Curso de Matemáticas IB

1.1. Números reales y notación

• Conjunto de los números reales y subconjuntos habituales.
• Representación en la recta real.
• Intervalos, desigualdades y notación de intervalos.
• Valor absoluto e interpretación gráfica.
• Notación científica, redondeos y cifras significativas.

1.2. Expresiones algebraicas básicas

• Simplificación de expresiones algebraicas.
• Factorización elemental: factor común y productos notables sencillos.
• Expresiones racionales sencillas y restricciones de dominio.

1.3. Ecuaciones y sistemas

• Ecuaciones lineales de una variable.
• Ecuaciones cuadráticas básicas: identificación y resolución.
• Resolución gráfica de ecuaciones.
• Sistemas lineales 2×2: resolución algebraica y gráfica.

1.4. Sucesiones y finanzas

• Sucesiones aritméticas: término general y suma de n términos.
• Sucesiones geométricas: término general y suma de n términos.
• Interés simple e interés compuesto.
• Depreciación y crecimiento porcentual.

1.5. Exponenciales y logaritmos

• Funciones exponenciales: base, crecimiento y decrecimiento.
• Definición de logaritmo y propiedades fundamentales.
• Modelos exponenciales realistas en población y finanzas.

2.1. Geometría básica en el plano

• Distancia entre dos puntos y punto medio.
• Pendiente de una recta.
• Ecuaciones de la recta en diferentes formas.
• Perímetros y áreas de figuras planas sencillas.
• Volúmenes básicos: prismas, cilindros, pirámides.

2.2. Trigonometría básica

• Razones trigonométricas en triángulos rectángulos.
• Identidades trigonométricas elementales.
• Ley de los senos y ley de los cosenos.
• Aplicaciones a ángulos de elevación, navegación y problemas de contexto.

2.3. Vectores en 2D

• Representación de vectores en el plano.
• Suma, resta y producto por escalar.
• Interpretación de vectores como desplazamientos.
• Aplicaciones sencillas a fuerzas y movimientos.

3.1. Concepto de función

• Definición de función y notación.
• Dominio, rango e interpretación gráfica.
• Funciones definidas a trozos: lectura del gráfico y dominio.

3.2. Familias de funciones

• Funciones lineales y afines.
• Funciones cuadráticas: parábola, vértice, eje de simetría.
• Funciones exponenciales y logarítmicas (visión gráfica).
• Funciones trigonométricas básicas: seno, coseno, tangente.

3.3. Transformaciones de funciones

• Traslaciones horizontales y verticales.
• Escalados en los ejes y reflexiones.
• Interpretación de parámetros en la gráfica.

3.4. Regresión y modelos

• Ajuste lineal por mínimos cuadrados con tecnología.
• Interpretación de pendiente y ordenada en contexto.
• Uso de modelos lineales y exponenciales sencillos.

3.5. Cálculo diferencial e integral básico

• Pendiente de la recta tangente como tasa de cambio.
• Derivación elemental de funciones sencillas con apoyo tecnológico.
• Interpretación de la derivada en contextos reales (velocidad, crecimiento).
• Área bajo una curva como acumulación.
• Aproximación de integrales con tecnología.

4.1. Estadística descriptiva

• Tipos de variables y escalas de medida.
• Tablas de frecuencia discretas y continuas.
• Diagramas de barras, sectores, histogramas y diagramas de caja.
• Media, mediana, moda, cuartiles.
• Rango y desviación estándar.

4.2. Probabilidad básica

• Experimentos aleatorios y sucesos.
• Probabilidad clásica y frecuentista.
• Diagramas de árbol sencillos.
• Probabilidad compuesta y probabilidad condicional simple.

4.3. Distribuciones

• Distribución binomial: parámetros y cálculo de probabilidades.
• Distribución normal: parámetros y uso de tecnología.
• Interpretación de resultados en contexto.

