Temas de monografía de matemáticas del IB: 20 ideas con su pregunta de investigación

Elegir bien el tema es la mitad del trabajo. Estas son veinte ideas con matemáticas reales, listas para que las hagas tuyas.

La monografía del IB tiene un máximo de 4.000 palabras y casi siempre el mismo problema: se deja para cuando ya no queda tiempo de elegir bien. Y elegir bien lo es todo. Un tema con matemáticas reales, datos a tu alcance y una pregunta que se pueda responder te lleva a una monografía manejable; un tema vago te lleva a meses de vueltas.

Aquí tienes 20 ideas para una monografía de matemáticas, cada una con su pregunta de investigación, las matemáticas que hacen falta y una dificultad orientativa (relativa dentro de esta lista). No son temas para copiar: son puntos de partida para que los hagas tuyos.

Antes de elegir: tres pruebas que debe pasar tu tema

• ¿Hay matemáticas de verdad? No bastan las cuentas de un contexto interesante. Tiene que haber un objeto matemático que investigas: una demostración, un modelo, un algoritmo, una distribución.
• ¿Tienes datos o fuentes a tu alcance? Un tema genial sin datos ni bibliografía accesible se convierte en un callejón sin salida en el mes tres.
• ¿Cabe en 4.000 palabras? Si para responderla hacen falta un libro o un doctorado, hay que acotar. Una buena pregunta es pequeña y profunda, no grande y superficial.

Si te interesa cómo se evalúa el trabajo, tienes el resumen de los cinco criterios en la página de ayuda con la monografía.

Probabilidad y estadística

1. La ley de Benford en los municipios españoles

¿En qué medida las poblaciones de los municipios españoles siguen la ley de Benford y qué mide una desviación respecto a ella?

Matemáticas: logaritmos, distribución del primer dígito, contraste χ². Datos públicos del INE. · Dificultad: media

2. Cuántas barajadas hacen falta

¿Cuántas barajadas «riffle» hacen falta para que un mazo de 52 cartas se pueda considerar bien mezclado?

Matemáticas: permutaciones, cadenas de Markov, distancia de variación total. · Dificultad: alta

3. El problema de la secretaria

¿Cuál es la estrategia óptima de parada en el problema de la secretaria y cómo cambia cuando hay pocos candidatos?

Matemáticas: probabilidad condicionada, sumas, límite que lleva a 1/e. · Dificultad: media

4. PageRank: cómo ordena Google

¿Cómo calcula PageRank la importancia de una página y cuánto cambia el ranking de una red pequeña al variar el factor de amortiguamiento?

Matemáticas: matrices estocásticas, vectores propios, iteración. · Dificultad: alta

5. Penaltis y equilibrio de Nash

¿Se comportan lanzadores y porteros de penaltis como predice el equilibrio de Nash de estrategias mixtas?

Matemáticas: teoría de juegos, probabilidad, contraste de hipótesis con datos reales. · Dificultad: media-alta

6. Monte Carlo para estimar π

¿Con qué rapidez converge el método de Monte Carlo para estimar π y cómo se compara con series como la de Leibniz?

Matemáticas: probabilidad geométrica, error estándar, series. · Dificultad: baja-media

Cálculo y análisis

7. La cicloide y el descenso más rápido

¿Por qué la cicloide es la curva de descenso más rápido y cuánto tiempo se gana frente a una rampa recta?

Matemáticas: ecuaciones paramétricas, integrales, cálculo de variaciones a nivel introductorio. · Dificultad: alta

8. Catenaria o parábola

¿Se parece más a una catenaria o a una parábola un cable colgante y a partir de qué flecha deja de valer la aproximación parabólica?

Matemáticas: funciones hiperbólicas, series de Taylor, ajuste de curvas. · Dificultad: media

9. El método de Newton y los fractales

¿Cómo depende de la elección inicial la convergencia del método de Newton para z³ − 1 = 0 en el plano complejo?

Matemáticas: números complejos, iteración, convergencia, cuencas de atracción. · Dificultad: alta (más natural en NS)

10. Series de Fourier y sonido

¿Cuántos armónicos de una serie de Fourier hacen falta para reproducir una onda cuadrada con un error dado?

Matemáticas: series trigonométricas, integrales, fenómeno de Gibbs. · Dificultad: alta

11. Calcular π con series

¿Qué serie para π converge más deprisa: Leibniz, Machin o Ramanujan, y por qué?

Matemáticas: series, desarrollo de Taylor del arcotangente, convergencia. · Dificultad: media

Álgebra y teoría de números

12. RSA: cifrado y factorización

¿En qué se basa la seguridad del cifrado RSA y cómo crece el tiempo para factorizar al aumentar el tamaño de la clave?

