1\\ 3& -1\end{array}\right)$ y $B+X=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 2& 1\\ 3& -1\end{array}\right)$. Coinciden.

c) Multiplicamos la igualdad de a) por $A$ y la volvemos a usar:

$$A^3=A\cdot A^2=A(A+2I)=A^2+2A=(A+2I)+2A=3A+2I$$

Luego $\alpha =3$ y $\beta =2$. Son los únicos valores posibles, porque $A$ no es múltiplo de $I$: si $3A+2I=\alpha A+\beta I$ con $\alpha \ne 3$, $A$ sería una matriz escalar, y no lo es.

Para el examen: en a) se pide usar la igualdad, así que calcular la inversa por adjuntos no da la puntuación completa; escribe el paso $A\cdot \frac{1}{2}(A-I)=I$. En b) el fallo más caro es despejar $X=B(A-I{)}^{-1}$ (el producto no es conmutativo y además las dimensiones no encajan): la inversa se multiplica por el mismo lado en que está el factor.