La pregunta parece sencilla, casi inocente:
¿las matemáticas se descubren o se inventan?
Pero cuando la planteas en serio, muchos matemáticos —clásicos y modernos— dejan de tenerlo tan claro.

Si dices que se descubren, imaginas un mundo donde conceptos como \(\pi\),
los números primos o las rectas paralelas existen
desde siempre, esperando a que alguien los encuentre.
Si dices que se inventan, ves las matemáticas como un lenguaje creado por nosotros,
igual que la música, la literatura o la programación.

1. Euclides, Cantor y compañía: ¿exploradores o creadores?

Imagina a Euclides, en la antigua Alejandría, organizando todo lo que se sabía de geometría en sus
Elementos. Para él, los axiomas eran verdades tan evidentes que nadie podía negarlas:
por ejemplo, que por dos puntos pasa una única recta.

Siglos más tarde, Georg Cantor se pone a jugar con el infinito y llega a resultados que
habrían horrorizado a más de un griego:

• Demuestra que hay infinitos numerables, como los enteros \(1,2,3,\dots\).
• Y también infinitos “más grandes”, como el de los números reales entre \(0\) y \(1\).

Pregunta incómoda:
cuando Cantor “descubre” que el conjunto de los reales tiene cardinalidad mayor que el de los naturales,
¿está encontrando algo que siempre fue cierto ahí fuera…
o está inventando una forma nueva de pensar el infinito que antes simplemente no existía?

2. El triángulo rectángulo que cae en el bosque

El teorema de Pitágoras dice que en un triángulo rectángulo se cumple:

Si dibujas un triángulo con catetos de longitud \(3\) y \(4\),
la hipotenusa mide \(5\):

Esa relación es tan bonita que cuesta pensar que sea “inventada”. Parece más bien una
propiedad profunda del espacio, como si el universo estuviera organizado de tal forma que
esa igualdad tuviera que ser verdadera.

Pero, antes de que existieran los humanos, ¿ya había “triángulos rectángulos”
cumpliendo \(a^2 + b^2 = c^2\) en algún lugar?
¿O solo había cosas materiales que, cuando alguien decidió modelarlas como triángulos,
dieron lugar a esa relación?

Otra forma de hacer la misma broma filosófica:
si un triángulo cae en un bosque y nadie lo observa… ¿tiene hipotenusa?

3. \(\pi\), círculos y una constante que aparece en todas partes

Toma un círculo, mide su longitud \(L\) y su diámetro \(d\) y calcula el cociente:

Da igual el tamaño del círculo: ese número siempre es el mismo. Lo llamamos \(\pi\).
Se cuela en fórmulas de geometría:

pero también aparece en probabilidad, en las distribuciones normales, en series infinitas como:

¿Cómo explicas que un número que “nace” al medir círculos termine apareciendo en fenómenos tan distintos?
¿Es una pista de que estamos descubriendo una estructura profunda del universo, o simplemente
una consecuencia inevitable de cómo hemos construido nuestro lenguaje matemático?

4. Números que no existían… hasta que hicieron falta

Piensa en la ecuación:

En los números reales no tiene solución. Pero los matemáticos decidieron
“forzar” una nueva solución y la llamaron:

Con esa simple decisión, abres la puerta a los números complejos, al famoso:

y a una cantidad enorme de física moderna, ingeniería, procesamiento de señales, etc.

Antes de que alguien escribiera \(i\), ¿existían los números complejos?
¿O aparecieron en el momento en que decidimos aceptar esa nueva regla de juego?

5. Geometrías donde las rectas paralelas se portan mal

Durante siglos se pensó que la geometría euclidiana era “la” geometría del universo.
Una de sus ideas clave es que por un punto exterior a una recta solo pasa una paralela.

En el siglo XIX, Lobachevski y Bolyai se preguntan:
¿y si cambiamos ese axioma?
Resultado: nacen las geometrías no euclidianas, donde:

• puede haber infinitas paralelas por un punto, o ninguna, según el modelo,
• la suma de los ángulos de un triángulo puede ser menor o mayor que \(180^\circ\).

Lo sorprendente es que esas geometrías “raras” terminan siendo justo las que se necesitan
para describir el espacio-tiempo en la teoría de la relatividad de Einstein.

Otra vez la misma duda:
¿las geometrías no euclidianas estaban esperándonos en algún rincón del cosmos,
o las inventamos y el universo tuvo la cortesía de comportarse de acuerdo con ellas?

6. Números, formas, modelos: ¿qué parte es el mundo y qué parte somos nosotros?

Cuando escribes una función como:

para modelar un crecimiento del \(3\%\) anual, estás haciendo algo muy humano:
eliges una fórmula, decides qué significa \(t\), qué significa \(200\),
qué significa \(1{,}03\), y aceptas que ese modelo no es la realidad,
sino una forma de mirarla.

Pero, una vez que aceptas esas reglas, aparecen propiedades que no has decidido tú:
por ejemplo, que la gráfica es creciente, que nunca baja de cero,
o que doblar el tiempo no dobla el valor, sino que lo multiplica por \(1{,}03^{t}\).

Hay una parte de invención (el modelo), y una parte de descubrimiento (las consecuencias inevitables
de las reglas que has puesto). ¿Dónde trazas la línea?

7. Lo que tu respuesta dice sobre ti

Si te inclinas por “se descubren”, probablemente te atrae la idea de un universo ordenado,
con leyes matemáticas profundas que están ahí independientemente de nosotros.
Te gusta pensar que, cuando resuelves una ecuación, estás tocando algo que sería verdad incluso
en otro planeta, con otra civilización.

Si te inclinas por “se inventan”, quizá valoras más la creatividad humana:
te fascina que podamos crear nuevos sistemas de números, nuevas geometrías, nuevos lenguajes formales,
y que el mundo se deje describir con ellos.

Probablemente ninguna de las dos posturas sea completamente correcta.
Pero cada una te obliga a mirar las matemáticas —y tu propio estudio— desde un ángulo distinto.

8. No busques una respuesta rápida; busca mejores preguntas

Tal vez la pregunta importante no es:

“¿Las matemáticas se descubren o se inventan?”

sino otras como:

• ¿Por qué las matemáticas describen tan bien fenómenos físicos tan distintos?
• ¿Por qué todas las culturas han desarrollado algún tipo de matemáticas?
• ¿Qué hace que ciertas teorías “inventadas” terminen siendo imprescindibles en la ciencia?
• ¿Qué nos dicen las matemáticas sobre cómo pensamos y cómo entendemos el mundo?

No hay respuesta única. Y quizá eso sea lo interesante:
las matemáticas no solo sirven para calcular notas o resolver exámenes,
también sirven para hacerte preguntas que no caben en una calculadora.

La próxima vez que estés haciendo un ejercicio con números, formas o ecuaciones,
puedes preguntarte en voz baja:
“¿esto lo estoy descubriendo… o lo estamos inventando entre todos?”