Matemáticas: aritmética modular, teorema de Euler, algoritmos de factorización. · Dificultad: media-alta

13. Fibonacci y matrices

¿Cómo se obtiene la fórmula de Binet diagonalizando una matriz y qué ocurre con recurrencias lineales más generales?

Matemáticas: matrices, valores propios, inducción. · Dificultad: alta (más natural en NS)

14. La sucesión de Collatz

¿Qué regularidades estadísticas presentan las órbitas de la sucesión de Collatz para los primeros millones de enteros?

Matemáticas: sucesiones, estadística descriptiva, programación. Ojo: no se trata de «demostrar» la conjetura. · Dificultad: baja-media

15. Códigos de Hamming

¿Cómo detecta y corrige errores el código de Hamming y cuántos bits de paridad necesita?

Matemáticas: aritmética módulo 2, matrices, combinatoria. · Dificultad: media

Geometría y matemática discreta

16. La dimensión fractal de la costa valenciana

¿Cuál es la dimensión fractal de la costa de la Comunitat Valenciana medida con el método de conteo de cajas?

Matemáticas: logaritmos, regresión, autosemejanza. · Dificultad: media

17. El problema del viajante con capitales de provincia

¿A qué distancia del óptimo queda el algoritmo del vecino más próximo en el problema del viajante con las capitales de provincia españolas?

Matemáticas: grafos, combinatoria, complejidad de algoritmos. · Dificultad: media

18. El Juego de la vida de Conway

¿Qué configuraciones iniciales de pocas células sobreviven más generaciones en el Juego de la vida?

Matemáticas: combinatoria, autómatas celulares, conteo y simetrías. · Dificultad: media

Modelización y matemáticas aplicadas

19. Un modelo SIR con datos reales

¿Cómo se ajusta un modelo SIR a los datos reales de una epidemia y qué sensibilidad tiene su predicción al número reproductivo básico?

Matemáticas: ecuaciones diferenciales, método de Euler, mínimos cuadrados. · Dificultad: alta

20. Reparto de escaños: D’Hondt, Sainte-Laguë y Hare

¿Qué método de reparto de escaños (D’Hondt, Sainte-Laguë o Hare) es más proporcional con los resultados reales de las elecciones autonómicas valencianas?

Matemáticas: optimización, índices de proporcionalidad, comparación de algoritmos. Datos públicos de la Generalitat. · Dificultad: baja-media

Temas que yo evitaría

• Los puramente descriptivos: «historia del número π», «las matemáticas en la música». No hay pregunta que responder ni matemáticas que hacer.
• Los problemas abiertos (Goldbach, Riemann, Navier-Stokes). No vas a resolverlos y la pregunta se vuelve imposible de contestar.
• Los que se quedan en matemáticas de ESO, por muy bien presentados que estén: medias y porcentajes de las notas de tu clase, Pitágoras aplicado a una escalera.
• Los que dependen de datos que no puedes conseguir. Antes de decidir, comprueba que los tienes.

Qué hacer con esta lista

Elige tres que te llamen la atención, y para cada una hazte dos preguntas: ¿podría conseguir los datos o las fuentes esta semana? y ¿entiendo ya las matemáticas de la primera página? La que supere las dos es tu candidata. Luego toca convertirla en tu pregunta, no en la mía: aquí explico cómo se plantea una buena pregunta de investigación.

La monografía tiene que ser tuya y la supervisa tu profesor del colegio, que es quien la tutela ante el IB. Lo que yo hago en la academia es ayudarte a decidir si el tema aguanta, a afinar la pregunta, a comprobar que las matemáticas están bien y a revisar tus borradores con los criterios. No escribo por ti.

Preguntas frecuentes

¿Puedo elegir un tema de la lista tal cual?

Mejor adáptalo: cambia los datos, el caso o el método. Una pregunta que elegirán otros veinte compañeros pesa menos, y tu supervisor querrá ver tu aportación.

¿Es mejor una monografía de matemáticas que de otra materia?

No hay una materia «más fácil». La de matemáticas exige un tema con matemáticas reales y mucho rigor; a cambio, depende menos de interpretar fuentes ajenas. Lo importante es que te interese y puedas sostenerla durante meses.

¿Qué temas son viables en Nivel Medio?

Hay muchos: Monte Carlo para π, la ley de Benford, el reparto de escaños, la sucesión de Collatz o el problema de la secretaria. Los más avanzados, como PageRank, Newton en el plano complejo o Fourier, piden más recorrido.