1.1. Modelización algebraica y ecuaciones

• Ecuaciones exponenciales y logarítmicas más complejas.
• Uso de tecnología para resolver ecuaciones no algebraicamente abordables.
• Modelos algebraicos con parámetros en contextos reales.

1.2. Matemática financiera avanzada

• Rentas y anualidades: valor actual y valor futuro.
• Tipos nominales y efectivos, comparación de productos financieros.
• Amortizaciones y préstamos estructurados.

1.3. Sucesiones y series aplicadas

• Revisión de progresiones aritméticas y geométricas.
• Series finitas en modelos de inversión y ahorro.
• Interpretación de parámetros en contextos financieros.

2.1. Geometría aplicada

• Modelos geométricos de localización en el plano.
• Uso de ecuaciones de la recta para describir trayectorias.
• Problemas geométricos en contexto (navegación, mapas, planos).

2.2. Trigonometría en modelización

• Funciones trigonométricas como modelos periódicos.
• Ajuste de modelos trigonométricos a datos reales.
• Interpretación de amplitud, periodo y desplazamientos de fase.

2.3. Vectores y aplicaciones

• Revisión de operaciones vectoriales en dos dimensiones.
• Modelización de fuerzas y movimientos con vectores.
• Componentes de vectores y descomposición en ejes.

3.1. Modelos de funciones avanzados

• Regresiones no lineales: potencia, logarítmica, exponencial, logística.
• Uso de tecnología para ajustar modelos a datos.
• Interpretación detallada de coeficientes en contexto.

3.2. Composición e inversa en aplicaciones

• Composición de funciones para procesos encadenados.
• Funciones inversas en modelos de conversión y escalado.

3.3. Cálculo diferencial aplicado

• Derivación de modelos construidos con tecnología.
• Tasa de cambio en múltiples contextos (economía, ciencia, población).
• Optimización de funciones que modelan situaciones reales.
• Análisis cualitativo de puntos de inflexión.

3.4. Cálculo integral aplicado

• Integración como acumulación de cantidades.
• Métodos numéricos (trapecios, Simpson) con ayuda tecnológica.
• Aplicaciones avanzadas: distancia, coste acumulado, crecimiento acumulado.

4.1. Inferencia estadística

• Idea de población y muestra, error muestral.
• Intervalos de confianza para medias y proporciones usando tecnología.
• Contrastes básicos de hipótesis en contexto real.

4.2. Pruebas estadísticas y modelos

• Test de chi-cuadrado de independencia y de ajuste.
• Grados de libertad e interpretación de resultados.

4.3. Regresión y análisis multivariante

• Regresión múltiple asistida por tecnología.
• Interpretación de coeficientes y significación en contexto.

4.4. Probabilidad avanzada

• Probabilidad condicionada en escenarios complejos.
• Uso de modelos binomial y normal en profundidad.
• Conexión entre probabilidad y modelos estadísticos.

1.1. Álgebra fundamental

• Números reales, intervalos y desigualdades.
• Potencias y exponentes (incluidos exponentes racionales).
• Radicales: simplificación y racionalización.

1.2. Polinomios y factorización

• Definición y grado de un polinomio.
• Operaciones con polinomios.
• Factorización básica y productos notables.

1.3. Ecuaciones algebraicas

• Ecuaciones cuadráticas: distintas técnicas de resolución.
• Ecuaciones racionales sencillas.
• Ecuaciones exponenciales y logarítmicas elementales.

1.4. Sucesiones y series

• Sucesiones aritméticas y geométricas.
• Término general.
• Suma de series finitas y aplicaciones básicas.

2.1. Geometría analítica en el plano

• Ecuación de la recta en diferentes formas.
• Pendiente, paralelismo y perpendicularidad.
• Distancia de un punto a una recta (casos básicos).

2.2. Trigonometría

• Identidades trigonométricas fundamentales.
• Ley de los senos y ley de los cosenos.
• Ecuaciones trigonométricas básicas.
• Gráficas de funciones trigonométricas: amplitud, periodo y fase.

