A veces en Matemáticas no te preguntan “cuánto vale” un número, sino
cuál de dos números es mayor. Y cuando los números son del tipo
\(3^{100}\) o \(4^{75}\), la calculadora parece la única opción.

Pero hay un truco muy elegante para decidirlo sin calcular nada enorme.
Es el tipo de idea que te puede salvar en un examen donde no haya calculadora
(o donde usarla sea perder tiempo).

1. Primera reacción: “ni idea”

Ambos números son enormes. Sabemos que:

• \(3^{100}\) es “3 multiplicado 100 veces”.
• \(4^{75}\) es “4 multiplicado 75 veces”.

\(4\) es más grande que \(3\), pero \(100\) también es bastante más grande que \(75\).
¿Quién gana: la base más grande o el exponente más grande?

Intuición pura no basta. Necesitamos una idea estructurada.

2. Truco clave: llevarlos al mismo “formato”

Una forma de comparar potencias es intentar que tengan:

• el mismo exponente, o
• la misma base.

Aquí hay un detalle bonito:

• \(100 = 4 \cdot 25\)
• \(75 = 3 \cdot 25\)

Eso quiere decir que podemos escribir:

Ahora ya tienen el mismo exponente (25) y bases diferentes:
\(3^4\) frente a \(4^3\).

Como la función \(x \mapsto x^{25}\) es creciente para \(x > 0\),
el número más grande será simplemente el que tenga la base mayor.

3. Comparar 3⁴ y 4³ sí es fácil

Ahora la comparación es mucho más amigable:

• \(3^4 = 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 = 81\)
• \(4^3 = 4\cdot 4\cdot 4 = 64\)

Y aquí ya no hay duda:

Como \(3^4\) es mayor que \(4^3\), al elevar ambas a 25 pasa lo mismo:

Es decir:

Sin calculadora, sin logaritmos, sin nada raro: solo usando propiedades de potencias.

4. ¿Por qué funciona esta idea?

El truco se basa en dos ideas muy simples pero muy poderosas:

1. Propiedad de potencias:
   \(a^{mn} = (a^m)^n\).
   Esto nos permite “factorizar” el exponente.
2. Monotonía:
   Si \(a > b > 0\), entonces para cualquier \(n\) natural se cumple
   \(a^n > b^n\).
   Elevar a la misma potencia no cambia el orden.

Juntando ambas cosas, hemos convertido la comparación “fea”
\(3^{100}\) vs \(4^{75}\)
en una comparación “bonita” entre \(3^4\) y \(4^3\).

5. Cómo entrenar este tipo de comparaciones

Puedes practicar con otros ejemplos parecidos:

• ¿Qué es mayor, \(2^{10}\) o \(3^7\)?
• ¿Y entre \(5^{12}\) y \(3^{18}\)?
• ¿Y \(9^{20}\) frente a \(27^{12}\)?

La idea es buscar siempre cómo llevar los exponentes o las bases a algo común:
un múltiplo, una potencia compartida, una base que puedas reescribir, etc.

En muchos exámenes (especialmente de nivel alto o de IB) no quieren que hagas números gigantes:
quieren ver si sabes jugar con las propiedades de las potencias.

6. Lo que te llevas de este problema

Este ejercicio no va solo de saber que:

Va de entender que muchas veces las mates no consisten en “calcular todo”, sino en
reescribir de forma inteligente hasta que la comparación se vuelve obvia.

La próxima vez que veas dos potencias imposibles de calcular, pregúntate:

• ¿Puedo factorizar el exponente como hemos hecho con \(100\) y \(75\)?
• ¿Puedo escribir las bases como potencias de un mismo número?
• ¿Puedo usar que elevar a la misma potencia conserva el orden?

Esa forma de pensar es la que te acerca a las matemáticas “de verdad”, las que van
más allá de la calculadora.