2.3. Vectores en dos dimensiones

• Representación y operaciones con vectores.
• Producto escalar y ángulo entre vectores.
• Aplicaciones geométricas sencillas en el plano.

3.1. Funciones

• Definición formal de función.
• Dominio, recorrido y representación gráfica.
• Tipos de funciones: lineales, cuadráticas, polinómicas sencillas, racionales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas básicas.
• Transformaciones de funciones: traslaciones, escalados y reflexiones.
• Función inversa cuando existe.

3.2. Límites y continuidad

• Concepto intuitivo de límite.
• Cálculo de límites sencillos por sustitución y factorización.
• Continuidad de una función en un punto y en un intervalo.
• Tipos de discontinuidad: removible, de salto e infinita.

3.3. Derivadas

• Definición de derivada y recta tangente.
• Reglas de derivación: suma, producto, cociente.
• Derivadas de funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas sencillas.
• Máximos y mínimos locales.
• Crecimiento y decrecimiento mediante la derivada.
• Aplicaciones a problemas de optimización sencillos.

3.4. Integración

• Antiderivación básica.
• Cálculo de áreas bajo la curva y entre curvas sencillas.
• Interpretación geométrica y aplicaciones elementales.

4.1. Probabilidad

• Conceptos básicos de probabilidad.
• Probabilidad compuesta y diagramas de árbol.
• Probabilidad condicional.
• Teorema de Bayes básico.

4.2. Distribuciones

• Distribución binomial: parámetros y función de probabilidad.
• Distribución normal: parámetros y uso de tablas/tecnología.
• Relación entre binomial y normal en contextos sencillos.

1.1. Números y expresiones algebraicas

• Clasificación de los números y recta real.
• Intervalos, desigualdades y valor absoluto.
• Potencias y exponentes, incluidos exponentes racionales.
• Radicales: simplificación, racionalización y restricciones de dominio.

1.2. Polinomios y teoremas básicos

• Definición, grado y operaciones con polinomios.
• División de polinomios.
• Teorema del resto y teorema del factor.
• Idea básica del teorema fundamental del álgebra.

1.3. Ecuaciones y desigualdades

• Ecuaciones cuadráticas: técnicas de resolución y discriminante.
• Suma y producto de raíces: fórmulas de Viète.
• Extensión de Viète a polinomios de grado mayor.
• Desigualdades lineales, cuadráticas y racionales.
• Desigualdades con valor absoluto.

1.4. Progresiones, series y combinatoria

• Progresiones aritméticas y geométricas: término n y suma.
• Series geométricas infinitas y criterios básicos.
• Secuencias definidas recurrentemente.
• Números combinatorios y triángulo de Pascal.
• Teorema del binomio y generalizaciones.

1.5. Números complejos

• Definición y representación en el plano complejo.
• Forma binómica, módulo y argumento.
• Forma polar y forma exponencial.
• Operaciones, conjugado y propiedades.
• Potencias y raíces mediante la fórmula de De Moivre.

1.6. Exponenciales, logaritmos y ecuaciones

• Propiedades formales de los logaritmos.
• Ecuaciones exponenciales y logarítmicas avanzadas.
• Estrategias generales de resolución (mismo número, cambio de variable, etc.).

1.7. Demostración matemática

• Naturaleza y estructura de una demostración.
• Demostración directa, por contradicción y por contraejemplo.
• Demostración por inducción matemática.

2.1. Geometría y trigonometría en el plano

• Vectores en el plano: componentes, módulo y operaciones.
• Producto escalar y ángulo entre vectores.
• Ecuaciones de la recta en el plano.
• Pendiente, paralelismo y perpendicularidad.
• Ángulo entre dos rectas.
• Distancia de un punto a una recta y entre rectas paralelas.
• Razones trigonométricas y sus signos por cuadrantes.
• Identidades trigonométricas fundamentales y fórmulas de adición.
• Ecuaciones trigonométricas y resolución de triángulos.

2.2. Geometría y vectores en el espacio

• Vectores en el espacio: definición, módulo, vector unitario.
• Producto escalar y producto vectorial.
• Ecuaciones de la recta en el espacio.
• Ecuaciones del plano y vectores normales.
• Ángulos entre rectas, recta–plano y entre planos.
• Posiciones relativas de rectas: paralelas, secantes, alabeadas.
• Distancias: punto–plano, recta–plano, recta–recta, planos paralelos.
• Volumen y área de sólidos sencillos: poliedros y cuerpos redondos.

2.3. Sistemas lineales y matrices (visión geométrica)

• Sistemas de ecuaciones lineales y su clasificación.
• Métodos de resolución: Gauss y Gauss–Jordan.
• Interpretación geométrica de las soluciones (única, infinitas, ninguna).

3.1. Funciones y clasificación

• Definición de función real de variable real.
• Dominio, recorrido y representación gráfica.
• Funciones polinómicas, racionales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.
• Transformaciones de funciones: traslaciones, estiramientos y reflexiones.
• Función inversa: existencia y cálculo.

3.2. Límites y continuidad

• Cálculo de límites por métodos algebraicos.
• Asíntotas verticales, horizontales e inclinadas.
• Continuidad e identificación de discontinuidades.

3.3. Cálculo diferencial

• Derivada como límite y recta tangente.
• Reglas de derivación: suma, producto, cociente y regla de la cadena.
• Derivadas de funciones polinómicas, racionales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.
• Derivadas de orden superior.
• Derivación implícita, logarítmica y paramétrica.
• Estudio de funciones: crecimiento y decrecimiento.
• Extremos relativos y absolutos.
• Concavidad, puntos de inflexión y curvatura.
• Regla de L’Hôpital para límites indeterminados.
• Aproximación mediante polinomios de Taylor y Maclaurin (visión básica).
• Problemas de optimización y razones de cambio relacionadas.

3.4. Cálculo integral

• Integral indefinida y primitivas.
• Técnicas de integración: sustitución, integración por partes e integración de racionales (fracciones simples).
• Integral definida y propiedades.
• Cálculo de áreas bajo una curva y entre curvas.
• Volúmenes de sólidos de revolución.
• Integrales impropias en casos básicos.
• Aplicaciones físicas y geométricas (desplazamiento, distancia, trabajo, etc.).
• Ecuaciones diferenciales de primer orden sencillas (separables y lineales) como aplicación de la integración.

4.1. Estadística descriptiva

• Tipos de muestreo y diseño de estudios.
• Tipos de variables estadísticas.
• Frecuencias y tablas para datos agrupados y no agrupados.
• Representaciones gráficas: barras, sectores, histogramas, ojivas, diagramas de tallo y hoja.
• Medidas de centralización: media, mediana, moda.
• Medidas de dispersión: rango, varianza, desviación típica.
• Efecto de cambios lineales en la media y la desviación típica.

4.2. Regresión y correlación

• Distribuciones bidimensionales y nube de puntos.
• Parámetros estadísticos en dos dimensiones.
• Correlación lineal y coeficiente de correlación.
• Recta de regresión y coeficiente de determinación.

4.3. Probabilidad

• Conceptos fundamentales de probabilidad y espacio muestral.
• Operaciones con sucesos y diagramas de Venn.
• Frecuencia relativa y definición axiomática de probabilidad.
• Probabilidad condicionada y propiedades básicas.
• Teorema de Bayes y experimentos compuestos.
• Diagramas de árbol para estructurar problemas de probabilidad.

4.4. Variables aleatorias y distribuciones

• Variable aleatoria discreta: función de probabilidad, esperanza y varianza.
• Distribución binomial: modelización y cálculo de probabilidades.
• Variable aleatoria continua y función de densidad.
• Distribución normal y normal tipificada.
• Cálculos de probabilidad con la distribución normal.
• Aproximación binomial–normal en contextos adecuados.